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1、第三十一讲第三十一讲 分解质因数法分解质因数法姚老师数学乐园广安岳池 姚文国通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数，来解答应用题的解题方法叫做 分解质因数法。分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的 运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一 些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。例例 1 1 一块正方体木块，体积是 1331 立方厘米。这块正方体木块的棱长是 多少厘米？（适于六年级程度）解：把 1331 分解质因数：1331=111111答：这块正方体木块的棱长是 11 厘米。例例 2 2 一个数的平方等于 324，
2、求这个数。（适于六年级程度）解：把 324 分解质因数：324= 223333=（233）（233）=1818答：这个数是 18。例例 3 3 相邻两个自然数的最小公倍数是 462，求这两个数。 （适于六年级程度）解：把 462 分解质因数：462=23711=（37）（211）=2122答：这两个数是 21 和 22。* *例例 4 4 ABCD=1673，在这个乘法算式中，A、B、C、D 代表不同的数字， ABC 是一个三位数。求 ABC 代表什么数？（适于六年级程度）解：因为 ABCD=1673，ABC 是一个三位数，所以可把 1673 分解质因数， 然后把质因数组合成一个三位数与另一个
3、数相乘的形式，这个三位数就是 ABC 所代表的数。1673=2397答：ABC 代表 239。例例 5 5 一块正方形田地，面积是 2304 平方米，这块田地的周长是多少米？ （适于六年级程度）解：先把 2304 分解质因数，并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质 因数，每组质因数的积就是正方形的边长。2304=2222222233=（22223）（22223）=4848正方形的边长是 48 米。这块田地的周长是：484=192（米）答略。* *例例 6 6 有 3250 个桔子，平均分给一个幼儿园的小朋友，剩下 10 个。已知 每一名小朋友分得的桔子数接近 40 个。求这个幼儿园有多少名小
4、朋友？（适于 六年级程度）解：3250-10=3240（个）把 3240 分解质因数：3240=23345接近 40 的数有 36、37、38、39这些数中 36=2232，所以只有 36 是 3240 的约数。23345（2232）=2325=90答：这个幼儿园有 90 名小朋友。* *例例 7 7 105 的约数共有几个？（适于六年级程度）解：求一个给定的自然数的约数的个数，可先将这个数分解质因数，然后 按一个质数、两个质数、三个质数的乘积逐一由小到大写出，再求出它的 个数即可。因为，105=357，所以，含有一个质数的约数有 1、3、5、7 共 4 个；含有两个质数的乘积的约数有 35、
5、37、57 共 3 个；含有三个质数的乘积的约数有 357 共 1 个。所以，105 的约数共有 4+3+1=8 个。答略。* *例例 8 8 把 15、22、30、35、39、44、52、77、91 这九个数平均分成三组， 使每组三个数的乘积都相等。这三组数分别是多少？（适于六年级程度）解：将这九个数分别分解质因数：15=3522=21130=23535=5739=31344=221152=221377=71191=713观察上面九个数的质因数，不难看出，九个数的质因数中共有六个 2，三 个 3，三个 5，三个 7，三个 11，三个 13，这样每组中三个数应包括的质因数 有两个 2，一个 3
6、，一个 5，一个 7，一个 11 和一个 13。由以上观察分析可得这三组数分别是：15、52 和 77；22、30 和 91；35、39 和 44。答略。* *例例 9 9 有四个学生，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，他们的年龄数相 乘的积是 5040。四个学生的年龄分别是几岁？（适于六年级程度）解：把 5040 分解质因数：5040=22223357由于四个学生的年龄一个比一个大 1 岁，所以他们的年龄数就是四个连续 自然数。用八个质因数表示四个连续自然数是：7，222，33，25即四个学生的年龄分别是 7 岁、8 岁、9 岁、10 岁。答略。* *例例 1010 在等式 35（ ）8127
7、=718（ ）162 的两个括号 中，填上适当的最小的数。（适于六年级程度）解：将已知等式的两边分解质因数，得：5377（ ）=22367（ ）把上面的等式化简，得：15（ ）=4（ ）所以，在左边的括号内填 4，在右边的括号内填 15。15（4）=4（15）答略。* *例例 1111 把 84 名学生分成人数相等的小组（每组最少 2 人），一共有几种 分法？（适于六年级程度）解：把 84 分解质因数：84=2237除了 1 和 84 外，84 的约数有：2，3，7，22=4，23=6，27=14，37=21，223=12，227=28 ，237=42。下面可根据不同的约数进行分组。842=4
8、2（组）， 843=28（组），844=21（组），846=14（组），847=12（组）， 8412=7（组），8414=6（组），8421=4（组），8428=3（组）， 8442=2（组）。因此每组 2 人分 42 组；每组 3 人分 28 组；每组 4 人分 21 组；每组 6 人分 14 组；每组 7 人分 12 组；每组 12 人分 7 组；每组 14 人分 6 组；每组 21 人分 4 组；每组 28 人分 3 组；每组 42 人分 2 组。一共有 10 种分法。答略。* *例例 1212 把 14、30、33、75、143、169、4445、4953 这八个数分成两组， 每组四
9、个数，要使各组数中四个数的乘积相等。求这两组数。（适于六年级程 度）解：要使两组数的乘积相等，这两组乘积中的每个因数不必相同，但这些 因数经分解质因数，它们所含有的质因数一定相同。因此，首先应把八个数分 解质因数。14=27 143=111330=235 169=131333=311 4445=5712775=355 4953=313127在上面的质因式中，质因数 2、7、11、127 各有 2 个，质因数 3、5、13 各 有 4 个。在把题中的八个数分为两组时，应使每一组中的质因数 2、7、11、127 各 有 1 个，质因数 3、5、13 各有 2 个。按这个要求每一组四个数的积应是：2
10、71112733551313因为，（27）（355）（1113）（313127） =14751434953，根据接下来为“14、75、143、4953”正符合题意，因此， 要求的一组数是 14、75、143、4953，另一组的四个数是： 30、33、169、4445。答略。* *例例 1313 一个长方形的面积是 315 平方厘米，长比宽多 6 厘米。求这个长方 形的长和宽。（适于五年级程度）解：设长方形的宽为 x 厘米，则长为（x+6）厘米。根据题意列方程，得：x（x+6）= 315x（x+6）=3357=（35）（37）x（x+6）=1521x（x+6）=15（15+6）x=15x+6=2
11、1答：这个长方形的长是 21 厘米，宽是 15 厘米。* *例例 1414 已知三个连续自然数的积为 210，求这三个自然数各是多少？（适 于五年级程度）解：设这三个连续自然数分别是 x-1，x，x+1，根据题意列方程，得：（x-1）x（x+1）=210=2110=3725=567比较方程两边的因数，得：x=6，x-1=5，x+1=7。答：这三个连续自然数分别是 5、6、7。* *例例 1515 将 37 分为甲、乙、丙三个数，使甲、乙、丙三个数的乘积为 1440，并且甲、乙两数的积比丙数的 3 倍多 12，求甲、乙、丙各是几？（适于 六年级程度）解：把 1440 分解质因数：1440= 12
12、1210=22322325=（222）（33）（225）=8920如果甲、乙二数分别是 8、9，丙数是 20，则：89=72，203+12=72正符合题中条件。答：甲、乙、丙三个数分别是 8、9、20。* *例例 1616 一个星期天的早晨，母亲对孩子们说：“你们是否发现在你们中间， 大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和？”儿子们齐声回答说：“是的，我们的年 龄和您年龄的乘积，等于您儿子人数的立方乘以 1000 加上您儿子人数的平方乘 以 10。”从这次谈话中，你能否确定母亲在多大时，才生下第二个儿子？（适 于六年级程度）解：由题意可知，母亲有三个儿子。母亲的年龄与三个儿子年龄的乘积等 于：3310
13、00+3210=27090把 27090 分解质因数：27090=4375322根据“大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和”，重新组合上面的质因式得：431495这个质因式中 14 就是 9 与 5 之和。所以母亲 43 岁，大儿子 14 岁，二儿子 9 岁，小儿子 5 岁。43-9=34（岁）答：母亲在 34 岁时生下第二个儿子。第三十二讲第三十二讲 最大公约数法最大公约数法通过计算出几个数的最大公约数来解题的方法，叫做最大公约数法。 例例 1 1 甲班有 42 名学生，乙班有 48 名学生，现在要把这两个班的学生平均 分成若干个小组，并且使每个小组都是同一个班的学生。每个小组最多有多少 名学生？
14、（适于六年级程度）解：要使每个小组都是同一个班的学生，并且要使每个小组的人数尽可能 多，就要求出 42 和 48 的最大公约数：23=642 和 48 的最大公约数是 6。答：每个小组最多能有 6 名学生。例例 2 2 有一张长 150 厘米、宽 60 厘米的长方形纸板，要把它分割成若干个 面积最大，井已面积相等的正方形。能分割成多少个正方形？（适于六年级程 度）解：因为分割成的正方形的面积最大，并且面积相等，所以正方形的边长 应是 150 和 60 的最大公约数。求出 150 和 60 的最大公约数：235=30150 和 60 的最大公约数是 30，即正方形的边长是 30 厘米。看上面的短
15、除式中，150、60 除以 2 之后，再除以 3、5，最后的商是 5 和 2。这说明，当正方形的边长是 30 厘米时，长方形的长 150 厘米中含有 5 个 30 厘米，宽 60 厘米中含有 2 个 30 厘米。所以，这个长方形能分割成正方形：52=10（个）答：能分割成 10 个正方形。例例 3 3 有一个长方体的方木，长是 3.25 米，宽是 1.75 米，厚是 0.75 米。 如果将这块方木截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能 大。小木块的棱长是多少？可以截成多少块这样的小木块？（适于六年级程度）解：3.25 米=325 厘米，1.75 米=175 厘米，0.75 米=75 厘米，此题实际是 求 325、175 和 75 的最大公约数。55=25325、175 和 75 的最大公约数是 25，即小正方体木块的棱长是 25 厘米。因为 75、175、325 除以 5 得商 15、35、65，15、35、65 再除以 5，最后 的商是 3、7、13，而小正方体木块的棱长是 25 厘米，所以，在 75 厘米中包含 3 个 25 厘米，在 175 厘米中包含 7 个 25 厘米，在 325 厘
