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1、1永城高中高一 ()部数学学案（27 ）函数模型的应用实例学案撰写人：高申 打印人：华洪涛一 学习目标1. 会利用已知函数模型解决实际问题2. 能建立函数模型解决实际问题二 学习方法指引1. 首先自习课本 102 页106 页，做课本 107 页 A 组 2、3 、42. 本节的关键是理解题意，方法是多读题3. 注意理论联系实际，考试中经常会有这种题型三 应用题的解题步骤当实际应用题中没有给出函数模型时，其解题步骤是：(1) 认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景(2) 恰当地设未知数，列出函数关系式，将实际问题转化为函数问题，即实际问题函数化(3) 运用所学的数学知识和数学方法
2、解答函数问题，得到函数问题的解(4) 将所得问题的解还原成实际问题的结论（即写出符合题意的答案）第一步：审题，认真读题，缜密审题审题是解题的基础，它包括阅读、理解、翻译、挖掘等，通过阅读充分理解文字语言表达的实际问题的类型，抽象出数学实质，初步预测数学模型。同时要注意挖掘隐含条件，研究题目中量与量的关系，为下一步建模做好准备。第二步：建模引进数学符号。如变量 等，建立数学模型yx、在仔细阅读，深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题中的非数学语言合理地转化为数学语言，再根据题意建立数学模型，列出函数关系式，并且要特别注意函数的定义域应当符合实际问题的要求。第三步：解模。运用数学知识，求出问题
3、的解根据实际问题所需要解决的目标，以及所列出的函数关系式的特点，正确运用函数知识进行推理运算，求出函数模型的解第四步：还原、检验把数学结果转译成实际问题作出解答，对解出的结果要代回原问题进行检验，评判，使其符合实际背景以上四步，是解决数学实际问题时切实可行的，必不可少的四个步骤。为你解决建模问题提供了方向。这四个步骤可以简单概括为：读题(文字语言) 提取数学问题(数学模型与函数关系) 建模( 数学语言 ) 解模(求解函数问题 ) 还原(检验后，还原成实际问题作答)四 典型例题例 1. 我国西部某地 2011 年人均收入 400 美元，为了落实西部大开发战略，国家加大了投资力度，预计 2011
4、年后 15 年以内，该地区快速发展，若每年平均增长率为 20%。问什么时候可以达到小康水平(即人均年收入 1600 美元以上)( 参考数据： )471.03lg1.02lg、解：设经过 年后可达到小康水平，根据题意，2011 年人均年收入 400 美元x那么经过一年后，人均年收入为 %2(经过两年后人均年收入为 )依次类推：经过 年后人均年收入为 x)04达到小康水平，即 即60(4x 45(2量变取常用对数得： 因为4lg)56l(x0)56l(所以： 1.72l13l2lgx因此，经过 8 年，也就是 2019 年可达到小康水平例 2. 我国加入 WTO 时，根据达成的协议，若干年内，某产
5、品的市场供应量 与关P税的关系近似满足 (其中 为关税的税率，且 ，2)1()bxktPt )21,0t为市场价格， 为正常数)。当 时的市场xb、 8供应曲线如图所示(1) 根据图像求 的值k、(2) 记市场需求量为 ，它近似满足 ，a21)(xa当 时的市场价格称为市场平价格，当市场P平衡价格控制在不低于 9 元时，求关税税率的最小值解：(1)由图像知： 即 解之得：22)7(81)5(bk0)7(8152bk65kb(2)当 时，有 即aP2)5(62xxt 2156xxt所以： )(7)1(22t由 得 即9x454150x令 则 所以：mmt27)6(2即 对称轴为 且抛物线开口向下
6、)217(2t ,030t所以当 时， 取得最小值 此时4t199x因此，关税税率的最小值为 2例 3. 一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为 40cm 和60cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪法，才能使剩下的残料最少？解：如图所示，在直角三角形铁皮 ABC 上剪出一个矩形 CDEF，设 则.,yCFxD，因为 ，所以， ，即 ，所以yAF40AFECBBEFA604，剩下的残料面积x32xyS60411232（其中 ） ，所以，当 时， 取得最小值 600，此6)(0xS3时， 20y因此，在边长为 60cm 的直角边上截 CD=30cm，在边长为
7、40cm 的直角边上取CF=20cm 时，能使剩下的残料最少五 课堂练习与提高1.小明的父亲饭后出去散步，从家中走 20 分钟到一个离家 900 米的报亭看 10 分钟报纸后，用 20 分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系是( )A BC D2.今有一组实验数据如下表所示t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12u 1.5 4.04 7.5 12 18.01则能体现这些数据关系的函数模型是( )A B C D t2log2tu21tu2tu3.某厂日产手套总成本 （元）与手套日产量 （副）的关系式为 ，而手套yx405xy出厂价格为 10 元/副，则该厂为了
8、不亏本，日产手套量至少为( )A 200 副 B 400 副 C 600 副 D 800 副4.某自行车存车处在某天的存车量为 4000 辆次，存车费为：变速车 0.3 元/辆次，普通车0.2 元/辆次，若当天普通车存车数为 ，存车费总收入为 （元） ，则 关于 的函数关系式为( )A B )40(2.0xy )40(5.0xyC D1125 计算机成本不断降低，若每隔 3 年计算机价格就降低 ，则现价为 8100 元的计算机 9 年3后价格为( )A 2400 元 B 900 元 C 300 元 D 3600 元6.若 ，则 ( )01xyA B C D3xlog3lxy44loglxy1(
9、)4xy7已知函数 当 ，恒有 ，则实数 a 的取值范围是()(21),af(,0)2()0fA B C D0a1a28下列函数中，是偶函数且在区间 上单调递减的函数是 ( )(,)4A B C D3xy12yx23logyx2yx9. 如下图所示，函数 的图象大致形状依次为0.30.5,logxA、 （1） （2） （3） B、 （2） （1） （3） C、 （3） （2） （2） D、 （3） （1） （2）10.将进货单价为 8 元的商品按 10 元一个销售，每天可卖出 100 个，若每个销售涨价 1 元，则日销售量减少 10 个，为了获得最大利润，则此商品当月销售价应定为每个 _元11
10、.某种细菌经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍，且知细菌的繁殖规律为 ，其中 为常数，kxey表示时间（单位为时） 表示细菌个数，则 =_，经过 5 小时 1 个细菌能繁殖成t yk_个12.长为 4 宽为 3 的矩形，当长增加 ，且宽减少 时，面积增大，此时 =_， =_xxxy13.定义在 R 上的偶函数 ，当 时 是单调递增的，)(fy0)(fy，则函数 的零点有_个0)2(1f）（14.设函数 ，若 ，则关于 的方程)(xcbx 2)()4(ff、 x的解有_个f)(15.已知 是定义在 上的偶函数，且在 上是增函数，设,0,()7(log4fa则 的大小关系是_)2.0(),3log, 621fcbcba、16.设偶函数 在 上递增，则 _ (填、或 |l(xfa)0,()1(af)2bf中的一个)17.在某种金属材料的耐高温试验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示出的图像如图所示，现给出下列说法： 前 5 分钟温度增加的速度越来越快 前 5 分钟温度增加的速度越来越慢 5 分钟以后温度保持匀速增加 5 分钟以后温度保持不表其中正确的说法有：_（填所有正确的序号）18.若函数 的两个零点中，一个在 和 之 12)()(2kxxf 01间，另一个在 和 之间，求 的取值范围1
