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1、1正三棱柱 ABCA1B1C1中，D 为 BC 中点，E 为 A1C1中点，则 DE 与平面 A1B1BA 的位置关系为( )A相交 B平行C垂直相交 D不确定答案 B解析 如图取 B1C1中点为 F，连接 EF，DF，DE，则 EFA1B1，DFB1B，平面 EFD平面 A1B1BA，DE平面 A1B1BA.2设 x、y、z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：x、y、z 均为直线；x、y 是直线，z 是平面；z 是直线，x、y 是平面；x、y、z 均为平面其中使“xz 且 yzxy”为真命题的是( )A BC D答案 C解析 由正方体模型可知为假命题；由线面垂直的性质定理可知为真命题3
2、(2016成都模拟)如图是一个几何体的三视图(左视图中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是( )A203 B243C204 D244答案 A解析 根据几何体的三视图可知，该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合体，其中正方体的棱长为 2，半圆柱的底面半径为 1，母线长为 2，故该几何体的表面积为 4522203.124(2016沈阳模拟)设 ， 是三个平面，a，b 是两条不同直线，有下列三个条件：a，b ；a，b；b，a .如果命题“a，b ，且_，则ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是_(把所有正确的序号填上)答案 或解析 由线面平行的性质定理可知，正确；当 b，a 时，a 和 b 在同
3、一平面内，且没有公共点，所以平行，正确故应填入的条件为或.5.如图，在三棱锥 PABC 中，D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点若PAAC，PA6，BC8，DF5.则直线 PA 与平面 DEF 的位置关系是_；平面BDE 与平面 ABC 的位置关系是_(填“平行”或“垂直”)答案 平行 垂直解析 因为 D，E 分别为棱 PC，AC 的中点，所以 DEPA.又因为 PA 平面 DEF，DE 平面 DEF，所以直线 PA平面 DEF.因为 D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，PA6，BC8，所以 DEPA，DE PA3，EF BC4.1212又因为 DF5，故 DF2DE2E
4、F2，所以DEF90，即 DEEF.又 PAAC，DEPA，所以 DEAC.因为 ACEFE，AC 平面 ABC，EF 平面 ABC，所以 DE平面 ABC，又 DE 平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABC.题型一 求空间几何体的表面积与体积例 1 (2016全国甲卷)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E，F 分别在AD，CD 上，AECF，EF 交 BD 于点 H，将DEF 沿 EF 折到DEF 的位置(1)证明：ACHD；(2)若 AB5，AC6，AE ，OD2，求五棱锥 DABCFE 的体积542(1)证明 由已知得 ACBD，ADCD，又由 AECF
5、得，故 ACEF，由此得AEADCFCDEFHD，折后 EF 与 HD 保持垂直关系，即 EFHD，所以 ACHD.(2)解 由 EFAC 得 .OHDOAEAD14由 AB5，AC6 得 DOBO4，AB2AO2所以 OH1，DHDH3，于是 OD2OH2(2)2129DH2，2故 ODOH.由(1)知 ACHD，又 ACBD，BDHDH，所以 AC平面 DHD，于是 ACOD，又由 ODOH，ACOHO，所以 OD平面 ABC.又由得 EF .EFACDHDO92五边形 ABCFE 的面积 S 68 3.121292694所以五棱锥 DABCFE 的体积V 213694223 22思维升华
6、 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解正三棱锥的高为 1，底面边长为 2，内有一个球与它的四个面都相切(如图)6求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积解 (1)底面正三角形中心到一边的距离为2，133262则正棱锥侧面的斜高为.12 223S侧3 29.12632S表S侧S底9 (2)22123269
7、6.23(2)设正三棱锥 PABC 的内切球球心为 O，连接 OP，OA，OB，OC，而 O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径 r.VPABCVOPABVOPBCVOPACVOABC S侧r SABCr S表r131313(32)r.23又 VPABC (2)212，13123263(32)r2，233得 r2.2 33 22 32 33 22 318126S内切球4(2)2(4016).66V内切球 (2)3 (922).436836题型二 空间点、线、面的位置关系例 2 (2016济南模拟)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F 分
8、别是 A1C1，BC 的中点(1)求证：平面 ABE平面 B1BCC1；(2)求证：C1F平面 ABE；(3)求三棱锥 EABC 的体积(1)证明 在三棱柱 ABCA1B1C1中，BB1底面 ABC.因为 AB 平面 ABC，所以 BB1AB.又因为 ABBC，BCBB1B，所以 AB平面 B1BCC1.又 AB 平面 ABE，所以平面 ABE平面 B1BCC1.(2)证明 方法一 如图 1，取 AB 中点 G，连接 EG，FG.因为 E，F 分别是 A1C1，BC 的中点，所以 FGAC，且 FG AC.12因为 ACA1C1，且 ACA1C1，所以 FGEC1，且 FGEC1，所以四边形
9、FGEC1为平行四边形，所以 C1FEG.又因为 EG 平面 ABE，C1F 平面 ABE，所以 C1F平面 ABE.方法二 如图 2，取 AC 的中点 H，连接 C1H，FH.因为 H，F 分别是 AC，BC 的中点，所以 HFAB，又因为 E，H 分别是 A1C1，AC 的中点，所以 EC1綊 AH，所以四边形 EAHC1为平行四边形，所以 C1HAE，又 C1HHFH，AEABA，所以平面 ABE平面 C1HF，又 C1F 平面 C1HF，所以 C1F平面 ABE.(3)解 因为 AA1AC2，BC1，ABBC，所以 AB.AC2BC23所以三棱锥 EABC 的体积V SABCAA1 1
10、2.131312333思维升华 (1)证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题证明 C1F平面 ABE：()利用判定定理，关键是在平面 ABE 中找(作)出直线 EG，且满足 C1FEG.()利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个平面 C1HF 满足面面平行，实施线面平行与面面平行的转化(2)计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，不能直接用公式时，注意进行体积的转化如图，在三棱锥 SABC 中，平面 SAB平面 SBC，ABBC，ASAB.过 A作 AFSB，垂足为 F，点 E，G 分别是棱 SA，SC
11、的中点求证：(1)平面 EFG平面 ABC；(2)BCSA.证明 (1)由 ASAB，AFSB 知 F 为 SB 中点，则 EFAB，FGBC，又 EFFGF，ABBCB，因此平面 EFG平面 ABC.(2)由平面 SAB平面 SBC，平面 SAB平面 SBCSB，AF 平面 SAB，AFSB，所以 AF平面 SBC，则 AFBC.又 BCAB，AFABA，则 BC平面 SAB，又 SA 平面 SAB，因此 BCSA.题型三 平面图形的翻折问题例 3 (2015陕西)如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BAD ，ABBC1，AD2，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点
12、将2ABE 沿 BE 折起到A1BE 的位置，如图 2.(1)证明：CD平面 A1OC；(2)若平面 A1BE平面 BCDE，求平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值(1)证明 在题图 1 中，连接 EC，因为 ABBC1，AD2，BAD ，2ADBC，E 为 AD 中点，所以 BC 綊 ED，BC 綊 AE，所以四边形 BCDE 为平行四边形，故有 CDBE，所以 ABCE 为正方形，所以 BEAC，即在题图 2 中，BEOA1，BEOC，且 A1OOCO，从而 BE平面 A1OC，又 CDBE，所以 CD平面 A1OC.(2)解 由已知，平面 A1BE平面 BCDE，又由(1)知，
13、BEOA1，BEOC，所以A1OC 为二面角 A1BEC 的平面角，所以A1OC .2如图，以 O 为原点，以 OB，OC，OA 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，因为 A1BA1EBCED1，BCED，所以 B，E，(22，0，0)(22，0，0)A1，C，(0，0，22)(0，22，0)得，BC(22，22，0)A1C(0，22，22)(，0,0)，CDBE2设平面 A1BC 的法向量 n1(x1，y1，z1)，平面 A1CD 的法向量 n2(x2，y2，z2)，平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角为 ，则Error!得Error!取 n1(1,1,1)；Erro
14、r!得Error!取 n2(0,1,1)，从而 cos |cos n1，n2 |，23 263即平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值为.63思维升华 平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化(2016深圳模拟)如图(1)，四边形 ABCD 为矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如图(2)折叠，折痕 EFDC.其中点 E，F 分别在线段PD，PC 上，沿 EF 折叠后，点 P 叠在线段 AD 上的点记为 M，并且 MFCF.(1)证明：CF平面 MDF；(2)求三棱锥 MCDE 的体积(1)证明 因为 PD平面 ABCD，AD 平面 ABCD，所以 PDAD.又因为 ABCD 是矩形，CDAD，PD 与 CD 交于点 D，所以 AD平面 PCD.又 CF 平面 PCD，所以 ADCF，即 MDCF.又 MFCF，MDMFM，所以 CF平面 MDF.(2)解 因为 PDDC，PC2，CD1，PCD60，所以 PD，由(1)知 FDCF，3在直角三角形 DCF 中，CF CD .1212如图，过点 F 作 FGCD 交 CD 于点 G，得 FGFCsin 60 ，123234所以 DEFG，故 MEPE
