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1、2013 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料（理科）（理科）说明： 本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编写，共 24 题 本训练题仅供本市高三学生考前冲刺训练冲刺训练用，希望在 5 月 31 日之前完成3本训练题本训练题与市高三质量抽测市高三质量抽测、一模一模、二模二模等数学试题在内容上相互配套，互为补充四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法因此，希望同学们在 5 月 31 日至 6 月 6日之间，安排一段时间，对这四套试题进行一次全面的回顾总结，同时，将高中数学课本中的基本知识（如概念、定理、公式等）再复习一遍
2、xK b1.Co m希望同学们保持良好的心态，在高考中稳定发挥，考取理想的成绩！1. 已知函数，的最大值是 1，其图像经过点( )sin()(0 0)f xAxA，xR 1 3 2M，（1）求的解析式；Ks5u( )f x（2）已知，且，求的值02，3( )5f12( )13f()f2. 设函数.xxxfcossin2)(（1）若是函数的一个零点，求的值；0x)(xf02cos x（2）若是函数的一个极值点，求的值.0x)(xf02sin x3. 在中，内角所对的边长分别是, 已知，.ABC, ,A B C, ,a b c4A4cos5B （1）求的值；cosC（2）若为的中点，求的长.10,
3、BCDABCD4. 一缉私艇发现在方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）45方向，距离 15 海里的海面上有一走私船正以 25 海里/小时的速度沿方位角为 105的方向逃窜若缉 私艇的速度为 35 海里/小时，缉私艇沿方位角为 45+ 的方向追去，若要在最短时间内 追上该走私船 （1）求角 的正弦值； （2）求缉私艇追上走私船所需的时间5. 某网站用“10 分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名，以下茎 叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：幸福度 7 3 0 8 6 6 6 6 7 7 8 8 9 9 9 7 6 5
4、 5 （1）指出这组数据的众数和中位数； （2）若幸福度不低于 9.5 分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这 16 人中随机选取 3 人，至多有 1 人是“极幸福”的概率； （3）以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选 3 人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望6.汽车是碳排放量比较大的行业之一欧盟规定，从 2012 年开始，将对排放量超过2CO的型新车进行惩罚某检测单位对甲、乙两类型品牌车各抽取辆进行130 g/kmM1M15排放量检测，记录如下(单位：).2COg/km甲80110120140150APBCDMN乙100120xy16
5、0经测算发现，乙品牌车排放量的平均值为2CO120x乙g/km（1）从被检测的 5 辆甲类品牌车中任取 2 辆，则至少有一辆不符合排放量的概2CO率是多少？（2）若，试比较甲、乙两类品牌车排放量的稳定性90130x2CO7随机抽取某厂的某种产品 200 件，经质检，其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等 品 20 件、次品 4 件已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元，而 1 件次品亏损 2 万元设 1 件产品的利润（单位：万元）为（1）求的分布列；（2）求 1 件产品的平均利润（即的数学期望） ；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率
6、降为，一等品率提高1%为如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元，则三等品率最多是多70% 少？8如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底PABCD/,90 ,ADBCBADPAo面，分别为的中点ABCD2PAADABBC,M N,PC PB（1）求证：；PBDM （2）求与平面所成的角的正弦值CDADMN9一个三棱锥的三视图、直观图如图SABC （1）求三棱锥的体积；SABC （2）求点 C 到平面 SAB 的距离；（3）求二面角的余弦值SABC10如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，EFAB/，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且2AB，1 EFAD （1）
7、求证：AF平面CBF； （2）设FC的中点为M，求证：/OM平面DAF； （3）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为ABCDFV，CBEFV，求ABCDFVCBEFV:11.已知等比数列的公比，且、成等差数列.na1q 132a 22a33a44a（1）求数列的通项公式；na（2）设，求数列的前项和.2lognnbanbnnT12.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车 流速度（单位：千米/小时）是车流密度 （单位：辆/千米）的函数当桥上的车流vx 密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0 ；当车流密度不超过 20 辆
8、/千 米时，车流速度为 60 千米/小时研究表明：当时，车流速度是车流密20020 xv 度的一次函数x (1)当时，求函数的表达式；2000 x xv(2)当车流密度为多大时，车流量可以达到最大，并求出最大值（精确x)()(xvxxf 到 1 辆/小时）. (车流量为单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）13某地区有荒山 2200 亩，从 2002 年开始每年年初在荒山上植树造林， 第一年植树 100 亩，以后每年比上一年多植树 50 亩 （1）若所植树全部成活，则到哪一年可以将荒山全部绿化？ （2）若每亩所植树苗木材量为 2 立方米，每年树木木材量的自然增长率 为 20，那么
9、到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量是多少？（精确到立方米, ） 81 24 3.14. 已知抛物线与双曲线有公共焦点，点2 1:8Cyx22222:1(0,0)xyCabab2FA是曲线在第一象限的交点，且Ks5u12,C C25AF （1）求双曲线的方程；2C（2）以双曲线的另一焦点为圆心的圆与直线相切，圆：2C1FM3yxN过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和，22(2)1xy(1, 3)PMN1l2l设被圆截得的弦长为，被圆截得的弦长为 是否为定值？请说明理1lMs2lNts t 由15. 如图，长为 m1（m0）的线段 AB 的两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑
10、动，点M 是线段 AB 上一点，且mAMMB（1）求点 M 的轨迹 的方程，并判断轨迹 为何种圆锥曲线；（2）设过点 Q( ，0)且斜率不为 0 的直线交轨迹 于 C、D 两点1 2 试问在 x 轴上是否存在定点 P，使 PQ 平分CPD？若存在，求点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由16.已知数列的前项和的平均数为 nan21n（1）求的通项公式； na（2）设，试判断并说明的符号；21n nacn1()nncc nN （3）设函数，是否存在最大的实数? 当时，对于一切2( )421naf xxxn x非零自然数，都有n( )0f x 17. 数列满足，且时，w W w .x K b 1
11、.c o Mna11 3a =2n112n n naaa-=-（1）求数列的通项公式；na（2）设数列的前项和为，求证对任意的正整数都有 nannSn215(1)326nnS-=+12121111 222nnnnaaaa- L121111111212(1)(1)132233212nnnnaaa- +=- -LL又11 122nnna =+所以从第二项开始放缩： 21221 111152 13223612nnaaa+= -LL因此 215(1)326nnS-18.解:（1），1(0)( ) (0) xx xF xx ex x当0x时，即时，最小值为 21( )2F xxx1x( )F x当时，在
12、上单调递增，所以0x( ) xF xex0 ,( )(0)1F xF所以时，的值域为1k( )F x(,12,U（2）依题意得21(0)( ) (0) xkxF xx ek x若，当时，递减，当时，递增0k0x( )0F x( )F x0x( )0F x( )F x若，当时，令，解得，0k0x( )0F x1xk当时，递减，当时，递增10 xk( )0F x( )F x1xk( )0F x( )F x当时，递增0x( )0F x( )F x若，当时，递减10 k0x( )0F x( )F x当时，解得，0x( )0xF xekln()xk当时，递增，ln()0kx( )0F x( )F x当时
13、，递减ln()xk( )0F x( )F x，对任意0x，在上递减1k( )0F x( )F x, 0,0 ,综上所述，当时，在或上单调递增，在上单调递减；0k( )F x(,01(,)k1(0,)k当时，在上单调递增，在上单调递减；0k( )F x(,0(0,)当时，在上单调递增，在，10 k( )F x(ln(),0k(,ln()k上单调递减；(0,)当时，在上单调递减1k( )F x, 0,0 ,19. 解：解：（1）则有.,)(2 xbaxf acabcbafbaf 211,0) 1 (1) 1 ( 解得（2）由（1）得 .211)(axaaxxf令,axaaxxxfxg211ln)(
14、)(xln)., 1 x, 0) 1 (g.)1)(1(11)(22 xaaxxaxxaaxg 当时，.若，是减函数， 210 a11 aa aax11)(, 0)(xgxg)(xg，即故在不恒成立.0) 1 ( g,ln)(xxfxxfln)(), 1 当时，.若，是增函数，21a11 aa1x)(, 0)(xgxg0) 1 ()( gxg即故时.综上所述，的取值范围是.,ln)(xxf1xxxfln)(a),21（3）由（2）知，当时，有.令，则 21a) 1(ln)(xxxf21axxf(21)(即当时，总有令，则 .ln)1xx1x.ln)1(21xxxkkx1)11(211ln kk kk kk.将上述个不等式累加得),111(21 kk),111(21ln) 1ln(kkkknk, 2 , 1 n整理得,) 1(21)1 31 21(21) 1ln( nnn) 1(2) 1ln(1.31 211nnnn20.解:(1)因为点的坐标为,的坐标为,nQ2(,)nna a1nQ2 1(,)n+1naa所以点的坐标为,则故的关系为1nP1(,4)n+1naa2 14,nnaa1nnaa与2 11.4nnaa(2)设切点为,则得,所以2( ,)t t/2
