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1、第一章章末小结1.回归分析(1)回归分析步骤:回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.其步骤:收集数据 作散点图 求回归直线方程利用方程进行预测. (2)线性回归模型:y=bx+a,其中= xi ,= yi , 2.相关系数样本相关系数:对于变量 y 与 x 的一组观测值,把r=叫作变量 y 与 x 之间的样本相关系数,简称相关系数,用它来衡量两个变量之间的线性相关程度,|r| 1.当 r0 时,表明两个变量 正相关 ;当 r0,称 P(B|A)= 为在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率. (2)条件概率相关性质 0 P(B|A) 1 . 若 P(B)0,则
2、 P(AB)= P(B)P(A|B) ; 若 P(A)0,则 P(AB)= P(A)P(B|A) . (3)相互独立事件的定义设 A,B 为两个事件,如果 P(AB)= P(A)P(B) ,则称事件 A 与事件 B 相互独立. 事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率 没有 影响,这样的两个事件叫作相互独立事件. (4)相互独立事件的性质如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 ,与 B ,与 也都是相互独立的. (5)如果一系列的事件 A1,A2,An相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的 积 ,即 P(A1A2An)= P(A1)P(A2)P
3、(An) . 4.2的计算公式及其特点(1)根据 22 列联表与构造的随机变量 2= (其中 n=a+b+c+d 是样本容量)来计算 2的值. (2)当数据量较大时,统计学中已有明确的结论,随机事件 2x0发生的概率如下:当 22.706 时,没有 充分的证据 判定变量 A、B 有关联,可以认为变量 A、B 是 没有 关联的; 当 22.706 时,有 90% 的把握判定变量 A、B 有关联; 当 23.841 时,有 95% 的把握判定变量 A、B 有关联; 当 26.635 时,有 99% 的把握判定变量 A、B 有关联. 由于抽样的随机性,由样本得到的推断有可能 正确 ,也有可能 错误
4、.利用 2进行独立性检验,可以对推断正确的概率做出估计,样本容量 n 越大,估计越 准确 . 题型 1:线性回归方程已知关于某设备的使用年数 x 和支出的维修费用 y(万元),由资料统计得 5 组数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5),由资料知 y 与 x 线性相关,并且由统计的五组数据得平均值分别为=4,=5.4,若用 5组数据得到的线性回归方程 y=bx+a 去估计使用 8 年的维修费用比使用 7 年的维修费用多1.1 万元.(1)求回归直线方程;(2)估计使用年数为 10 年时,维修费用约是多少.【方法指导】回归方程解方程组列方程组回归方程过点(,),【解析】(1)因为直线 y=b
5、x+a 经过定点(,),又=4,=5.4,所以 5.4=4b+a,又 8b+a-(7b+a)=1.1,解得 b=1.1,a=1,所以回归方程为 y=1.1x+1.(2)将 x=10 代入线性回归方程得 y=12.所以,估计使用年数为 10 年时,维修费用约是 12 万元.【小结】回归方程一定过中心点(,).本题运用方程的思想,采用待定系数法求解.线性回归方程类似于一次函数的解析式,故有问题可类比一次函数,将问题转化为求函数值.题型 2:线性回归模型问题一台机器使用时间较长,但还可以使用.它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点,每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化,下表为抽
6、样试验结果:转速 x(转/秒)1614128每小时生产有缺11985点的零件数 y(件)(1)求变量 y 与 x 的相关系数,并对其相关性做出判断;(2)如果 y 与 x 有线性相关关系,求回归直线方程;(3)若在实际生产中,允许每小时的产品中有缺点的零件最多为 10 个,那么,机器的运转速度应控制在什么范围内?【方法指导】(1)结论|r|与 0.75比较r 的值,xiyi(2)y=bx+aa 的值b 的值(3)y10bx+a10x 的取值范围【解析】(1)=12.5,=8.25,xiyi=438,4 =412.5,=660,=291,所以 r=0.9954.所以 y 与 x 有很强的线性相关
7、关系.(2)由(1)可求得 b=0.7286,a=-0.8571,所以 y=0.7286x-0.8571.(3)要使 y10,得 0.7286x-0.857110,所以 x14.901.所以机器的转速应控制在 14.901 转/秒以下.【小结】若能从散点图直观地判断相关关系,就利用散点图进行判断;若散点图不明显时,我们就要根据相关系数 r 进行判断.在求回归直线方程时学会合理进行运算很关键,为准确运算,可先列表求出相关数据,然后求解.题型 3:非线性相关问题某种书每册的成本费 y(元)与印刷册数 x(千册)有关,经统计得到数据如下:x123510203050100200y10.15 5.52
8、4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15检测每册书的成本费 y 与印刷册数的倒数之间是否具有线性相关关系.如有,求出 y对 x 的回归方程.【方法指导】本题是非线性回归分析问题,不妨设变量 u=,题意要求对 u 与 y 作相关性检验,如果它们具有线性相关关系,就可以进一步求出 y 对 u 的回归直线方程,这时,再代回 u=,就得到了 y 对 x 的回归曲线方程.【解析】首先作变量置换 u=,题目所给数据变成如下表所示的 10 对数据:ui10.50.330.20.10.050.030.020.01 0.005yi10.15 5.524.082.852.11
9、1.621.411.301.211.15经计算得 r=0.9998,从而认为 u 与 y 之间具有线性相关关系,由公式得 a=1.125,b=8.973,所以 y=1.125+8.973u.最后代入 u=,可得 y=1.125+.【小结】在某些情况下可以借助于线性回归模型,研究呈现非线性相关关系的两个变量之间的关系,分析哪个模型拟合效果更好.题型 4:相互独立事件的概率甲、乙两人都进行一次射击,如果两人击中目标的概率都是 0.8,两人之间相互没有影响.计算:(1)两人都击中目标的概率;(2)恰有一人击中目标的概率;(3)至少有一人击中目标的概率.【方法指导】(1)P(AB)P(A)P(B)P(
10、A),P(B)(2)P(A+B)P(A)P()+P()P(B)(3)P=1-P()P()P()P()【解析】设“甲击中目标”记为事件 A,“乙击中目标”记为事件 B,A 与 B 相互独立.(1)两人各射击一次都击中目标即为事件 AB,由事件 A 与 B 相互独立,得 P(AB)=P(A)P(B)=0.80.8=0.64;(2)P(A+B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.80.2+0.20.8=0.32;(3)P()=P()P()=(1-P(A)(1-P(B)=(1-0.8)(1-0.8)=0.04,1-P()=1-0.04=0.96.【小结】把一个复杂的事件拆分成几个
11、互斥或者相互独立的事件,是解决较为复杂概率问题的根本方法.题型 5:独立性检验模型为了考察某种药物预防疾病的效果,任选 105 只动物做试验,其中 55 只服用此种药,50 只未服用此种药,之后发现服药的 55 只中有 10 只患病,未服药的 50 只动物中有 20 只患病,请判断此种药物是否有效.【方法指导】结论2与临界值比较求 2的值作 22列联表【解析】据题意做出列联表:患病未患病总计服用药104555未服用药203050总计3075105根据公式:2=6.13.841.所以我们有 95%以上的把握判断该药物有效.【小结】在实际问题中,独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系,得到的结论可能
12、犯错误,这是数学中的统计思维与确定性思维的不同之处,但我们可以利用统计分析的结果去预测实际问题的结果.用独立性检验的方法准确地判断两个变量的关联性,但要注意其一般步骤及准确计算.1.(2014 年湖北卷)根据如下样本数据x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回归方程为=bx+a,则( ).A.a0,b0 B.a0,b0D.a0.故 a0,b2.706,所以说有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到光盘与性别有关”.【答案】C10.某道路的 A、B、C 三处都设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为 25 秒、35 秒、45 秒,某辆车在这条路上行驶时,三处
13、都不停车的概率是( ).A.B.C.D.【解析】=.【答案】A二、填空题11.有下列关系:(1)人的年龄与他(她)的身高之间的关系;(2)圆的体积与半径之间的关系;(3)直线上的点与该点的坐标之间的关系.其中有相关关系的是 (填写你认为正确的序号). 【答案】(1)12.从散点图上看,点散布在从左下角到右上角的区域内,则两个变量的这种相关关系称为 . 【答案】正相关13.对四对变量 y 与 x 进行相关性检验,已知 n 是观测值的组数,r 是相关系数.且已知:(1)n=7,r=0.9533;(2)n=15,r=0.3012;(3)n=17,r=0.4991; (4)n=3,r=0.9950.则
14、变量 y 与 x 的线性关系很强的是 . 【解析】统计学中常用相关系数 r 来衡量两个变量之间线性关系的强弱,|r|1,|r|越接近于 1,则 y 与 x 的线性关系越强.【答案】(1)(4)14.已知随机事件 A 的概率 P(A)=0.5,事件 B 的概率 P(B)=0.6,事件 AB 的概率 P(AB)=0.4,则条件概率 P(B|A)= . 【解析】P(B|A)=0.8.【答案】0.815.幂函数曲线 y=axb,作变换 u=ln y,v=ln x,c=ln a,得线性函数 . 【解析】将 u=ln y,v=ln x,c=ln a 代入 y=axb,消去 x、y 得 u=c+bv.【答案
15、】u=c+bv三、解答题16.因冰雪灾害,某柑橘基地果树严重受损,为此有关专家提出一种拯救果树的方案,该方案需分两年实施且相互独立.该方案预计第一年可以使柑橘产量恢复到灾前的 1.0、0.9、0.8 的概率分别为 0.2、0.4、0.4;第二年可以使柑橘产量为第一年产量的 1.5 倍、1.25 倍、1.0 倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4.(1)求两年后柑橘产量恰好达到灾前产量的概率;(2)求两年后柑橘产量超过灾前产量的概率.【解析】(1)令 A 表示两年后柑橘产量恰好达到灾前产量这一事件,则 P(A)=0.20.4+0.40.3=0.2.(2)令 B 表示两年后柑橘产量超过灾前产量这一
16、事件,则 P(B)=0.20.6+0.40.6+0.40.3=0.48.17.某工厂积极响应节能减排的号召,经过技术改造后,降低了能源消耗,下表提供了该厂记录的某种产品的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y (吨)的几组样本数据:x3456y2.5344.5根据相关性检验,这组样本数据具有线性相关关系.(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y=bx+a;(2)已知该厂技改前 100 吨此种产品的生产能耗为 90 吨.试根据求出的线性回归方程,预测生产 100 吨此产品的生产能耗比技改前降低多少吨? 【解析】(1)=4.5,=3.5,=86,xiyi=66.5,b=0.7,a=-b=3.5-0.74.5=0.35.故线性回归方程为 y=0.7x+0.35.(2)根据回归方程预测生产
