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1、4.24.2 直直线线、圆圆的的位位置置关关系系42.1 直线与圆的位置关系1直线与圆的位置关系有哪几种？2过圆外一点和圆上一点的切线的方程应分别怎样求？3直线被圆所截得的弦长公式是什么？弦长公式是怎样推导出来的？新知初探1直线与圆有三种位置关系位置关系交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点2.直线AxByC0 与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离几何法：设圆心到直线的距离d|AaBbC|A2B2drdrdr判断方法代数法：由Error!消元得到一元二次方程的判别式000点睛 判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易
2、出错，几何法则较简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法小试身手1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切( )(2)直线x2y10 与圆 2x22y24x2y10 的位置关系是相交( )答案：(1) (2)2设直线l过点P(2,0)，且与圆x2y21 相切，则l的斜率是( )预习课本预习课本 P126128，思考并完成以下问题思考并完成以下问题 A1 B1 2C D333解析：选 C 设l：yk(x2)，即kxy2k0.又l与圆相切，1.k.|2k|1k2333直线y2x3 被圆x2y26x8y0 所截得的弦
3、长等于_解析：圆的方程可化为(x3)2(y4)225.故圆心为(3,4)，半径r5.又直线方程为2xy30，所以圆心到直线的距离为d，所以弦长为|2 343|4152224.r2d2255205答案：45直线与圆位置关系的判断典例 (1)已知直线l：x2y50 与圆C：(x7)2(y1)236，判断直线l与圆C的位置关系解 法一 代数法由方程组Error!消去y后整理，得 5x250x610.(50)245611 2800，该方程组有两组不同的实数解，即直线l与圆C相交法二 几何法圆心(7,1)到直线l的距离为d2.dr6，直线l与圆|1 72 15|12225C相交判断直线与圆的位置关系常见
4、的方法：(1)几何法：利用d与r的关系(2)代数法：联立方程之后利用判断上述方法中最常用的是几何法活学活用1直线xky10 与圆x2y21 的位置关系是( )A相交 B相离C相交或相切 D相切解析：选 C 直线xky10 恒过定点(1,0)，而(1,0)在圆上，故直线与圆相切或相交2设m0，则直线l：(xy)1m0 与圆O：x2y2m的位置关系为( )2A相切 B相交C相切或相离 D相交或相切解析：选 C 圆心到直线l的距离为d，圆的半径为r，dr1m 2m1m 2m(m21) (1)20，dr，故直线l和圆O相切或相离1 2m1 2m切线问题典例 (1)若圆C：x2y22x4y30 关于直线
5、 2axby60 对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是( )A2 B3C4 D6(2)过点A(1,4)作圆(x2)2(y3)21 的切线l，求切线l的方程为_解析 (1)因为过圆外一点的圆的切线长l、半径长r和这点到圆心的距离d满足勾股定理，即l2d2r2，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，转化成求该点与圆心的距离的最小值问题由题意易知圆心C(1,2)，半径长r，点(a，b)在直线yx3 上，2所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线yx3 的距离d，易求d3，所以切线长的最小值为4.|123|22d2r23 222(2)(12)2(43)2101，点A在圆外当直线l的
6、斜率不存在时，l的方程是x1，不满足题意设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y4k(x1)，即kxy4k0.圆心(2,3)到切线l的距离为1，|2k34k|k21解得k0 或k ，3 4因此，所求直线l的方程y4 或 3x4y130.答案 (1)C (2)y4 或 3x4y130(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为 ，由点斜式可得切线方1 k程如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程yy0或xx0.(2)过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法设切线方程为yy0k(xx0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，
7、也就得切线方程当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为xx0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条一般不用联立方程组的方法求解(3)求切线长最小值的两种方法(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题 活学活用1圆x2y24 在点P(，1)处的切线方程为( )3A.xy20 B.xy4033C.xy40 D.xy2033解析：选 C ()2(1)24，点P在圆上3切点与圆心连线的斜率为，切线的斜率为，333切线方程为y1(x)，即xy40.3332点P是直线 2xy100 上
8、的动点，PA，PB与圆x2y24 分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为_解析：如图所示，因为S四边形PAOB2SPOA.又OAAP，所以S四边形PAOB2 |OA|PA|1 222.|OP|2|OA|2|OP|24为使四边形PAOB面积最小，当且仅当|OP|达到最小，即为点O到直线 2xy100 的距离：|OP|min2.1022125故所求最小值为 28.2 524答案：8弦长问题典例 如果一条直线经过点M且被圆x2y225 所截得的弦长为 8，求这(3，3 2)条直线的方程解 圆x2y225 的半径长r为 5，直线被圆所截得的弦长l8，于是弦心距d 3.r2(l2)2524
9、2因为圆心O(0,0)到直线x3 的距离恰为 3，所以直线x3 是符合题意的一条直线设直线y k(x3)也符合题意，即圆心到直线kxy0 的距离等于 3，于3 2(3k3 2)是3，解得k .|3k3 2|k213 4故直线的方程为 3x4y150.综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x3 和 3x4y150.求弦长的两种方法涉及直线被圆截得的弦长问题时，解法有以下两种：(1)由于半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d22r2求解，这是常用解法(l 2)(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或
10、纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解此解法很烦琐，一般不用 活学活用1在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30 被圆(x2)2(y1)24 截得的弦长为_解析：因为圆心(2，1)到直线x2y30 的距离d，所以直线|223|535x2y30 被圆截得的弦长为 2 .4952 555答案：2 5552过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24 的弦，其中最短弦的长为_解析：设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r2.当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，|CA|.2322122半弦长.r2|CA|2422最短弦的长为 2.2答案：22层级一 学业水平达标1直线 3x4y120 与
11、圆C：(x1)2(y1)29 的位置关系是( )A相交并且直线过圆心 B相交但直线不过圆心C相切 D相离解析：选 D 圆心C(1,1)到直线的距离d，圆C的半径|3 14 112|324219 5r3，则dr，所以直线与圆相离2圆x2y24x4y60 截直线xy50 所得的弦长等于( )A. B.662C1 D5解析：选 A 圆的方程可化为(x2)2(y2)22，则圆的半径r，圆心到直线的2距离d，所以直线被圆截得的弦长为 22 .|225|222r2d221263以点(2，1)为圆心，且与直线 3x4y50 相切的圆的方程为( )A(x2)2(y1)23 B(x2)2(y1)23C(x2)2
12、(y1)29 D(x2)2(y1)29解析：选 D 圆心到直线 3x4y50 的距离d3，即圆的半径为 3，所|645| 5以所求圆的方程为(x2)2(y1)29.4若直线xy2 被圆(xa)2y24 所截得的弦长为 2，则实数a的值为( )2A0 或 4 B0 或 3C2 或 6 D1 或3解析：选 A 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d .又d，所以|a2|2，解得222(2 22)22|a2|2a4 或a0.故选 A.5若a2b22c2(c0)，则直线axbyc0 被圆x2y21 所截得的弦长为( )A. B11 2C. D.
13、222解析：选 D 圆心到直线的距离d，设弦长为l，圆的半径为r，则|c|a2b2122d2r2，即l2.(l 2)r2d226已知直线axy20 与圆心为C的圆(x1)2(ya)24 相交于A，B两点，且ABC为等边三角形，则实数a_.解析：根据“半径、弦长AB的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a的方程，解方程求a.圆心C(1，a)到直线axy20 的距离为.因为ABC为等边三角形，所以|aa2|a21|AB|BC|2，所以21222，(|aa2|a21)解得a4.15答案：4157已知圆C的圆心是直线xy10 与x轴的交点，且圆C与直线xy30 相切，则圆C的方程为_ 解析：令y0 得x1，所以直线xy10 与x轴的交点为(1,0)因为直线xy30 与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r，|103|22所以圆C的方程为(x1)2y22.答案：(x1)2y228点M，N在圆x2y2kx2y40 上，且点M，N关于直线xy10 对称，则该圆的半径是_解析：由题知，直线xy10 过圆心，(k 2，1)即 110，k4.k 2r1.164162答案：19一圆与y轴相切，圆心在直线x3y0 上，且直线yx截圆所得弦长为 2，求此7圆的方程解：因为圆与y轴相切，且圆心在直线x3y0 上，故设圆的方程为(x3b)2(yb)29b2.又因为直线yx截圆
