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1、2 0 1 3年 1 2月 案例点评 不经历风雨 ， 怎能见彩虹 浅谈高中生数学运算求解能力的突破 江苏省桥 茶高级中学蒋福兵 数学运算能力是课程 目标要求的“ 核心” 能力之一， 培 养学生的运算能力是中学数学教学的重要任务 在教学中 我们发现： 许多学生在解题时机械 、 盲 目运算 ， 过程繁琐 ， 错误率高； 不少学生对运算缺乏科学认识， 常把运算错误 原因归结为“ 粗心” 、 “ 马虎” ； 只重视解题的方法和思路 ， 不 注意运算的具体实施和运算过程中的合理性、简洁性等 目前， 运算能力问题已经成为许多学生数学成绩进一步提 高的瓶颈 那么， 如何培养学生的数学运算能力? 笔者结合 自
2、身的教学经验提出几点培养策略， 以期抛砖引玉 一、树立正确的数学运算观 ， 让学生乐于运算 数学是一门工具性学科，它是学习其他学科的重要 基础 数学运算能力是数学能力的重要组成部分，是运 算技能与逻辑思维能力等的一种独特的结合很难想象 一个运算能力差的学生能学好数学 每年的江苏省高考 数学考试说明中对运算求解能力都有具体的要求所 以， 要让学生从 内心认识到数学运算的重要性 ， 不但是为 了考试， 更重要的是 自身能力的提高 一些学生把“ 运算” 错误地看成“ 死算” ， 不需要动脑 筋 ， 是纯粹的“ 体力活” ， 做题只注重研究思路， 而不动手 算一遍 ； 从而导致在解题 中“ 眼高手低”
3、 ， 久而久之 ， 在考 试中“ 一算就错” 、 “ 会而不对 ， 对而不全” 的现象时有发 生 学生对运算的错误认识 ，直接影响了自身运算能力 的提高要改变学生的这些错误认识 ， 要经常强调“ 动手 算” 的重要性， 只有亲 自算一遍， 才能体会其中的一些技 巧、 算理、 难点； 要经常让学生比较不同的算法 ， 并进行评 价， 使其亲身感受到提高运算能力的重要性 ， 从思想上树 立正确的“ 运算观” 同时， 教师应该改进教学 ， 让学生乐于运算 在许多 学生眼里， 数学运算是枯燥无味的 在教学中， 教师可通 过设疑置难， 使学生的思维经常处于“ 心愤愤 口悱悱” 的 状态 ， 从而激起学生的
4、求知兴趣 例如， 教师在运算时， 偶尔故意写错一些步骤或者假装算不下去等，启发学生 去发现错误或帮助老师算下去 ，而学生因为有发现老师 材 法 错误的机会， 或者胜过老师的机会 ， 则会对相应的题 目变 得感兴趣 ， 从而全身心投入到运算中去； 也可在教学中进 行各种解题比赛， 和同学比甚至和老师比， 以此激发学生 兴趣， 使他们乐于运算 二 、 掌握运算 中的常见技巧 ， 让学生勤于运算 无疑 ，运算具有技巧性 为达到运算事半功倍的效 果 ， 必须重视运算技巧的积累 ， 增强运算技能 1 合理转化条件规避运算 在数学学习过程中我们可以发现 ，造成复杂运算的 原因多数是因为没有对题 目中的条件
5、合理分析、合理转 化造成 的 例1 已知曲线C 上任意一点到点F ( 1 ， 0 ) 的距离与 到直线 一 1 的距离相等 求曲线c 的方程 如果直线y = k ( x 一 1 ) 交曲线c 于4、 B 两点 ， 是否存在 实数 ， 使得以A B 为直径的圆经过原点0 7 若存在 ， 求出k 的值 ； 若不存在， 说明理由 分析 ： 本题的关键是如何将条件“ 以A B 为直径 的圆 经过原点0 ” 转化成一个熟悉的可操作的条件， 下面有两 种转化方式 ， 我们来做一 比较 转化1 ： “ I?A A B 为直径的圆 经过原点D ” 铮“ J i = l A B1 ( D 为A B中点) ” 解
6、： y 2 = 4 x 将y = k ( x 一 1 ) 代 k y Z = 4 x ， 得k Z - 2 ( k + 2 ) x + k 2 = 0 谢( l ， 1 ) ， ( 2 ， y 2 ) ， 所以 l 2 ： 1 ， 研 2 = 2 ( k 2 + 2 )， 测 A B 的 中 点 D ( ， I a s I ： ： IO D l= 丢 A B 得 、 (警 ) = ， 经化简可得： = O ， 因为k 0 ， 所以 无解 高 中 版中。 毒 i ： ? 麟 教 教 案例点评 2 0 1 3年 1 2月 转化2 ： “ I A B 为直径的圆经过原点0 ” 甘“ 育 丧 ( 1
7、解 ： 所 以 ： 1 ， X l + X 2 = ， y 1y 2 ： 盎 ( r 一 1 ) ( 2 1 ) = 1 2 一 ( 1 + 2 ) + 1 = 一 4 ， 所 以 。 + y = 一 3 0 ， 0 ， 所 以D A B J 7 直径 的圆不经过原点0， 不存在满足条件 的k 从以上两种处理方式来看，第二种方式运算明显减 少， 可见条件的合理转化确实规避了不少运算 2 将表达式整合与分拆， 化繁为简 ( 1 ) 分离变量( 常数) 法 例2 已知函 tf ( x ) ： _ 兰 _ 一 a x ( x 0 Rx 1 ) 若函数 l r t x 厂 ( ) 在( 1 ， + )
8、 上为减函数 ， 求实数a 的最小值 ； 若存在 。 、 。 e ， e ， 使， 【 ) ( ： ) + n 成立， 求a 的取值范围 分析： 根据题蔚 ( ) = 一 。 0 在 ( 1 ， + 。 。 ) 恒 成 立， 令 1 m ： ， 则 0 ， 掣 0 恒 成 立， 即 要 - a t 2+ t 一 1 0 恒成立， 若看成二次函数恒成立 ， 则要讨论开口方向， 即。 0 、 a = O 、 a 5， 4 且目 标 函 数 为 ： ， 上 述 区 域 表 示 第 一 象 限 1 Y I x 0 ， y 0 ， 内两直线与指数函数的图像围成的一曲边形 由 方 程 组 _ 5 得 交
9、点 坐 标 为 C ( ， 吾 1 ， 此 时I x+y=4 二 二 z = 7 又过原点作曲线 的切线， 切点为( Y 。 ) ， 因Y = e ， 故切线斜率 = e ， 切线方程为 e ， 所以 ： e 又 ， 0 ， 则 X O x o = l ， 故切线方程为 ， 从而 e ， 所求取值范围为 e ， 7 l1 对于多元问题通过恰当的变形，将某些整体作为一 个变元 ， 达到减元或降维的目的； 对于某些一元的最值、 恒成立、有解等问题 ，将所给元作为未知量求解较网难 时 ， 可以恰当变形， 重新设元求解 ( 3 ) 构造法 例4 设函数 ) 是定义在R上的可导函数 ， 且满足 l厂 (
10、 ) 可 ( ) 0 ， 则不等式厂 ( VT g i- ) 、 一 1 、 一 1) 的 解集为一 分析：解决此类抽象函数的不等式问题的突破点是 将所研究问题转化为两个函数值的大小问题来研究 由 f ( x ) ( ) 0 ， 构造函数 ( ) = ) ， 所以 ( ) 在R上为 单调递增函数 根据函数的结构特征 ， 在不等式两边同时 乘以师， 即不等式转化为h ( 何) 【 、 钶) ， 则 有师 、 ， 解得l 1 ， 令b = + 1 ( n = l ， 2 ， ) ， 若数列 b 有连续 四项在 集合( 一 5 3 ， 一 2 3 ， 1 9 ， 3 7 ， 8 2 中， 则的= 分
11、析 ： 根据 已知 有连续 四项在 集合 一 5 4 ， 一 2 4 ， 1 8 ， 3 6 ， 8 1 l ， 若采用分类讨论的方法求解 ， 则要讨论的情 况较多 ， 本题考查的本质是等比数列的定义 ， 因集合 中有 三个正数 ， 两个负数 ， 结合等比数列的定义知四项中必为 两正两负， 则q 1 ， 所以g = = 9 ，即公 比为 q = - ， 6 q 一9 在面对所研究问题的求解思路不唯一时，我们要善 于挖掘隐含条件， 掌握基本的概念及基本的解题方法， 提 高运算的速度和正确率 5 善 用数 形结合 抽 象问题直 观化 例8 若x O 时， 均有 ( 0 1 一 1 ( 一 似一 1
12、 ) I0 成立 ， 则0 的值为 分析： 本题是不等式在区间上恒成立的问题， 若分为 两个不等式组恒成立， 因不等式含有参数a ， 求解比较繁 ， 运算量大， 若构造两个函数 ( ) = ( 一 1 一 1 x ) = x - O $ 6 1 ， 从 图像看 ， 则必须满足对 ( 0 ， + 。 。 ) 上任意一个值 ， ( ) ( ) 同正同负 两函数 图像都过点( 0 ， 一 1 ) ， Y - A( ) 图像的开 口向上 ， 两个根一正一负， 要满足条件 ， 则两函 材 法 数必有同一个正的零点 在运算求解比较复杂的背景下 ，要善于抓住数学的 思想方法 ， 如函数与方程的思想、 数学结
13、合思想等 ， 同时 关注数学表达式的三种语言( 即符号语言、 文字语言和图 形语言) 的转化 三 、 加强 自我监控 能力培 养 。 让学生善于运 算 自我监控属于元认知范畴，它是指个体在认知过程 中， 将 自身实践活动过程作为对象， 不断地对其进行自觉 地计划 、 监控 、 检查 、 评价 、 反馈 、 控制和调节的过程 例9 化简求值s i n 5 0 。 ( 1 + 、 了t a n l O 。 ) 学生甲： 由1 + 、 t a n l O 。 联想到两角差得正切公式 ， 将、 了换成t a n 6 0 。 ，则 l + 、 了t a n l O 。 = 1 + t a n 6 0 。
14、 t a n l O 。 = 一t a_n 6 0 -t a nl O ：t a n 6 0 -t a n l 0 ，s i n 5 0 。 ( 1 + 、 了 t a n 1 0 。 ) ： t a n ( 6 0 。 一 l 0 。 1 t a n 5 0 。 8 i n 5 0 。 t a n6 0 - t a n10 ： c 。 s 5 0 。 ( t a n 6 0 - t a n l O 。 ) 到这一步 ，t an)U 思路受阻， 无功而返 应该说 ， 这位学生还是有些运算基础的， 所缺乏的是 对运算方向的调控意识 ， 对式子的变形处于无 目的状态 ， 不清楚为什么要这样变，对运
15、算过程缺乏相应的评价和 必要地调整， 只是“ 一条道走到黑” ， 直至解不出来 学生乙： “ 这是化简求值问题 ，常见方法是化成特殊 角的三角函数或分式约分 化简时，我也由1 + 、 了t a n l O 。 联想到两角差得正切公式 ， 但在草稿纸上算了一下 ， 达不 到预期的目标 ，于是就放弃了本题既有正弦又有正切 就想到统一函数名 ，于是切化弦 ，再通分得到s i n 5 0 o cos l 0 +N - 3 - si nl 0 ，接下来就简单了， 将分子用两角和 的余弦公式化简得2 c o s 5 0 。 ， 再用倍角公式 、 分式约分 就可得到最后结果” 显然， 学生乙具有较强的 自我监控能力， 在整个运算 过程中， 目标明确 ， 知道要做什么和为什么这样做 ， 并且 不时地对过程进行评价和调整美中不足的是没有 自觉 对运算过程进行反思， 如这种题目结构有什么特征， 常用 的解题策略是什么， 有什么注意点等 总之 ， 研
