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1、不等式（理科）高考备考建议不等式（理科）高考备考建议东莞石龙中学 管俭生 不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用因此不等式应用问题体现 了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用在解决问题时， 要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明不 等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数 单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题， 无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明
2、。 1.本专题 2007 年的考纲要求： （1）不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. （2）一元二次不等式 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. （3）二元一次不等式组与简单线性规划问题 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.（4）基本不等式： 2abab( ,0)a b 了解基本不等式的
3、证明过程. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 2本专题的内容变化和要求变化（与旧教学大纲相比）： （1）不等式的性质由旧大纲“理解”变化为“了解” ； （2）不等式的证明这一内容不再放在本章，显示对这一内容的要求大为降低； （3）突出了一元二次不等式的解法，强化了“三个二次”的关系，删除了高次不等式的解法。增加 了设计一元二次不等式求解的程序框图； （4）绝对值不等式的解法及不等式a-ba+ba+b改为选学，要求降低。（5）突出了基本不等式： 的地位和作用。2abab( ,0)a b 3本专题的备考重点与难点： （1）重点:一元二次不等式的解法及“三个二次”的联系及基本不等式的应用。
4、 （2）难点：含参数的不等式的讨论，不等式与函数和导数、向量、数列、解几的联系，实际问题转 化为不等式问题的“转化过程” 。 4. 典型例题： 例题 1 (1)若 ab0，则下列不等式不能成立的是A. B.2a2b C.|a|b| D.（）a（）ba1 b1 21 21（2）若 ab1，P=，则（ ） ba lglg)lg(lg21baQ)2lg(baRA Rb1， lgalgb0，即 Plg1000=3=Q可排除 A、C、D 故选 B点评:不等式性质的考查常与幂函数、指数函数和对数函数的性质的考查结合起来，一般多以选择 题的形式出现 此类题目要求考生有较好、较全面的基础知识，一般难度不大 例
5、题 2：已知 f(x)=-3x2+a(6-a)x+b （1）解关于 a 的不等式 f(1)0； （2）当不等式 f(x)0 的解集为（-1，3）时，求实数 a，b 的值。 解: f(1)=-3+a(6-a)+b=-a2+6a+b-3 f(1)0 a2-6a+3-b0 的解集为 ；当 b-6 时，6b3a6b3 f(1)0 的解集为6b3a6b3|x（2） 不等式-3x2+a(6-a)x+b0 的解集为（-1，3） ， f(x)0 与不等式(x+1)(x-3)0,求的最小值;9( )4f xxx(2)已知 xy0 且 xy=1，求的最小值及此时 x、y 的值；yxyx 22(3)已知 x0，y0
6、，且 3x+4y=12，求 lgx+lgy 的最大值及此时 x、y 的值 分析:这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，注意挖掘两者间的关系,再运用基本 不等式即可解决。解:(1)因为 x0 由基本不等式得,当且仅当即 x=99( )42 42 3612f xxxxx94xx时, 取最小值 12 3 29( )4f xxx(2) xy0， x-y0， xy=1 （定值） yxyxyxxyyx yxyx 2)(2)(222 22解方程组 得 当，时，yxyxxyyx210 226226yx226 x226 y取得最小值 yxyx 22 22(3)x0，y0，3x+4y=12， ，yxx
7、y431213243 1212 yxlgx+lgy=lgxylg3 由 解得 yxyxyx4312430, 0232yx当 x=2，y=时，lgx+lgy 取得最大值 lg3 23点评:由重要不等式（平均值定理）求最值可分为三步 第一步，全正（即求平均值的各个量都是正 数） ；第二步，凑定值 这步技巧性强，充分体现解题人利用均值不等式求最值的水平，应侧重训练， 当凑出和为定值时，对应各个量的积有最大值；当凑出的积为定值时，其对应各量的和有最小值；第三 步， “取等号” ，即对应各个量能取得等号时，有最值存在，否则，没有最值存在，以上三步可简化为： 一正，二定，三相等 三步缺一不可例题 6：已知
8、二次函数xax)x(f2(1) 若对于任意R, 有成立, 求实数的取值范围；n,m)n(f)m(f 21)2nm(fa(2) 若时，有, 试求实数的取值范围. 1, 0x 1| )x(f | a解：(1) 因函数是二次函数得)x(f0a 又因对于任意R, 有成立, 得到函数是凹函数n,m)n(f)m(f 21)2nm(f)x(f从而得出 0a （或用恒成立推得）22211()()()() ( )( )22222mnmnmnfaammannf mf n(2) 由等价于, 即, 而 x,1| )x(f |1)x(f11xax12 1 , 0 当时, ,式显然成立;0x 0a 1xax12 当 x时
9、, 式化为在 x上恒成立. 1 , 0(1xax12x1 x1ax1 x122 1 , 0(设, 则有所以只须), 1 x1t, ttat22, 0a20) tt (a2) tt(amin2max2 又, 故得到.0a 0x2 综上所述, a 的取值范围是.)0 , 2点评：本题把“三个二次”融为一体，要注意数形结合和分类讨论及分离参数，恒成立( )()af x xD,恒成立。min ( )()af xxD( )()af x xDmax ( )()af xxD例题 7：f(x)=4x+ax2x3在1,1上是增函数32（1）求实数 a 的值组成的集合 A；（2）设关于 x 的方程 f（x）=2x
10、+x3两非零实根为 x1,x2,试问：是否存在实数 m 使不等式31m2+tm+1|x1x2|对于任意 aA 及 t1,1恒成立，若存在求出 m 取值范围，若不存在，说 明理由。解：（1）f(x)=4+2ax2x2，由题意 f(x)0 在1,1上恒成立 A=1,1 110)1( 0)1( aff（2）方程 f(x)=2x+x3可化为 x(x2ax2)=031x1x20, x1,x2是 x2ax2=0 两根 =a2+80,x1+x2=a,x1x2=2|x1x2|=82 a1a1 |x1x2|最大值是 381 m2+tm+13 在 t1,1上恒成立令 g(t)=mt+t22 211202020)1
11、(0)1(22mmmmmmmmgg或或或或m2 或 m2 故存在 m 值，其取值范围为(,22,+)点评：不等式与导数经常联系在一起形成综合问题，要注意：在区间 D 上递增在区间( )f x/( )0fx D 上恒成立，在区间 D 上递减在区间 D 上恒成立，用数形结合的方法处理恒成立问题( )f x/( )0fx 时要充分考虑函数及图像的特点，注意等价性，否则极易出问题。不等式练习题 一选择题（58=40分）1. 对于，给出下列四个不等式 10 a)11 (log)1 (logaaaa)11 (log)1 (logaaaaaaaa111aaaa111其中成立的是 ( ) A与B与C与D与2.
12、 不等式 ax2+bx+20 的解集是，则 ab 等于 （ ）1 1(, )2 3A4 B14C10 D10 3. 如果关于 x 的不等式(a2)x2+2(a2)x42时，解集为x17.（13 分）已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为。)(xfaxxf2)()3 , 1 (（）若方程有两个相等的根，求的解析式；06)( axf)(xf（）若的最大值为正数，求的取值范围。)(xfa答案：(1) （2）21143( )555f xxx 23230aa 或18.（13 分）某单位决定投资 3200 元建一仓库（长方体状） ，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面 用铁栅，每米长造价 40 元
13、，两侧墙砌砖，每米造价 45 元，屋顶每平方米造价 20 元，试计算： （1）仓库表面积 S 的最大允许值是多少？（2）为使 S 达到最大值，而实际投资又不超过预算，那么正 面铁栅应设计为多长？ 答案（1）100平方米 （2）15米 19 （14 分）已知 f(x)是定义在1，1上的奇函数，且 f (1)=1，若 m，n1，1，m+n0 时有 . 0 nmnfmf（1）判断 f (x)在1，1上的单调性，并证明你的结论； （2）解不等式:； 11 21 xfxf（3）若 f (x)对所有 x1，1，1，1恒成立，求实数 t 的取值范围122 atta解：(1)任取1x1或( 1)(1)0ff( 1)0 (1)0 48 (3)0 1 1.1af af aaa 或或或 a1.15a37 2a 5a 37 2a 所以实数 a 的取值范围是或 a1.37 2a 解析 2：a=0 时，不符合题意，所以 a0,又=0 在-1，1上有解，在-1，1上有解在-1，12( )223f xaxxa 2(21
