《2014人教A版数学必修一第三章3.1.1《方程的根与函数的零点》讲解与例题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014人教A版数学必修一第三章3.1.1《方程的根与函数的零点》讲解与例题（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1.13.1.1 方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点1函数零点的概念 对于函数yf(x)，我们把使f(x)0 的实数x叫做函数yf(x)的零点函数 yf(x)的零点就是方程f(x)0 的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横 坐标 比如，由于方程f(x)lg x0 的解是x1，所以函数f(x)lg x的零点是 1 辨误区辨误区 函数的零点不是点 我们把使f(x)0 成立的实数x叫做函数yf(x)的零 点，因此函数的零点不是点，而是函数yf(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实 数当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零例如，函数f(x)x1，当f(x) x10 时仅有
2、一个实根x1，因此函数f(x)x1 有一个零点1，由此可见函数 f(x)x1 的零点是一个实数1，而不是一个点 【例 1】函数f(x)x21 的零点是( ) A(1,0) B(1,0) C0 D1 解析：解析：解方程f(x)x210，得x1，因此函数f(x)x21 的零点是1 答案：答案：D 2基本初等函数的零点 函数零点(或零点个数) 正比例函数ykx(k0)一个零点 0反比例函数(k0)kyx无零点一次函数ykxb(k0)一个零点b k0两个零点b2a0一个零点b 2a二次函数yax2bxc (a00无零点 指数函数yax(a0，且a1)无零点 对数函数ylogax(a0，且 a1)一个零
3、点 10一个零点 0幂函数yx0无零点 【例 2】若abc0，且b2ac，则函数f(x)ax2bxc的零点的个数是( ) A0 B1 C2 D1 或 2 解析：解析：b2ac， 方程ax2bxc0 的判别式 b24acb24b23b2又 abc0，b0因此 0 故函数f(x)ax2bxc的零点个数为 0 答案：答案：A 3函数的零点与对应方程的关系 (1)方程f(x)0 有实根函数f(x)的图象与x轴有交点函数f(x)有零点 【例 31】若函数f(x)x2axb的零点是 2 和4，求a，b的值 解析：解析：因为函数f(x)x2axb的零点就是方程x2axb0 的根，故方程 x2axb0 的根是
4、 2 和4，可由根与系数的关系求a，b的值 解：解：由题意，得方程x2axb0 的根是 2 和4，由根与系数的关系，得即2( 4), 2 ( 4),a b 2,8.ab (2)一元二次方程ax2bxc0(a0)与二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象联 系密切，下面以a0 为例列表说明 000二次函数 f(x)ax2 bxc(a0) 的图象图象与 x轴交点(x1,0)，(x2,0)(x0,0)无交点方程f(x) 0 的根xx1，xx2xx0无实数根函数y f(x)的零点x1，x2x0无零点因此，对于二次函数的零点问题，我们可以像研究一元二次方程那样，探讨方程的判 别式即可从形的角度沟通函数
5、零点与方程的根的关系 【例 32】函数yf(x)的图象如图所示，则方程f(x)0 的实数根有( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 解析：解析：观察函数yf(x)的图象，知函数的图象与x轴有 3 个交点，则方程f(x)0 的实数根有 3 个 答案：答案：D 点技巧点技巧 借助图象判断方程实数根的个数 由于“方程f(x)0 的实数根函数 yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标” ，因此，对于不能直接求出根的方程来说，我们要 判断它在某个区间内是否有实数根，只需判断它的图象在该区间内与x轴是否有交点即 可4判断(或求)函数的零点 (1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f(x)的零点，就是方
6、程f(x)0 的根， 因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0 是否有实数根，有 几个实数根 例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)；x3 x (2)f(x)1log3x解：解：(1)令0，解得x3x3 x故函数f(x)的零点是3；x3 x (2)令 1log3x0，即 log3x1，解得x3故函数f(x)1log3x的零点是 3 (2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解我 们知道，函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程F(x)0 即方程f(x)g(x)的实数根，也 就是函数yf(x)的图象与yg(x)的图象
7、的交点的横坐标这样，我们就将函数F(x)的 零点问题转化为函数f(x)与g(x)图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零 点个数 【例 41】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出 (1)f(x)x27x6；(2)f(x)1log2(x3)；(3)f(x)2x13；(4)f(x)2412 2xx x 解析：解析：分别解方程f(x)0 得函数的零点 解：解：(1)解方程f(x)x27x60，得x1 或6 故函数的零点是1，6 (2)解方程f(x)1log2(x3)0，得x1 故函数的零点是1 (3)解方程f(x)2x130，得xlog26 故函数的零点是 log26(4)解方程f(
8、x)0，得x62412 2xx x 故函数的零点为6 辨误区辨误区 忽略验根出现错误 本题(4)中解方程后容易错写成函数的零点是6，2，其 原因是没有验根，避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程 有意义【例 42】函数f(x)ln x的零点的个数是( )1 1x A0 B1 C2 D3解析：解析：在同一坐标系中画出函数yln x与的图象如图所示，因为函数1 1yxyln x与的图象有两个交点，所以函数f(x)ln x的零点个数为 21 1yx1 1x答案：答案：C, 5判断零点所在的区间 零点存在性定理 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线， 并且
9、有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)， 使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0 的根 确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对 应的函数值的符号是否相反但需注意以下几点：(1)当函数yf(x)同时满足：函数的图象在区间a，b上是连续曲线； f(a)f(b)0则可判定函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确 说明有几个 (2)当函数yf(x)的图象在区间a，b上是连续的曲线，但是不满足f(a)f(b)0 时，函数yf(x)在区间(a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点 例如函数f(x)x
10、2在区间1,1上有f(1)f(1)0，但是它在区间(1,1)上存 在零点 0 (3)函数在区间a，b上的图象是连续曲线，且在区间(a，b)上单调，若满足 f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区间(a，b)上有且只有一个零点, 【例 51】求函数f(x)x25x6 在区间1,4上的零点个数 解：解： 错解一：由题意，得f(1)20，f(4)20，因此函数f(x) x25x6 在区间1,4上没有零点，即零点个数为 0错解错解二：f(1)20，f(2.5)0.250，函数在区间(1，2.5)内 有一个零点； 又f(4)20，f(2.5)0.250，函数在区间(2.5,4)内有一个零 点 函数在区间
11、1,4内有两个零点错因 分析对于错解一，是错误地类比了零点存在性定理，注意当f(a)f(b)0 时， 区间(a，b)内的零点个数是不确定的；对于错解二，注意当f(a)f(b) 0 时，区间(a，b)内存在零点，但个数是不确定的正解由x25x60，得x2 或x3，所以函数f(x)x25x6 在区间 1,4上的零点个数是 2【例 52】函数f(x)lg x的零点所在的大致区间是( )9 x A(6,7) B(7,8) C(8,9) D(9,10)解析：解析：f(6)lg 6lg 60，f(7)lg 70，9 63 29 7f(8)lg 80，f(9)lg 910，f(10)lg 100，9 89
12、10 f(9)f(10)0函数f(x)lg x的零点所在的大致区间为(9,10)9 x 答案：答案：D6一元二次方程的根的分布 (1)一元二次方程的根的零分布 所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系 设一元二次方程ax2bxc0(a0)的两个实根为x1，x2且x1x2x10，x202121240,0,0.bac bxxa cxxa x10，x202121240,0,0.bac bxxa cx xa x10x20c ax10，x20c0，且0；x10，x20c0，且0b ab a (2)一元二次方程的根的k分布 研究一元二次方程的根的k分布，一般情况下要从以下三个方面考虑： 一
13、元二次方程根的判别式 对应二次函数区间端点的函数值的正负对应二次函数图象抛物线的对称轴与区间端点的位置关系2bxa 设一元二次方程ax2bxc0(a0)的两实根为x1，x2，且x1x2，则一元二次方程 的根的k分布(即x1，x2相对于k的位置)有以下结论 根的分布图象等价条件x1x2k0, ( )0,.2f k bka kx1 x20, ( )0,.2f k bka x1k x2f(k)0x1，x2(k1，k2) 1212000.2f kf kbkka 或或或x1，x2中有 且仅有一个在 区间 (k1，k2)内f(k1)f(k2)0 或f(k1)0，k1或1222kkb af(k2)0，k21222kkb a_ _ _ 【例 61】已知函数f(x)mx2(m3)x1 的零点至少有一个在原点右侧，求实数 m的取值范围解：解：(1)当m0 时，f(x)3x1，直线与x轴的交点为，即函数的零点为1,03，在原点右侧，符合题意1 3 (2)当m0 时，f(0)1，抛物线过点(0,1) 若m0，函数f(x)图象的开口向下，如图所示二次函数的两个零点必然是一个在
