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1、1.11.1空空间间几几何何体体的的结结构构第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征预习课本 P24，思考并完成以下问题1空间几何体是如何定义的？分为几类？2多面体有哪些？能指出它们的侧面、底面、侧棱、顶点吗？3常见的多面体有哪些？它们各自的结构特征是怎样的？新知初探1空间几何体概念定义空间几何体空间中的物体，若只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体2空间几何体的分类分类定义图形及表示相关概念空间几何体多面体由若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体面：围成多面体的各个多边形棱：相邻两个面的公共边顶点：棱与棱的公共点空间几何体旋转体由一个平面
2、图形绕着它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体轴：形成旋转体所绕的定直线3棱柱、棱锥、棱台的结构特征分类定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱如图可记作：棱柱ABCDABCD底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作：棱锥SABCD底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点棱台用一个平行
3、于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台如图可记作：棱台ABCDABCD上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点小试身手1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)棱柱的侧面都是平行四边形( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥( )(3)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台( )答案：(1) (2) (3)2有两个面平行的多面体不可能是( )A棱柱 B棱锥C棱台 D以上都错解析：选 B 棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行3关于棱柱，下列说法正
4、确的有_(填序号)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；(2)棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形；(3)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体解析：(1)不正确，反例如图所示(2)正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形(3)不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体答案：(2)棱柱的结构特征典例 下列关于棱柱的说法中，错误的是( )A三棱柱的底面为三角形B一个棱柱至少有五个面C若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等D五棱柱有 5 条侧棱、5 个侧面，侧面为平行四边形解析 显然 A 正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，
5、它有五个面，故 B 正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，所以 C 错误；D 正确，所以选 C.答案 C有关棱柱的结构特征问题的解题策略(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析两个面互相平行；其余各面是四边形；相邻两个四边形的公共边互相平行求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除 活学活用下列关于棱柱的说法：所有的面都是平行四边形；每一个面都不会是三角形；两底面平行，并且各侧棱也平行；棱柱的侧棱总与底面垂直其中正确说法的序号是_解析：错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；错误
6、，棱柱的底面可以是三角形；正确，由棱柱的定义易知；错误，棱柱的侧棱可能与底面垂直，也可能不与底面垂直所以说法正确的序号是.答案：棱锥、棱台的结构特征典例 (1)下列三种叙述，正确的有( )用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台A0 个 B1 个C2 个 D3 个(2)下列说法正确的有_个有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥正棱锥的侧面是等边三角形底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥解析 (1)本题考查棱台的结构特征中的平面不一定平行于底面，故错
7、；可用如图的反例检验，故不正确故选 A.(2)不正确棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的如图所示的几何体满足此说法，但它不是棱锥，理由是ADE和BCF无公共顶点错误正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形错误由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥如图所示的三棱锥中有ABADBDBCCD.满足底面BCD为等边三角形三个侧面ABD，ABC，ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定，三个侧面不一定全等答案 (1)A (2)
8、0判断棱锥、棱台形状的 2 个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确(2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点活学活用用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )A四边形 B三角形C三角形或四边形 D不可能为四边形解析：选 C 如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图)多面体的平面展开图问题典例 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？解 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧
9、面展开图还原为原几何体，如图所示所以为五棱柱，为五棱锥，为三棱台(1)解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力(2)若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面(3)若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推 活学活用下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是( )解析：选 C 将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以围成正方体层级一 学业水平达标1下面的几何体中是棱柱的有( )A3 个 B4 个C5 个 D6 个解析：选 C 棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其
10、余各面是四边形；(3)侧棱相互平行本题所给几何体中不符合棱柱的三个特征，而符合，故选 C.2下面图形中，为棱锥的是( )A BC D解析：选 C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断，是棱锥，不是棱锥，是棱锥故选 C.3下列图形中，是棱台的是( )解析：选 C 由棱台的定义知，A、D 的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B 中两个面不平行，不是棱台，只有 C 符合棱台的定义，故选 C.4一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )A三棱锥 B四棱锥C五棱锥 D六棱锥解析：选 D 由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为 60，如果是六棱锥，因为 660360，所以顶点会在底面
11、上，因此不是六棱锥5下列图形中，不能折成三棱柱的是( )解析：选 C C 中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折为三棱柱6四棱柱有_条侧棱，_个顶点解析：四棱柱有 4 条侧棱，8 个顶点(可以结合正方体观察求得)答案：4 87一个棱台至少有_个面，面数最少的棱台有_个顶点，有_条棱解析：面数最少的棱台是三棱台，共有 5 个面，6 个顶点，9 条棱答案：5 6 98一棱柱有 10 个顶点，其所有的侧棱长的和为 60 cm，则每条侧棱长为_cm.解析：该棱柱为五棱柱，共有 5 条侧棱，每条侧棱长都相等，每条侧棱长为 12 cm.答案：129根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名
12、称：(1)由 6 个平行四边形围成的几何体；(2)由 7 个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余 6 个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由 5 个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余 3 个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4 个侧面也是平行四边形的四棱柱(2)这是一个六棱锥(3)这是一个三棱台10.如图所示是一个三棱台ABCABC，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥解：过A，B，C三点作一个平面，再过A，B，C作一个平面，就把三棱台ABCABC分成三部分，形成的三个三棱锥分别是AABC，BA
13、BC，ABCC.(答案不唯一)层级二 应试能力达标1关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )A棱柱的侧棱长都相等B四棱锥有五个顶点C三棱台的上、下底面是相似三角形D有的棱台的侧棱长都相等解析：选 B 根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥仅有一个顶点故选 B.2下列说法正确的是( )A棱柱的底面一定是平行四边形B棱锥的底面一定是三角形C棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱解析：选 D 棱柱与棱锥的底面可以是任意多边形，A、B 不正确过棱锥的顶点的纵截面可以把棱锥分成两个棱锥，C 不正确3下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )解析：选 D A、B、C 中
14、底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱故选D.4棱台不具有的性质是( )A两底面相似 B侧面都是梯形C侧棱都相等 D侧棱延长后都相交于一点解析：选 C 只有正棱台才具有侧棱都相等的性质5.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，ABC_.解析：将平面图形翻折，折成空间图形，可得ABC60.答案：606在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何体的 4 个顶点，这些几何体是_(写出所有正确结论的编号)矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角
15、形的四面体解析：在正方体ABCDA1B1C1D1上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何体的 4 个顶点，这些几何体是：矩形，如四边形ACC1A1；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如AA1BD；每个面都是等边三角形的四面体，如ACB1D1；每个面都是直角三角形的四面体，如AA1DC，故填.答案：7.如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3 个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为 2a，则每个面的三角形面积为多少？解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥(2)SPEFa2，SDPFSDPE 2aaa2，1 21 2SDEFa2.3 28.如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什
