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1、第讲第讲 平面向量与解析几何平面向量与解析几何在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知 识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析 几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育 家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习 兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思 路，减轻负担。一、知识整合一、知识整合平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、 物理等学
2、科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份” ，能融数形 与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中， 解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作 形与数的转化，则会大大简化过程。二、例题解析二、例题解析例 1、 （2000 年全国高考题）椭圆的焦点为 FF ，点 P 为其上的动点，当F14922 yx,12P F 为钝角时，点 P 横坐标的取值范围是_。12解：F1（,0）F2（,0）,设 P（3cos,2sin）55为钝角21PFFQ 1253cos , 2sin ) ( 53cos
3、, 2sin )PF PF uuu r uuu u r（=9cos254sin2=5 cos210解得： 点 P 横坐标的取值范围是（）55cos55553,553点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为 向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。例 2、已知定点 A(-1,0)和 B(1,0)，P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4 上的一动点，求的22PAPB最大值和最小值。分析：因为 O 为 AB 的中点，所以故可利用向量把问题转化为求向量的最2,PAPBPOuu u ruu u ruuu u rOPuuu r值。解：设已知圆的圆心为
4、C，由已知可得： 1,0,1,0OAOB uu u ruuu r又由中点公式得0,1OAOBOA OB uu u ruuu ruu u r uuu r2PAPBPOuu u ruu u ruuu r所以222()2PAPBPAPBPA PBuu u ruu u ruu u ruu u ruu u r uu u r=2(2)2() ()POOAOPOBOPuuu ruu u ruuu ruuu ruuu r=224222()POOA OBOPOPOAOBuuu ruu u r uuu ruuu ruuu ruu u ruuu r=222OP uuu r又因为 点 P 在圆(x-3)2+(y-4)
5、2=4 上, 3,4OC uuu r所以 且 5,2,OCCPuuu ruu u rOPOCCPuuu ruuu ruu u r所以OCCPOPOCCPOCCPuuu ruu u ruuu ruuu ruu u ruuu ruu u r即 故37OPuuu r2222022100PAPBOPuu u ruu u ruuu r所以的最大值为 100，最小值为 20。22PAPB点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决， 也会显得自然、简便，而且易入手。 例 3、 （2003 年天津高考题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的
6、轨迹一定通过ABC的（ ）) |( ACACABABOAOP，0（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心分析：因为同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知| |ABACAB ACABACuuu ruuu ruuu r uuu ruuu ruuu r、分别是与、是与ABC 的角平分线（射线）同向的一个向量，又|ABAC ABACuuu ruuu r uuu ruuu r，知 P 点的轨迹是ABC 的角平分线，从而点P的轨迹一定通()ABACOPOAAP ABACuuu ruuu ruuu ruu u ruuu r uuu ruuu r过ABC的内心。 反思：根据本题的结论，我们不难得到求
7、一个角的平分线所在的直线方程的步骤；（1）由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量；12v vu r u u r、（2）求出角平分线的方向向量1212vvv vvu ru u rr u ru u rPCyxAo B（3）由点斜式或点向式得出角平分线方程。直线的点向式方程：过 P（） ，其方向00,xy向量为，其方程为( , )v a br00xxyy ab例 4、 （2003 年天津）已知常数，向量，经过原点以为方0a(0, )(1,0)carr，iOcirr向向量的直线与经过定点以为方向向量的直线相交于点，其中试问：), 0(aA2icrr PR是否存在两个定点，使得为定值，若
8、存在，求出的坐标；若不存在，说FE、PEPFuuu ruuu r FE、明理由 （本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判 定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.） 解：根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点 P 到两定点距离的和为定值.， =（，a） ，=（1，2a）.(0, )(1,0)carr，icirr2icrr因此，直线 OP 和 AP 的方程分别为 和 .axy axay2消去参数 ，得点的坐标满足方程.),(yxP222)(xaayy整理得 因为所以得： . 1)2()2(8
9、122 2 aayx, 0a（i）当时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点 E 和 F；22a（ii）当时，方程表示椭圆，焦点和为合乎题意 220 a)2,21 21(2aaE)2,21 21(2aaF的两个定点；（iii）当时，方程也表示椭圆，焦点和为 22a)21(21, 0(2aaE)21(21, 0(2aaF合乎题意的两个定点. 点评：本题以平面向量为载体，考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程 的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。去掉平面向量的背景，我们不难看到，本题即为 下题：在OAP 中，O（0，0） 、A（0，a）为两个定点，另两边 OP 与 AP 的斜率
10、分别是，求 P 的轨迹。(0), 2aa而课本上有一道习题（数学第二册（上）第 96 页练习题 4）： 三角形 ABC 的两个顶点 A、B 的坐标分别是（-6，0） 、 （6，0） ，边 AC、BC 所在直线的斜率之积等于，求顶点 C 的轨迹方程。通过本例可见高考题目与课本的密切关系。4 9例 5 （2004 年天津卷理 22）椭圆的中心是原点 O，它的短轴长为，相应于焦点 F（c，0）22（）的准线 与 x 轴相交于点 A，|OF|=2|FA|，过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点.0cl（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线 PQ 的方程；0OQOP（3）设（） ，过点 P 且
11、平行于准线 的直线与椭圆相交于另一点 M，证明AQAP1l.FQFM分析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方 程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.（1）解：由题意，可设椭圆的方程为.)2( 12222 ay ax由已知得解得 ).(2, 2222ccacca 2,6ca所以椭圆的方程为，离心率.12622 yx 36e（2）解：由（1）可得 A（3，0）.设直线 PQ 的方程为.由方程组)3( xky得 )3(, 12622xkyyx 062718) 13(2222kxkxk依题意，得.0)32(122k36 36k设，则， . ),(),(
12、2211yxQyxP13182221kkxx136272221kkxx由直线 PQ 的方程得.于是)3(),3(2211xkyxky. 9)(3)3)(3(21212 212 21xxxxkxxkyy，. 0OQOP02121yyxx由得，从而.152k)36,36(55k所以直线 PQ 的方程为或035yx035yx（2）证明：.由已知得方程组), 3(), 3(2211yxAQyxAP注意，解得. 126, 126,),3(32 22 22 12 12121yxyxyyxx1 2152x因，故),(),0, 2(11yxMF.), 1)3(), 2(1211yxyxFM),21(),21(
13、21yy而，所以.),21(), 2(222yyxFQFQFM三、总结提炼三、总结提炼由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份” ，使向量与解析几何之间有着密切联系， 而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习 中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识。应充分挖掘课本素材，在教 学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形 成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一 些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性，在教学中还应注重引导 学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识。
