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1、关于满足置换化条件的有限群张继平?北 京 大 学 数 学系?设?是任一有限群,?是的一个子群?我们把凡?劝? ?玲?称为?在中的置换化子?若对的任何真子群?,有?奔凡?,则称为满足置换化条件的群,我们简称之为?群?在文献? ?中对可解? ?群已有了一些研究?例如,超可解群是? ?群,奇阶?群是超可解的等?但是容易验 证,凡即四个文字上 的对称群是可 解?群,它不是 超可解的?因此,一般地说,偶阶?群不一定超可解?本文对?群的性质进行了研究,给出了可解? ?群为超 可解的充分且必要的条件,即下 面的定理?定班?设是 可解? ?群?则? 是超可解群的充要条件是不含截段?初? ?,? ? ?对任何奇
2、素数?,是户超可解的?本文所用符号可参见文 献 【?下 面的引理在定理?的 证明中有基本的作用?引理?设?是一个有限户群,户是 一个素数?是尸的指数为尸的子群?是?的初等交换正规子群,且?是?在?中的 补群?若存在? ?,使得?玲,则当户是奇素数时,?当?时,?镇? ?证当?钾?时,文献【 ? ?中已证?当?时,我们采 用反证法?设?是极 小阶反例,故,?可取?铸?门?,其中?是尸的中心?令? ?衬?,有? ? ?一?一?令户? ?劝,设叉、几、?补是户中相应于?中?、从、?劝的子群,则户满足引理条件?由?之极小性,得,一?,故,?,从而?令?以共扼作用到?上,作用的核为?衬?一,?。?。?若
3、天钾?,由于犬立衬,从而天尸?在户?中与 上 同样考虑,知户满足引理条件,且?户?万?,所以,?,矛盾?故?这样,?可 以看作?的自同构群的子群?但 是?的自同 构群是? ?阶单群? ? ?,?,且? ? ?,?的? ?子群?是?阶非 循环群,故? ?由于?,可 设? ?,?,?显然?钾?,。钾?。的阶 数。?。?,令?,?,由户群的性质,可知?琴?故?日?,且?。引导?上的一个自同 构?由于?的 自同构群? ?的 阶数是?的 因子,因 此?。?由于?。?。?了。一?了?。?,?,?护?,?了?。,?护,?。,?,因?,?由此 可知?月?夕?月门?夕?是?的 因子?故。?,这与。?矛盾?由此
4、证明 了引理?在证明定理?之前,我们先叙述一下户超可解 的定义?称可解群是户超可解的,若其每本文?年?月?,日收到?斗?科学通报?,年转载http:/中国中国科技论文在线 科技论文在线 一个?主因子?即阶数为户的方幂的主因子?是户阶的?超 可解群的很多性质可类似地搬到户超可解群上来,可参见文献?定理?的证明? ?充分性?用反证法?设?是极小阶反例?若巾?勺?,由于?的性质对其商群是保持的,故?中?超 可解?从而超可解,矛盾,故巾?设?是的一个极小 正规子群?则?超可解?若还有一个极小正 规 子群?钾?,则?门?,?超可解,从而、?门?超可解,矛盾?故有唯一的一个极小正规子群?,由此 不难推得?
5、即为的?子群?,从而?。?由于?,存在的极大子群?,使得?车 ?,从而? ?由?门?,?又是交换的,故?门?,?门?。由于是可解?群,存在的一个户元素?,使一?玲?对?设?尸,则存在?的? ? ,?子群?,使得?冲? 月是的匆? ?子群?由引理?,知,?若。?,则超可解,不可能,故。?,从而户?由于?武? ?,?通过共扼忠实作用到?上?而? !#%weisr ein, M.et01., Ber即“.N II Po一月 ta”d501岁ab l君, poygonalpublishingHou此, 1982.壬 王up pert,B, R月J石而aGr“户户月I, Springe r一Ve rlag, l夕 67.第抖期科学通报功祖中国科技论文在线http:/
