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1、向量分析介紹 (Rich Wang) 1 向量的性質與運算 向量(vector)：具有大小與方向的量(三度空間)。 表示法： (1) 幾何圖示： 箭頭表方向，長度即大小。 (2) 分量表示： 向量可表示成：AAAAA xA yA zxyzxyz= =+,?, BBBBB xB yB zxyzxyz= = = (結果為純量) A BABA BA BA Bxxyyzz=+cos， 其中為A B,間之夾角，取值範圍：018000= (結果為向量) sinyzxyxz xyz yzxyxz xyzxyzAAAAAAA BABuAAAxyzBBBBBBBBB=+? ? ?其中為A B,間之夾角，取值範圍
2、 018000 000xxxyzxzyyxzyyyzxzxyzyxzz= = = =?或以循環圖示記憶之： 向量積的重要性質： 1) CA BCACB=? ? ? ? ? (可用以產生A B,所在平面的法線向量) 2) A BBA=? ? ? ? ?(不具交換性) 3) 0yxzxyzAAAIf A BA BorBBB=? ? ? ? ? (對應分量成比例) 4) A B? ? ?表示以, A B? ? ? ?為兩鄰邊所形成平行四邊形的面積。 例題8：2,5, 1 ,1,3,4AB=? ? ?, 1) CAB=? ? ?2) BA? ? ?3) C A? ? ?與 C B? ? ?例題9：5,
3、4,3 ,8, ABxzA Bfind x and z=? ? ? ? ?. (*) 試證明正弦定理：sinsinsinABC abc=, A, B, C為三角形的三個頂角，a, b, c是各頂角對邊的長度。 |B| sin B A A x B = |A| |B| sinu; u: (unit vector) |A| u 向量分析介紹 (Rich Wang) 5 (5) 三重積 a) 純量三重積： ,xyzxyzxyzxyzxyzxyzABCxyzAAA A B CAAABBBBBB CCCCCC= ?()sinBCheightareaA B CA uBC=? ? ? ? ? ? ? ?b)
4、向量三重積： () ()()AB CA C BA B C=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(記憶順序：ABC都要用到；先寫B? ?，再寫C?) 底下是一個簡易的說明式證明： ()()()()0, .,.AB CmBnCDADA Dm A Bn A CLets assume that mk A Cnk A B and here k is still unknown nowAB CkA C BA B Cfor any A B and CSo we could t=+=+= =? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
5、 ? ?:0,1,0 ,0,1,0 ,0, 0,1 , 1,.ry the special case ABC thus we can evaluate and get the result kand then completethe proof=? ? ? 請直接計算叉積與使用公式 兩種方式分別求出： 1) ()AB C? ? ?2) ()A BC? ? ?. 向量分析介紹 (Rich Wang) 7 向量的參數表示式 位置向量通常寫成： , ,rx y zxxy yz z=+?特別在此說明一下： t 僅表示一個參數，不一定是指時間，也可以是弧長或其他變 量，這裡只是一個參數通式的表示法。 例
6、題 1：a) ( )cos ,sin ,02r ttt tt= ?：由 (0, 2, 0) 到 (1, 2, 0) 的直線段。 (*)利用位置向量來表示的方程式： 1) 過空間 P,Q 兩點的直線方程式：( ),r tPt PQt=+ ? ? ?( )( ) ( )0.01.101.trPtrQtr tPQelsewherePQ= = ? ?上的點以外的點2) 過空間 P 點且法線方向為 n的平面方程式：()0rPn=? ?3) xy平面上與任一向量, ,0Ax y= ?(*) 微分的幾何意義： dr dt?表示過微分點P的切線向量。 例題 2：( )cos ,sin , drdrr ttt
7、trdtdt=? ? h: scale factordrdsdthdtdt=?h (scale factor) 的幾何意義：(可以用來近似微小的移動距離) 當參數由t增加到t + dt (dt 0)時，位置向量掃過的微弧長。 例題 3：(scale factor) ( )()()22cos ,sin , 0a circle with radius sin , cos ,0=sin+cosr tat atadrat atdtdrhatatadrhdtadtdt= =+=?向量微分相關公式： ( )( )( )If , , thenAA tBB tCC t=? ? ? ? ?(*) ()dd Ad
8、BABdtdtdt=? ? ? ? ?(*) ()dd AdBA BBAdtdtdt=+? ? ? ? ? ? ? ?(*) ()dd AdBA BBAdtdtdt=+? ? ? ? ? ? ?(*) ()()()dd AdAB CB CAB Cdtdtdt=+? ? ? ? ? ? ?()d AdBdCB CACA Bdtdtdt=+? ? ? ? ? ? ? ?or (*) ()xyzxyzxyzAAAddAB CBBBdtdtCCC=? ? ?ddd dtdtdtddd dtdtdtxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzddd dtdtdtAAAAAAAAABBBBBBB
9、BB CCCCCCCCC=+ (*) ( )()( )( ) d f tdd Af tAAf tdtdtdt=+? ? ? ?(*) 2If then d AA AAconstantAdt=? ? ? ? ? ?. ()()()()22=02=0ddAdAd AA AAAAdtdtdtdtdddA AAconstantdtdtdtd Ad AAAdtdt=+=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?向量分析介紹 (Rich Wang) 10 例題：()()()(), ,cos,1)1,2,32),F x y zxy xx yxz zFFFFxyz=+?()()()(
10、)( )1)1,2,3cos 1211 3cos 32cos 3 , 1, 2Fxyzxyz=+=?()()()()2)cos,cos,(),sin(), 1,1sin()Fxyxxzxyxxzxxxxxxyxy xyz= +?sin(),0,0sin()Fxyxy xy= +?and 0,0, 1Fzz= ?向量微分的相關應用： 1) 位移、速度、加速度： ( )( )( )( )22222222:,:,:,positionr tx ty tz tdrdxd ydzvelocityvdtdtdtdtdvd rd xd yd zaccelerationadtdtdtdtdt = =?，若沿著下
11、列路徑，試求QPF dr?的結果。 (a) 1) , 0, 0 , 0, 0rxdrdx=?; (1,0)1122(0,0)001, 0,1,03xxF drxdx dxx dx = =?2) 1, , 0 ,0,0rydrdy=?(1,1)112(1,0)0011 , ,10,02yyF drydyydy = =?(1,1)(0,0)115 326F dr=+=?1 1 (1,1) (1,1) (1,1) (a) (b) (c) x x x y y y 向量分析介紹 (Rich Wang) 12 (b) 1) 0, , 0 ,0,0rydrdy=?; (0,1)11(0,0)0010, ,1
12、0, 02yyF drydyydy = =?2) ,1, 0 , 0, 0rxdrdx=?(1,1)1122(0,1)001,1, 0, 0, 03xxF drxdxx dx = =?(1,1)(0,0)115 236F dr=+=?(c) , , 0, 0,0rx yand yx drdx dydx dx=?，自行試算結果！ (* 在向量場F?中做線積分計算的結果，若與積分時所經的路徑無關則：0F=?) 例題2：設C為xy平面上由(1,0)到(0,1)221xy+=右上四分之圓與由(0,1)至(2,1)的 水平線段構成的曲線，求22Cx ydxy dy+。 12CCC=+ 1) 221xy+
13、=右上四分之圓： 212222122220222220000:cos( ), sin( ), 0sin, coscossin ( sin)sin(cos)1( cossinsincos )sin (2 )sincos4 1 1 cos(4 ) 42CtttttCxtyttdxtdt dytdtx ydxy dytttdtttdttttt dtt dtttdttdt= = =+=+=+=+=22201sin( sin )163tt dt=+= +2) (0,1)至(2,1)的水平線段： 22222222200:, 1, 02, 0811013CttCxt ytdxdt dyx ydxy dytd
14、ttdt = =+= += =122222183163316CCCx ydxy dyx ydxy dy+=+= += +( )() ( )() 2212220,:,2,12 ,1, 01,8,2, 0210 10123CtOrCr tttx ytdx dydtx ydxy dytdt = ?與同向由小指向大與反向4) 方向導數(directional derivative) 函數沿著方向 b?移動單位距離的變化量，稱為在該 b?方向上的方向導數： b bbuub= = ? 5) 的方向：函數增加最大的方向。 ?cos(0) 1cosfixedlengthddrdrdrdr= = ?，！：！與同向時變化率最大綜合3)可以得到的方向是函數 增加最大的方向向量分析介紹 (Rich Wang) 14 例題：()()222, ,1)2)1,2,33
