代数式求值问题的变通

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1、 浅谈代数式求值问题的变通浅谈代数式求值问题的变通代数式的化简与求值是初中数学的重要内容之一。其中，代数式求值问题的变形，是一项技巧性很强的变形，往往需要在把求值的代数式变形的同时把条件变形，有时候还要综合运用代数式的恒等变形与方程的同解变形。诚然，中学里的代数式变换、互化是我们解题的一种常规武器，而巧妙地用整体求值，能化繁为简、灵活变通地解决问题，由此产生的数学思想更具有普遍的意义。在许多初中代数式求值问题中，如果“硬碰硬”求值，往往很繁很难。但若仔细观察已知重要条件和求值式的结构特征，灵活变换已知条件或根据已知条件去变形求值式，经过一两次变式就可以轻松快捷地解决问题。一、根据题意，灵活变通

2、已知条件例如， （1）已知 x2+y2=7，xy=1，求 x+y 的值。（2）已知 x-=1，求 x2-x 的值。（3）已知 7a2+7b2=42，ab=1，求 3-5a+5b 的值。以上这些例题，如果按常规思路，先解方程或方程组，或者把已知条件代入所求代数式，解答就很麻烦，甚至无法求得其结果。如果我们将已知条件变形，就可迎刃而解了。以上述的第（3）题为例，解题过程如下：解：由 7a2+7b2=42?圯 a2+b2=6由 ab=1?圯-2ab=-2 +得：a2+b2-2ab=4?圯(a-b)2=4?圯 a-b=23-5a+5b=3-5(a-b)=3-5(2)=3103-5a+5b 的值为 13

3、 或-7二、根据题意，变通求值式数学题的解法蕴含着多种数学思想。可以从已知条件变形入手，也可以从求值式变式着手，殊途同归，寻找解题简捷途径。例如， （1）已知 3x+2=a，4y+1=b，求 32x+4-42y+2 的值。（2）已知 b-a=-4，求-ab 的值。以上两题只要从求值式变形入手，就可以轻而易举地求得结果。现将以上的第（1）题为例，解题过程如下：解：由 32x+4-42y+2=(3x+2)2-(4y+1)2=a2-b2三、通过观察，将已知条件和求值式同时变形在解数学题时，要善于运用发散思维思想，从多角度去分析问题和处理问题，这样才能容易找到解题的方法和技巧。例如， （1）已知 x=

4、，y=,求 x2-2x+y2+2y+2 的值。（2）已知 x+，求 x4-x3+2x2-x+1 的值。以上述的第（2）题为例，解题过程如下：解：由 x+=1?圯 x2-x+1=0由 x4-x3+2x2-x+1?圯 x4-x3+x2+x2-x+1?圯 x2(x2-x+1)+(x2-x+1)原式=x20+0=0四、认真观察，从题目中的隐含条件找到解题技巧例如， （1）已知 y=，求 yx 的值。（2）已知 x2-2x+y2+6y+10=0，求 x3-3y2 的值。以上两题中的已知条件都隐藏着解题的重要契机。只要抓住这个契机，就抓到了解题的金钥匙。以上述的第（1）题为例，解题过程如下：解：由已知条件

5、可知，x-202-x0 即 x2x2x=2把 x=2 代入 y=可求得 y=2yx=(2)2=8五、已知整体值，灵活变通已知条件例如，已知：a-b=5，a-c=，求代数式 c2-2bc+b2 的值。题中虽然已知 a-b 与 a-c 的值，但要求值的代数式 c2-2bc+b2无法化为已知整体的形式。因此，必须将条件改变形式。不难看出，只需将条件中的两等式相减就可以得到 c-b=4。使用整体代值就可解决问题。解题过程如下：解：据题意得 a-b=5 a-c= -得，c-b=4c2-2bc+b2=(c-b)2=(4)2=32在以上这些问题中，给出整体的值无法使用，此时，只需把条件稍作改变，就能在问题中得到使用。从以上五个例子的解题思路和过程可知，或变通已知条件，或变求值式子，或是两者同时变形都是代数求值问题的重要途径。只要随机应对灵活变形，就一定会有“柳暗花明又一村”的感觉。