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1、圆圆【基础知识精讲基础知识精讲】 1.1.基本概念基本概念 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做 圆，圆定点端点 O 叫圆心，线段 OA 的长叫半径 连结圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，用 “”表示. 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫作半圆.大于半圆的弧叫优弧.小于半圆的 弧叫劣弧. 圆心相同、半径不相等的两个圆叫同心圆，能够重合的两个圆叫等圆.在同圆或等圆中，能够互相重 合的弧叫等弧. 2.2.有关性质有关性质 圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 圆的内部都可以
2、看作是到圆心的距离小于半径的点的集合. 圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合. 到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线. 到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线. 到直线 l 的距离等于定长 d 的点的轨迹，是平行于这条直线，并且到这条直线的距离等于定长 d 的两 条直线. 到两条平行线的距离相等的点的轨迹，是和这两直线平行且距离相等的一直线. 【重点难点解析重点难点解析】 这一节是以后学习的基础，重点理解圆、弧、弦等有关概念，掌握点和圆的位置关系. 例例 1 1 已知 RtABC
3、 中，C=90，求证 C 点在以 AB 为直径的圆上. 证明证明：取 AB 的中点 O， ；连结 CO 则 AO=BO=CO（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） A、B、C 三点在以 O 为圆心，OA 为半径的圆上，即 C 在以 AB 为直径的圆上. 说明：由 AB 为直径知圆心在 AB 上，从而此题的关键是找圆心 O，说明 OC 等于半径长. 例例 2 2 求证：在同一个圆中直径是最大的弦. 证明证明：对O 中的任一弦 AB（不是直径） 边 AO、BO，在ABC 中，AO+BOAB 又 AO+BO 为圆的直径长直径是最大弦（在同圆中） 说明：证明此题的关键在于构造AOB，由两边之和大于第
4、三边得出结论. 例例 3 3 用图形表示与已知点 O 的距离不小于 1cm 且不大于 2cm 的点的集合（图 7-1）解：解：以 O 为圆心分别以 1cm、2cm 为半径画圆，两圆所形成的环形即为所求点的集合. 说明：到 O 的距离等于 1cm 的点集合是以 O 为圆心，1cm 为半径的圆，所求集合是两圆所夹部分的点.例例4 4 如图7-2，已知AB是O的弦，延长AB至C，使BC等于圆的半径，连结CO交O于D，C=30，求 AOD的度数.解：解：连结 BO，BC=BO，C=BOC ABO=2C，又C=30，ABO=60 又 AO=BO（半径相等）OAB=ABO=60 AOB=60，AOD=AO
5、B+BOC=90 【难题巧解点拨难题巧解点拨】 例例 1 1 在四边形 ABCD 中，对角线 AC=BD，且 ACBD，M、N、P、Q 分别是 AB、BC、AC、CD 上的中点， 求证 M、N、P、Q 在同一个圆上. 证明：证明：顺次连结 M、N、P、Q，由三角形的中位线定理知：四边形 MNPQ 为正方形，设其对角线的交点 为 O，则 M、N、P、Q 四点在以 O 为圆心，OM 为半径的圆上. 说明：此命题只能由点与圆的位置关系来说明，从而找圆心和半径是解决问题的关键. 例例 2 2 如图 7-3，AB 为O 的直径，AC 为弦，C=90ODBC，O 的半径为 12cm,BC=16cm，求 O
6、D 的长.解：解：O 的半径为 12cm, C=90,BC=16cm,AC=8cm2216)122(3205又 O 为 AB 的中点，ODBC ODACOD=AC=4cm215说明：本例先由半径长求得直径长，进而求出 AC，再由 O 为中点，ODAC 得出 OD. 【典型热点考题典型热点考题】 例例 1 1 如图 7-4，AB 是半圆 O 的直径，点 C 在O 上，ABC=50，则A= 度.（2000 年吉林 省中考题）解：解：连结 CO BO=CO ABC=BCOABC=50BCO=50 由ABC 中，BOC=180-（50+50）=80 又 AO=CO ACO=CAO 又COB=OCA+O
7、AC BOC=2A，A=40 说明：此题用“直径所对的圆周角是直角”这一结论也易求出A=40.但用半径相等也可解之. 例例 2 2 如图 7-5，已知O 的半径 OA=6cm，弦 AB=8cm，ODAB 于 D，则 OD 等于 cm.（2000 年广 州市中考题）解：解：连结 OB，则 OA=OBODAB AD=AB=421OD=5220462222 ADAO简析：此题由弦心距的性质直接得 AD=AB，这里相当于证明了这一性质.21例例 3 3 如图 7-6，OA、OB 为O 的半径，OC=BO，OD=AO，求证 AD=BC.31 31说明：由半径相等可得 OC=OD 从而证得AODBOC，则
8、 AD=BC 【同步达纲练习同步达纲练习】 一、填空题一、填空题（1）如果O 的直径为 14cm，OP=（7+）cm,OQ=7cm,OR=(7-)cm,那么 P 在O22，Q 在O ，R 在O . （2）已知 MN=5cm,到点 M 的距离等于 3cm 的点的集合是 ；到 N 点的距离等于 3cm 的 点的集合是 ；和 M、N 的距离都等于 3cm 的点的集合是 . （3）以 5cm 为半径的圆的圆心 O 到直线 AB 的距离 OE=4cm，AB 上的三个点 R，P，Q，且知 ER=2cm，EP=3cm，EQ=4cm,则 R 点O ，P 点在O ，O 点在O .（4）已知线段 AB，则某一点到
9、 A 的距离等于AB 的点的轨迹是 .31（5）ABC 的面积为 2cm2,其中 BC=2cm,当 BC 固定时，A 点的轨迹是 . （6）以 BC 为底的等腰三角顶点 A 的轨迹是 .（7）AOB=90，到 OA、OB 距离相等的点的轨迹是 . （8）已知半径是 5cm 的所有圆都经过 A 点，则这些圆心的轨迹是 . （9）梯形 ABCD 中，ABCD，端点在梯形两底 AB，CD 上的线段中点的轨迹是 . （10）以线段 AB 为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹是 . 二、选择题（二、选择题（8 8 分分5=405=40 分）分） （1）A 点在以 2cm 为半径的O 上，且 AB=6cm,
10、由 B 点（ ） A.在O 上 B.在O 内 C.在O 外 D.以上都 有可能 （2）在直角系标系中，O 的圆心在原点 O，点 P 在O 上，P是 P 点关于 O 成中心对称的对称点， 则 P（ ） A.在O 内 B.在O 外 C.在O 上 D.以上都 有可能 （3）平行四边形、菱形、矩形、梯形四个图形中，四个顶点在以对角线交点为圆心的同一个圆上的 图形是（ ） A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.梯形 （4）一个点到一个圆最短距离是 4cm，最长距离是 8cm，这个圆的半径是（ ） A.2cm B.6cm C.6cm 或 2cm D.4cm 或10cm （5）与等腰梯形四个顶点的距离相等
11、的点的轨迹是（ ） A.两底的垂直平分线的交点 B.两腰的垂直平分线的交点 C.一腰一底的垂直平分线的交点 D.不能确定 【素质优化训练素质优化训练】 1.在锐角三角 ABC 中，BD、CE 是ABC 的高，求证 B、C、D、E 四点在同一个圆上. 2.AB 是O 的直径，延长 AB 到 P，求证：（1）P 点到O 的最短距离是 PB；（2）P 点到O 的最长 距离是 PA. 3.底边为定长，且该边中线为定长的三角形此边所对的顶点的轨迹是 .参考答案参考答案【同步达纲练习同步达纲练习】一、 （1）外；上；内（2）以 M 为圆心，半径为 3cm 的圆；以 N 为圆心.3cm 为半径的圆；以上两圆
12、的交点.（3）内；上；外（4）以 A 为圆心，AB 为半径的圆.31（5）平行于 BC 且到 BC 的距离等于cm 的两条平行线21（6）BC 的垂直平分线，与 BC 的交点除外（7）AOB 的平分线（8）以 A 为圆心，5cm 为半径的圆（9）梯形的中位线（除去两个端点）（10）以 AB 为直径的圆（不含 A、B 两点）二、C C C C C 【素质优化训练素质优化训练】1取 BC 的中点 F，连 DF、EF、则 DF=EF=BF=CF，B、C、D、E 在以 F 为圆心，BF 为半径的圆上.2.在圆上任取一点C（除 A、B 以外） ，连 OC、PC 则 PO-OCPC,即 PBPC 在O 上取一点D，连 OD、PD，由PO+ODPD 得：PAPD3.以底边中点为圆心，以中线长为半径的圆（底边与圆的交点除外）
