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1、平面向量复习应注重的四个强化平面向量复习应注重的四个强化平面向量是高中新课程教材中新增的内容，在高考中如何考，在教学中如何把握，特别是该如何 进行系统的复习，作为广大数学教师还不是十分清楚。通过对三年来江西与天津地区的数学试卷的分 析，特别是 2003 年高考试题（江苏卷）的研究，笔者认为：在向量这一部分的教学（特别是高考复习 教学）中，首先要注重基本概念和基本运算的教学，对概念要理解深刻到位，运算要准确，尤其是向 量互相垂直、平行的充要条件和平面向量基本定理（包括坐标运算），应当达到运用自如、熟练掌握 的程度；其次教学中应把向量与其他知识内容进行整合，将几何问题、函数问题、解析几何问题、三
2、角问题等转化为向量运算，特别是坐标形式的向量运算问题，充分揭示数学中化归思想的深刻含义， 同时也显示出向量的巨大威力。因而平面向量的复习教学应注意以下四个方面的强化工作。 一、强化用平面向量解决平面几何问题的意识一、强化用平面向量解决平面几何问题的意识 例例 1如图，P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，PECF 是矩形， 证明：PA=EF PAEF 分析分析：如果用平面几何的常规证法来处理这两个结论， 由于 P 点的不确定性，显然对大部分学生来讲很困难， 而如果抓住向量，那么可以把几何关系快速转化为数量 关系，从而通过定量分析得出定性的结果 证明证明：以 DC 所在直线为 x 轴，
3、以 DA 所在直线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系。设正方形边长为 1， ，DP则 A（0，1），C（1，0），P，E，F )22,22()22, 1 ()0 ,22( )221 ,22(PA)22, 122(EF PA=EF12EF, 12PA222222EFPA0)22)(221 () 122)(22(EFPA PAEFEFPA 例例 2 2如图，设 G 是OAB 的重心，过 G 的直线与 OA、OB 分别交于 P 和 Q，已知，OAB 和OPQ 的面积分别为 S 和 T。OBkOQ,OAhOP求证：（1） （2）3k1 h12sT9s4证明证明：（1）连结 OG 并延长交 AB 于 M
4、则 M 为 AB 的中点，设a，bOAOB（a+ b）21)OBOA(21OM（a+ 31OB31OA31OM32OGb）又a ，bhOAhOPkOBkOQ=kb-b-h aOPOQPQ（a+ b）h a=31OPOGPGa+b)h31(31P、G、Q 三点共线，存在实数使得PQPG即a+b=b-a)h31(31kh由平面向量基本定理知：消去得 k31hh31 3k1 h1（2）POQ=AOB hk OBOAOQOP OBOAOQOPST 由（1）知 由于1h3hk1h0 , 1k0 1h011h3h0且1h21从而 0) 1h3(9)2h3( 94 1h3h 94 ST22 94 ST又 0
5、) 1h3(3) 1h2)(1h( 21 1h3h 21 ST2 21 ST综上所述： 即21 ST 942sT9s4说明说明：解本题的关键是理解向量的各种运算的定义，并能熟练应用运算法则。利用向量解平面几何问 题有时特别方便，但要注意一点，不宜搞得过难过深，因为高考在这方面要求不高，只是在数 学竞赛中有较高要求。 二、强化用平面向量解决解析几何问题的意识二、强化用平面向量解决解析几何问题的意识 在高中数学里，解析几何的运算等问题是比较繁杂的，而有些问题如果应用向量作形与数的 转化，则会大大简化过程。而且向量的坐标是代数与几何联系的纽带，是平面向量的重点内容， 它与解析几何联系比较紧密，许多解
6、析几何问题（如长度、角度、点的坐标、轨迹等）都可以用 平面向量的知识来解决。例例 3 椭圆的焦点为，点 P 为其上的动点，当为钝角时，点 P 横坐36y9x42221F,F21PFF标的取值范围是 解解：设点，则 )y,x(Ppp,x944y2 p2 p为钝角，则 从而21PFF0PFFcos210PFPF21 即05yx2 p2 p05x944x2 p2 p553x553p点 P 横坐标的取值范围是)553,553(例例 4 4已知椭圆 C：，直线 L：，P 是 L 上的点，射线 OP 交 C 于点116y 24x22 18y 12xR，又点 Q 在 OP 上，且满足，当点 P 在 L 上移
7、动时，求点 Q 的方程。（95 年全国2OROQOP高考题）解解：设 )y,x(R),y,x(P),y, x(QRRPP则)y,x(OR),y,x(OP),y, x(OQRRPP 2OROPOQ,OQOQOPOPOQ OQOROP22 代入 L 方程得y OQORyx OQORx22P22p 1)8y 12x( OQOR22 同理可得 1)16y 24x( OQOR2222 )0xy(8y 12x 16y 24x22 即点 Q 的轨迹方程为)0xy(08y 12x 16y 24x22 说明说明：用向量作为工具解决解几问题时，解法简洁明快，而且易理解、易操作。 三、强化用平面向量解决三角问题的意
8、识三、强化用平面向量解决三角问题的意识 教材中利用向量推导出了正弦定理、余弦定理，其实用向量推导其它三角公式也很方便，同时说明向量与三角是有密切联系的。如如：sinsincoscos)cos(证明证明：如图：在单位圆上任取两点 A、B，设 OX 为始边，OA、OB 为终边的角分别为,)sin,(cosOB),sin,(cosOA)sin,(cosB),sin,(cosAsinsincoscosOBOA又)cos()cos(OBOAOBOAsinsincoscos)cos(例例 5 5ABC 中，若CcosbaBcosacAcoscbc2试判断此三角形的形状。 解解：设=b ,=a ,=a-b=
9、cCACBCACBABa 与 b 的夹角为 C，b 与 c 的夹角为，A a 与 c 的夹角为 B=- , = , =AcosbccbBcoscaacCcosabba 从而baaccbc2babacc)(2即 =0 bacc22baba ABC 为直角三角形例例 6设，向量 a=，b=)2 ,(), 0()sin,cos1 ()sin,cos1 (c=（1,0），若 a 与 c 的夹角为，b 与 c 的夹角为，且，12321求的值2sin解解：2cos)cos1 (2cos1sin)cos1 (cos1cos 221 caca 02cos,02coscos1又 于是1021同理可得：， 因而2
10、sincos2)22cos(cos2由于，而 于是022220222因而222)22(221 322262 21 2sin四、强化用平面向量解决其他问题的意识四、强化用平面向量解决其他问题的意识例例 7点 P 在平面上作匀速直线运动，速度是每秒，当 t=0 时，P 在（6，2）处，则 t=5)5 , 2(V 时，点 P 的坐标为_略解略解：设所求点 P 的坐标为（x ,y） 则（x+6 ,y+2）=(10 ,25)x=4 ,y=23 点 P 的坐标（4 ,23）例例 8已知，试求的取值范围。1ba, 4yx2222byax 解解：设有向量 p=, q, p 与 q 的交角为 )b, a ( )y, x(p、q 都不是零向量（若 p=0，则 a=b=0,与矛盾。同理 q0）1ba22pq=axby 又 pq=cos=2 cosqpcosyxba2222axby=2 cos -1cos1 -2axby2高考复习是教师与学生共同创造、共同进步的一个系统工程。随着高考命题的进一步改革，对能 力的要求会进一步提高，对教材中新增能力的要求越来越高，在知识交汇点上的命题也不再停留在 “戴帽子，穿靴子”的水平上了。因而在复习中应当加强知识点与点之间的渗透与拓宽，构建好知识 结构的网络，激活学生的创新思维，增强学生的实践意识与探究能力，真正提高复习的实效，切实提 高学生的能力。
