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1、例 2011 年上海市闵行区中考模拟第 25 题如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，联结 BE，ABE = 30，BE = DE，联结BD点 M 为线段 DE 上的任意一点，过点 M 作 MN / BD，与 BE 相交于点 N（1）如果，求边 AD 的长；2 3AB （2）如图 2，在（1）的条件下，如果点 M 为线段 DE 的中点，联结 CN过点 M 作MFCN，垂足为点 F，求线段 MF 的长；（3）试判断 BE、MN、MD 这三条线段的长度之间有怎样的数量关系？请证明你的结论图 1 图 2 动感体验请打开几何画板文件名“11 闵行 25” ，拖动点 M 在 DE 上运
2、动，可以体验到， ENM、EBD 的形状不变，BN 与 DM 保持相等双击按钮“M 是 DE 的中点” ，可以体验 到，此时CMN 是直角三角形 请打开超级画板文件名“11 闵行 25” ，思路点拨1图 1 中所有的角度都是确定的、特殊的，把图形画大一些，角度都标注出来，然后 把除 MN 以外的所有线段都算出来，标记在图形中 2图 2 中，当 M 为 DE 的中点时，ABEDCM，MN 是EBD 的中位线 3要判断 BE、MN、MD 这三条线段的数量关系，容易看到 BNDM，问题就转化为 判断 MN 与 EN 之间的数量关系，解 120角的等腰三角形 ENM 就可以了满分解答（1）在 RtAB
3、E 中，ABE30，2 3AB 所以，BE2AE43tan2 323AEABABE又已知 BEDE，所以 ADAEDE6（2）如图 3，联结 CM在 RtABE 中，ABE30，所以AEB60因为 BEDE，所以EBDEDB30因为 MN/BD，所以EMNEDB30当 M 为 DE 的中点时，ABEDCM，MN 是EBD 的中位线因此DMC60，CMBE4，12 32MNBDAB此时CMN90，CMN 是直角三角形由勾股定理，得2212 162 7CNMNCM由，11 22CMNSMC MNCN MF得2 344 21 72 7MN CMMFCN（3）结论：3 3BEDMMN证明：如图 4，过
4、点 E 作 EHMN，垂足为 H因为 MN/BD，所以ENMEBD因此ENM 与EBD 都是 120角的等腰三角形所以 BNDM，1 2NHMN在 RtENH 中，ENH30，所以3cos302NH NE 所以2 33 33NENHMN于是，由 BEBN +EN 3 3DMMN图 3 图 4 图 5考点伸展如图 5，在（1）的条件下，过点 M 作 MFCN，垂足为点 F，如果 F 为线段 CN 的中 点，求 DM 的长 此时 MF 垂直平分 CN，因此 MNMC设 DMx，那么 EM4x在ENM 中，；在 RtCDM 中，于是可33(4)MNEMx222(2 3)MCx以列方程解得63 2xDE
