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1、e UZ辅 o G S El 、 l G SH l Jl E “ 锐角三角函数” 课本习题拓展探究 丁 银 杰 课 本 习 题 是 数 学 知 识 、 解 题 策 略 和 思 想 方 法 的有 机 结 合 体 具 有 很 强 的生 长 性 许 多 中考 试 题 就 是 在 课 本 习 题 的 基 础 上 通 过 变 式 、 拓 展 演 变 而 来 重 视 对 课 本 习 题 的研 究 与 应 用 有 着 重 要 的 价 值 本 文 以 锐 角 三 角 函数 一 章 中 的一 道 课 本 习 题 为 例 对 习 题 进 行 变 式 探 究 挖 掘 习 题 的 最 大 价 值 供 读 者 参 考
2、原题 ： ( 苏科 版教 材 九下第4 8 页习是 ) 已知 ： 攻 图 1 ， AC是 4 B D的 高 ， B C = 1 5 c m。 B AC = 3 0 。， D A C- 4 5 。， 求 AD C D 图 1 【 解 析 】 本 题 中 的 两 个 直 角 三 角 形 R t BC 和 R t ADC 具 有 一条 公 共 的 直 角 边AC 且 R t ABC 已 知 一 边 和 一 锐 角 ( B C = 1 5 c m， C ： 3 0 ) ， 故 可 以解 出R t A ABC ， 求 出公共 C = 1 5 、 了 c m， 从 而 R t ADC已 知 一 边 和 一
3、 锐 角 ( A C ： 1 5 、 3 c m， D AC = 4 5 o ) ， 进 而 求 出 D： 1 5 c m 说 明 ： 当一个 直 角 三角 形满 足 除 直 角外 已知 一边 和一锐 角或 已知两 边 就 可 以 解 出这 个 直角 三角 形 变 式 1 ： 已 知 ： 如 图 2 ， c 是 B D的高 ， AB = 1 0 c m ， BC=5 c m ， D = 4 5 。 ， 求 ， ) B C D 图 2 【 解析 】本 题 中 的 两个 直角 三角 形 R t ABC 和 R t DC具 有 一 条 公 共 的 直 角 边 ， 且 R t A BC已 知 两 边
4、( AB= 1 0 c m， B C= 5 c m) ， 故 可 以 解 出 R t AB C 求 出 公 共 边 C= 5 、 丁c m， 从 而 R t A DC 已知 一边 和 一 锐 角 ( AC = 5 、 了c m， D： 4 5 ) ， 进 而 求 出AD= 5、 百 c m 说 明 ： 由原 题 和 变 式 1 可 知 当 两 个 直 角 三 角 形 有 一 条 公 共 边 时 这 条 公 共 边 就 成 了联 系 两 个 直 角 三 角 形 的 桥 梁 沟 通 着 “ 已知 ” 与 “ 未 知 ” 变 式 2 ： 已知 ： 如 图 3， A C是 ABD的 高， B D =
5、( 3 + _) c m， LBAC=3 0。 DAC= 4 5 。 ， 求 C B C D 【 解析 】 本题 中的 图3 两 个 直 角 三 角 形 R t A BC 和 R t A DC 具 有 一条 公 共 的 直 角 边 但 两 个 直 角 三 角 形 R t AB C和 R t ADC 均 只 已 知 一 个 锐 角 故 不 能直 接解 出其 中任 何 一个 三 角形 考 虑 至 U 日 D = ( 3 + 、 I ) c m， 即 C l+ C z ) ( 3 + 、 ) c m， 从 而 可 以 此 为 相 等 关 系 构 造 方 程 解 决 这 一问题 设 C = x c m
6、 由 B AC _ 3 C ： 4 5 。 可 得 B C= c m C D= c m 所 以 兰 一 = 3 + 、 ， 解 得 ： 3 I II A C ： 3 c m_ T n t e g e n t ma t h e ma t i c s - L慧敦掌 变式3： 已知 ： 如 图4 ， AAB D 中， B D = 1 0 c m， B = 6 0 o ， _ D- - - 4 5 。 ， 求 AB D 的 面 积 【 解 析 】 本 题 中 的 AB D显 然 不 是 直 角 三 B C D 图 4 角 形 ， 考 虑 到 日， D均 为 特 殊 角 ， 可 以 通 过作 高AC 构
7、 造 直 角 三 角 形 将它们分 别 放 在R t AB C 和R t AA DC中 同 变 式 2 设 AC = c IT I ， 由 B= 6 0 D= 4 5 可 得 曰 C ： c m， C D= x c m， 所 以 慨 ：1 O。 解 得 x = 1 5 - 5 、 3，I lI Ac =( 1 5 _ 5 、 了 ) a m 所 以 1 1 AABD 的 面 积 = x BD A C： x l O X 2 2 ( 1 5 5 、 丁 ) =( 7 5 2 5 、 了 ) ( o n ) 说 明 ： 由 变 式 2 、 变 式 3 可 知 ， 当两 个 直 角 三 角 形 有 一
8、 条 公 共 边 且 两 个 直 角 三 角 形 均 不 能 直 接 解 出 时 通 常 设 公 共 边 这 座 桥 梁 为 通 过 构 造方 程 解 决 问 题 变 式4： 已知 ： AC 是 A B D的 高 ， AC = 2 、 3 a m， AB = 4 o n， Z _ D= 4 5 。 ， 求 AAB D的 面 积 B C D 图 5 C B D 图 6 【 解 析 】 如 图5 ， 当高Ac在 AAB D内部 时 ， 在 Rt AABC中 ， AC=2、 a m ， AB= 4 a m， 所 1) 2 B C = 2 o n在 R t AADC中 ， AC= 2 X - 3 -
9、o m， _D= 4 5 。 ， 所 1)2 C D= 2 、 了o n 所 以 D= B C + c D= ( 2 + 2 、 了 )a m 所 以 AAB D 21 的面 积= D c = X ( 2 + 2 、 了) x Z x T =( 6 + 2 、 丁 ) ( c mz ) 如 图6 当 高 C 在 AAB D I“ 部 时 由上 同 理 可 得 B C： 2 c m， C D： 2 、 了c m 所 以 BD=C D BC=( 2 一 2)c m所 以 AAB D 的 面 积 = BDx A C：一 1( 2、 了 一2) X 2 2 2 、 3= ( 6 2 、 3) a m
10、变 式 5 ：如 图 7 ， 北 北 某市在棚户区改造 i i 工 程 中 需 要 修 建 一 段b o 东西方 向 全 长2 0 0 0 米 的 道 路 ( 记 作 线 段 图7 A ) 已知c点周 围7 0 0 米 范 围 内有一 电力 设施 区域 在A处测得C 在A的北偏 东6 0 。 方 向上 ， 在 处测得c 在B的北偏 西4 5 。 方向上 道路 曰 是 否 穿过 电力设施 区域?为什 么? ( 参 考数 据 ： 、 了 1 7 3 2 ， 、 1 4 1 4 ) 【 解析】本题是一个实际应用问题 ， 需 要 将 题 中 的 已 知 信 息 与 图形 相 结 合 将 实 际 问 题
11、 转 化 成 数 学 问 题 过 点 C作 C D 上 AB， 垂 足 为 D ， 由 题 意 得 ： C AB=3 0。， C B A= 4 5 C DA：C DB= 9 0 o 所 以 在 R t ADC中 。 A D= C D， 在 R t AB DC中 ， BD=CD 因 为 BD+ AD： AB： 2 0 0 0 即 C D+ C D= 2 0 0 0， 所 以 ( 、 了 +1 ) = 2 0 0 0 解得 C D= 1 0 0 0 ( 、 3 1 ) 7 3 2 7 0 0 所 以A B不 会 穿 过 电力 设 施 区域 课 本 习 题 是 教 学 的重 要 资 源 。 同 学 们 应 多 加 重 视 通 过 变 式 训 练 等 途 径 掌 握 基 础 题 型 及 基 本 图形 提 升 学 习效 率 避 免低 水 平 的重 复 和 题 海 疲 劳 战术 ( 作者单位 ： 苏州市草桥 中学校 ) T n t e l l i g e n t ma t h e m a t ic s J l - 鼍数掌
