《2013年高考数学(理)一轮复习导学案30》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013年高考数学(理)一轮复习导学案30（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学案学案 30 等比数列及其前等比数列及其前 n 项和项和 导学目标： 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式.3.了解 等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数 列的有关知识解决相应的问题自主梳理 1等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这 个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，通常用字母_表示 (q0) 2等比数列的通项公式 设等比数列an的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an_. 3等比中项： 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b
2、 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比 中项 4等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anam_ (n，mN*) (2)若an为等比数列，且 klmn (k，l，m，nN*)，则 _(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an (0)，a ，anbn，仍1an2 nanbn 是等比数列 (4)单调性：Error!或Error!an是_数列；Error!或Error!an是_数 列；q1an是_数列；q1，令 bnan1 (n1,2，)，若数列bn有连 续四项在集合53，23,19,37,82中，则 6q_.探究点一 等比数列的基本量运算 例 1 已知正项等比数列an中，a1a
3、52a2a6a3a7100，a2a42a3a5a4a636，求 数列an的通项 an和前 n 项和 Sn.变式迁移 1 在等比数列an中，a1an66，a2an1128，Sn126，求 n 和 q.探究点二 等比数列的判定 例 2 (2011岳阳月考)已知数列an的首项 a15，前 n 项和为 Sn，且 Sn12Snn5，nN*. (1)证明数列an1是等比数列； (2)求an的通项公式以及 Sn.变式迁移 2 设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a12a23a3nan(n1) Sn2n(nN*) (1)求 a2，a3的值； (2)求证：数列Sn2是等比数列探究点三 等比数列性质的应用例
4、3 (2011湛江月考)在等比数列an中，a1a2a3a4a58，且1a11a21a32，求 a3.1a41a5变式迁移 3 (1)已知等比数列an中，有 a3a114a7，数列bn是等差数列，且 b7a7，求 b5b9的值； (2)在等比数列an中，若 a1a2a3a41，a13a14a15a168，求 a41a42a43a44.分类讨论思想与整体思想的应用 例 (12 分)设首项为正数的等比数列an的前 n 项和为 80，它的前 2n 项和为 6 560， 且前 n 项中数值最大的项为 54，求此数列的第 2n 项 【答题模板】 解 设数列an的公比为 q， 若 q1，则 Snna1，S2
5、n2na12Sn. S2n6 5602Sn160，q1，2 分 由题意得Error!4 分 将整体代入得 80(1qn)6 560， qn81.6 分 将 qn81 代入得 a1(181)80(1q)， a1q1，由 a10，得 q1， 数列an为递增数列8 分ana1qn1qn8154.a1qa1q .10 分a1q23 与 a1q1 联立可得 a12，q3， a2n232n1 (nN*)12 分 【突破思维障碍】 (1)分类讨论的思想：利用等比数列前 n 项和公式时要分公比 q1 和 q1 两种情况 讨论；研究等比数列的单调性时应进行讨论：当 a10，q1 或 a11 或 a10,00 且
6、 q1)常和指数函数相a1q联系(3)整体思想：应用等比数列前 n 项和时，常把 qn，当成整体求解a11q 本题条件前 n 项中数值最大的项为 54 的利用是解决本题的关键，同时将 qn和的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和a11qn1q 的题目时应灵活运用1等比数列的通项公式、前 n 项公式分别为 ana1qn1，SnError! 2等比数列的判定方法：(1)定义法：即证明q (q0，nN*) (q 是与 n 值无关的常数)an1an (2)中项法：证明一个数列满足 aanan2 (nN*且 anan1an20)2n13等比数列的性质： (1)anamqn
7、m (n，mN*)； (2)若an为等比数列，且 klmn (k，l，m，nN*)，则 akalaman； (3)设公比不为1 的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数 列，其公比为 qn. 4在利用等比数列前 n 项和公式时，一定要对公比 q1 或 q1 作出判断；计算过程中 要注意整体代入的思想方法 5等差数列与等比数列的关系是：(1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列； (2)若an是等比数列，且 an0，则lg an构成等差数列 (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1(2010辽宁)设an是由
8、正数组成的等比数列，Sn为其前 n 项和已知 a2a41，S37，则 S5等于 ( )A.B.C.D.1523143341722(2010浙江)设 Sn为等比数列an的前 n 项和，8a2a50，则等于 ( )S5S2 A11B8C5D11 3在各项都为正数的等比数列an中，a13，前三项的和 S321，则 a3a4a5等 于( ) A33B72C84D189 4等比数列an前 n 项的积为 Tn，若 a3a6a18是一个确定的常数，那么数列 T10，T13，T17，T25中也是常数的项是 ( ) AT10BT13CT17DT255(2011佛山模拟)记等比数列an的前 n 项和为 Sn，若
9、S32，S618，则等于( )S10S5 A3B5C31D33 题号12345 答案 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6设an是公比为正数的等比数列，若 a11，a516，则数列an前 7 项的和为 _ 7(2011平顶山月考)在等比数列an中，公比 q2，前 99 项的和 S9930，则 a3a6a9a99_. 8(2010福建)在等比数列an中，若公比 q4，且前 3 项之和等于 21，则该数列的 通项公式 an_. 三、解答题(共 38 分) 9(12 分)(2010陕西)已知an是公差不为零的等差数列，a11，且 a1，a3，a9成等比 数列 (1)求数列an的通项； (2
10、)求数列2an的前 n 项和 Sn.10(12 分)(2011廊坊模拟)已知数列log2(an1)为等差数列，且 a13，a25. (1)求证：数列an1是等比数列；(2)求的值1a2a11a3a21an1an11(14 分)已知等差数列an的首项 a11，公差 d0，且第 2 项、第 5 项、第 14 项 分别是等比数列bn的第 2 项、第 3 项、第 4 项 (1)求数列an与bn的通项公式；(2)设数列cn对 nN*均有an1成立，求 c1c2c3c2 010.c1b1c2b2cnbn答案答案 自主梳理 1公比 q 2.a1qn1 4.(1)qnm (2)akalaman (4)递增 递
11、减 常 摆动 6.qn 自我检测 1D 2.B 3.B 4.C 5.9 课堂活动区 例 1 解题导引 (1)在等比数列的通项公式和前 n 项和公式中共有 a1，an，q，n，Sn五个 量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量解题时，将已知条件转化为基本量间的 关系，然后利用方程组的思想求解； (2)本例可将所有项都用 a1和 q 表示，转化为关于 a1和 q 的方程组求解；也可利用等比 数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化 解 方法一 由已知得：Error!Error! ，得 4a q664，a q616.2 12 1代入，得21616q2100.16q2解得 q24 或 q2 .1
12、4又数列an为正项数列，q2 或 .12当 q2 时，可得 a1 ，12an 2n12n2，12Sn2n1 ；12(12n)1212当 q 时，可得 a132.12an32n126n.(12)Sn6426n.321(12)n112 方法二 a1a5a2a4a ，a2a6a3a5，a3a7a4a6a ，2 32 5由Error!可得Error!即Error!Error!解得Error!或Error!当 a38，a52 时，q2 .a5a32814q0，q ，由 a3a1q28，12得 a132，an32n126n.(12)Sn6426n.3226n 12112当 a32，a58 时，q2 4，且
13、 q0，82q2.由 a3a1q2，得 a1 .2412an 2n12n2.12Sn2n1 .12(2n1)2112 变式迁移 1 解 由题意得Error!解得Error!或Error!若Error!则 Sn126，a1anq1q642q1q解得 q ，此时，an264n1，12(12)n6.若Error!则 Sn126，q2.264q1qan6422n1.n6.综上 n6，q2 或 .12 例 2 解题导引 (1)证明数列是等比数列的两个基本方法：q (q 为与 n 值无关的常数)(nN*)an1anaanan2 (an0，nN*)2n1 (2)证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反 证法 (1)证明 由已知 Sn12Snn5，nN*， 可得 n2 时，Sn2Sn1n4， 两式相减得 Sn1Sn2(SnSn1)1， 即 an12an1，从而 an112(an1)， 当 n1 时，S22S115，所以 a2a12a16， 又 a15，所以 a211， 从而 a212(a11)， 故总有 an112(an1)，nN*，又 a15，a110，从而2，an11an1 即数列an1是首项为 6，公比为 2 的等比数列 (2)解 由(1)得 an
