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1、第一讲 行程问题（一） 教学目标： 1、比例的基本性质 2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题 3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化； 4、单位“1”变化的比例问题 5、方程解比例应用题知识点拨： 发车问题发车问题（1）、一般间隔发车问题。用 3 个公式迅速作答；汽车间距=（汽车速度+行人速度）相遇事件时间间隔汽车间距=（汽车速度-行人速度）追及事件时间间隔汽车间距=汽车速度汽车发车时间间隔（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。标准方法是：画图尽可能多的列 3 个好使公式结合 s 全程vt-结合植树问题数数。3 当出现多次相遇和追及问题柳卡火车过桥火车过桥 火车过桥问题常
2、用方法 火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和. 火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两 车身长度之和. 火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的 相应路程仍只是对面火车的长度. 对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目， 在分析题目的时候一定得结合着图来进行.接送问题接送问题根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：（1）车速不变-班速不变-班数 2
3、 个（最常见）（2）车速不变-班速不变-班数多个（3）车速不变-班速变-班数 2 个（4）车速变-班速不变-班数 2 个标准解法：画图列 3 个式子1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；2、班车走的总路程；3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。时钟问题：时钟问题：时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上 2 人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而 是 2 个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。流水行船问题中的相遇与追及流水行船问题中的相遇与追
4、及两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关.甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速.说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系.例题精讲： 模块一模块一 发车问题发车问题【例例 1】某停车场有某停车场有 10 辆出租汽车，第一辆出租汽车出
5、发后，每隔辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔 4 分钟，有一辆出租汽车开出分钟，有一辆出租汽车开出. .在第一在第一 辆出租汽车开出辆出租汽车开出 2 分钟后，有一辆出租汽车进场分钟后，有一辆出租汽车进场. .以后每隔以后每隔 6 分钟有一辆出租汽车回场分钟有一辆出租汽车回场. .回场的出回场的出 租汽车，在原有的租汽车，在原有的 10 辆出租汽车之后又依次每隔辆出租汽车之后又依次每隔 4 分钟开出一辆，问：从第一辆出租汽车开出后，分钟开出一辆，问：从第一辆出租汽车开出后， 经过多少时间，停车场就没有出租汽车了？经过多少时间，停车场就没有出租汽车了？这个题可以简单的找规律求解 时间 车辆
6、4 分钟 9 辆 6 分钟 10 辆 8 分钟 9 辆 12 分钟 9 辆 16 分钟 8 辆 18 分钟 9 辆 20 分钟 8 辆 24 分钟 8 辆 由此可以看出：每 12 分钟就减少一辆车，但该题需要注意的是：到了剩下一辆的时候是不符合这种规 律的到了 12*9=108 分钟的时候，剩下一辆车，这时再经过 4 分钟车厂恰好没有车了，所以第 112 分 钟时就没有车辆了，但题目中问从第一辆出租汽车开出后，所以应该为 108 分钟。【例例 2】某人沿着电车道旁的便道以每小时某人沿着电车道旁的便道以每小时千米的速度步行，每千米的速度步行，每分钟有一辆电车迎面开过，每分钟有一辆电车迎面开过，每
7、 124.57.2 分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行问：电车分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行问：电车 的速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？的速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？设电车的速度为每分钟米人的速度为每小时千米，相当于每分钟 75 米根据题意可列方程如x4.5下：，解得，即电车的速度为每分钟 300 米，相当于每小时 18 千757.27512xx300x 米相同方向的两辆电车之间的距离为：(米)，所以电车之间的时间间隔为：30075122700(分钟)27003009【巩固巩固】 某人以匀速行走
8、在一条公路上某人以匀速行走在一条公路上, ,公路的前后两端每隔相同的时间发一辆公共汽车公路的前后两端每隔相同的时间发一辆公共汽车. .他发现每隔他发现每隔 15 分分 钟有一辆公共汽车追上他；每隔钟有一辆公共汽车追上他；每隔 10 分钟有一辆公共汽车迎面驶来擦身而过分钟有一辆公共汽车迎面驶来擦身而过. .问公共汽车每隔多少问公共汽车每隔多少 分钟发车一辆分钟发车一辆? ?这类问题一般要求两个基本量：相邻两电车间距离、电车的速度。是人与电车的相遇与追及问题，他们的路程和（差）即为相邻两车间距离，设两车之间相距 S，根据公式得，那么，解得() 10minSVV人车50712.55xx6(6)3(3
9、)xt yxt y，所以发车间隔 T =2(3)3xt y2.52.53(3)xyxt y【巩固巩固】 某人沿电车线路行走，每某人沿电车线路行走，每 12 分钟有一辆电车从后面追上，每分钟有一辆电车从后面追上，每 4 分钟有一辆电车迎面开来假设两分钟有一辆电车迎面开来假设两 个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔设电车的速度为 a，行人的速度为 b，因为每辆电车之间的距离为定值，设为 l由电车能在 12 分钟追上行人 l 的距离知，； 由电车能在 4 分钟能与行人共同走过 l 的距离知， ,所以有(21)xty1 12 l=12(a-b)=4(a+
10、b)，有 a=2b，即电车的速度是行人步行速度的 2 倍。那么 l=4(a+b)=6a，则发车间隔上：即发车间隔为 6 分钟1650(1)541211【例例 3】一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的 3 倍，每隔倍，每隔 6 分钟有一辆分钟有一辆 公共汽车超过步行人，每隔公共汽车超过步行人，每隔 10 分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间 间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？要
11、求汽车的发车时间间隔，只要求出汽车的速度和相邻两汽车之间的距离就可以了，但题目没有直 接告诉我们这两个条件，如何求出这两个量呢？ 由题可知：相邻两汽车之间的距离（以下简称间隔距离）是不变的，当一辆公共汽车超过步行人时，紧 接着下一辆公共汽车与步行人之间的距离就是间隔距离，每隔 6 分钟就有一辆汽车超过步行人， 这就是说：当一辆汽车超过步行人时，下一辆汽车要用 6 分钟才能追上步行人，汽车与行人的路程差 就是相邻两汽车的间隔距离。对于骑车人可作同样的分析. 因此，如果我们把汽车的速度记作 V 汽，骑车人的速度为 V 自，步行人的速度为 V 人（单位都是米/分 钟），则：间隔距离=（V 汽-V 人
12、）6（米），间隔距离=（V 汽-V 自）10（米），V 自=3V 人。综合上面的三 个式子，可得：V 汽=6V 人，即 V 人=1/6V 汽， 则：间隔距离=（V 汽-1/6V 汽）6=5V 汽（米） 所以，汽车的发车时间间隔就等于：间隔距离V 汽=5V 汽（米）V 汽（米/分钟）=5（分钟）。【巩固巩固】 从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲与乙两人在一条街上沿着同一方向步行。甲每分钟步从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲与乙两人在一条街上沿着同一方向步行。甲每分钟步 行行 82 米，每隔米，每隔 10 分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行 6
13、0 米，每隔米，每隔 10 分分 15 秒遇上迎面秒遇上迎面 开来的一辆电车。那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？开来的一辆电车。那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？这类问题一般要求两个基本量：相邻两电车间距离、电车的速度。甲与电车属于相遇问题，他们的路程和即为相邻两车间距离，根据公式得，类似可得，那么，即6541165(1210)605465111156511，解得米/分，因此发车间隔为 9020820=11 分钟。1 1254【例例 4】甲城的车站总是以甲城的车站总是以 20 分钟的时间间隔向乙城发车，甲乙两城之间既有平路又有上坡和下坡，车辆分钟的时间间隔向乙城发车，甲乙两城之间既有平
14、路又有上坡和下坡，车辆 （包括自行车）上坡和下坡的速度分别是平路上的（包括自行车）上坡和下坡的速度分别是平路上的 80% %和和 120% %，有一名学生从乙城骑车去甲城，有一名学生从乙城骑车去甲城， 已知该学生平路上的骑车速度是汽车在平路上速度的四分之一，那么这位学生骑车的学生在平路、已知该学生平路上的骑车速度是汽车在平路上速度的四分之一，那么这位学生骑车的学生在平路、 上坡、下坡时每隔多少分钟遇到一辆汽车？上坡、下坡时每隔多少分钟遇到一辆汽车？先看平路上的情况，汽车每分钟行驶汽车平路上汽车间隔的 1/20，那么每分钟自行车在平路上行驶 汽车平路上间隔的 1/80，所以在平路上自行车与汽车每
15、分钟合走汽车平路上间隔的 1/20+1/80=1/16， 所以该学生每隔 16 分钟遇到一辆汽车，对于上坡、下坡的情况同样用这种方法考虑，三种情况中该 学生都是每隔 16 分钟遇到一辆汽车.【例例 5】甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、 乙两地出发，相向而行每辆电车都隔乙两地出发，相向而行每辆电车都隔 4 分钟遇到迎面开来的一辆电车；小张每隔分钟遇到迎面开来的一辆电车；小张每隔 5 分钟遇到迎分钟遇到迎 面开来的一辆电车；小王每隔面开来的一辆电车；小王每隔 6 分钟遇到迎面开来的一辆电车已知电车行驶全程是分钟遇到迎面开来的一辆电车已知电车行驶全程是 56 分钟，那分钟，那 么小张与小王在途中相遇时他们已行走了么小张与小王在途中相遇时他们已行走了 分钟分钟由题意可知，两辆电车之间的距离电车行 8 分钟的路程（每辆电车都隔 4 分钟遇到迎面开来的一辆电车）10 电车行 5 分钟的路程 小张行 5 分钟的路程101 电车行 6 分钟的路程小王行 6 分钟的路程2472 由此可得，小张速度是电车速度的，小王速度是电车速度的，小张与小王的速度和是电车速度1012 的，所以他们合走完全程所用的时间为电车行驶全程所用时间的，即分钟，所以小张与小王101253
