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1、离散数学模拟试题离散数学模拟试题 1一、一、单项选择题单项选择题（本大题共（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分）1.p:a 是 2 的倍数，q:a 是 4 的倍数。命题“除非 a 是 2 的倍数，否则 a 不是 4 的倍数。 ”符号化为（ ） ；Apq BqpCpq Dpq2.设解释如下:个体域 Da,b，F(a,a)= F(b,b)=0,F(a,b)=F(b,a)=1,在解释下,下列公式中真值为 1 的是（ ） ；A. xyF(x,y) B. xyF(x,y) C. xyF(x,y) D. xyF(x,y)3.设 G 为 n 阶 m 条边的无向简单连通图，
2、下列命题为假的是A.G 一定有生成树 B.m 一定大于等于 nC.G 不含平行边和环 D.G 的最大度（G）n-14.设 G 为完全图 K5，下面命题中为假的是（ ）A. G 为欧拉图 B.G 为哈密尔顿图C. G 为平面图 D.G 为正则图5.对于任意集合 X,Y,Z,则A. XY=XZY=Z B. XY=XZY=Z C. XY=XZY=Z D. XY=XZY=Z6.下面等式中唯一的恒等式是A.ABC(AB)=C B. AA=AC. A(BC)=(AB)( AC ) D.A(BC)=(AB)(AC)7.设 R 为实数集,定义*运算如下:a*b=a+b-ab, 则*运算满足A.结合律 B.交换
3、律C.有幺元 D.冥等律8.在有补格 L 中, 求补A. 是 L 中的一元运算 B.一定有唯一的补元C.不一定是 L 中的一元运算 D.可能没有补元.二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每空小题，每空 3 分，共分，共 24 分）请在每小题的空格中填上分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。正确答案。错填、不填均无分。1.含 n 个命题变项的重言式的主合取范式为 .2.设个体域为整数集合 Z，命题xy(xy=1)的真值为 .3.任何一棵非平凡树至少有 片树叶.4.已知 n 阶无向简单图 G 有 m 条边, 则 G 的补图有 条边.G5.设 R=1,1,1,1, 2
4、,3, 3,2,则 domRranR= .6.设 A=1,2, B=1,2,3,则从 A 到 B 的不同函数有 个.7.如果无向连通图 G 有 n 个顶点 m 条边，并且 mn，则 G 中必含有 .8.设 R 为实数集合，h 是 R 上的函数，h(x)=2x,则 h 是从代数系统R，+，0到自身的 .三、简答题（本大题共三、简答题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）1.设 p：224，q：337，r：448，求下列各复合命题的真值：(1) (pq)r(2) (pr)(qr)(3) (pq) (qr)(4) q(pr)(5) (pq)(pqr)2.求公式x
5、(yF(x,y) zG(x,z)的前束范式.3.已知无向图 G 有 12 条边，1 度顶点有 2 个，2 度、3 度、5 度顶点各 1 个，其余顶点的度数均为 4，求 4 度顶点的个数.4.已知连通的平面图 G 的阶数 n=6,边数 m=8,面数 r=4.求 G 的对偶图 G*的阶数n*,边数 m*,面数 r*.5.设 A=a,b,c,c ,a,b,B=a,b,b,计算(1)AB(2)AB(3)P(B)6.设函数 f:NN,f(n)=2n+1，这里 N 是自然数的集合，回答 f 是否为单射的、满射的或双射的？并说明理由。7.设代数系统 V=Z6, Z6=0,1,5,为模 6 乘法.(1) 给出
6、运算的运算表.(2) 求出所有可逆元素关于运算的逆元.(3) 说明 V 构成什么代数系统.8.设 Zn为模 n 加群,f：Z12Z3，f(x)=(x)mod3,则 f 为同态映射.(1) 说明 f 是否为单同态和满同态.(2) 令 H=x|f(x) =0,计算 H.四、证明题（本大题共四、证明题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）1.在命题逻辑中构造下面推理的证明:前题：ps，qr， s，pq结论：r2证明在具有 n 个顶点的简单无向图 G 中，至少有两个顶点的度数相同.3.设 A,B,C 为集合,证明 A(B-C)=(A-C) (B-C).4. 设 G
7、为群，令 C=a|aGxG(ax=xa).证明：C 是 G 的子群。.离散数学模拟试题参考答案离散数学模拟试题参考答案一、单项选择题一、单项选择题1.B 2.A 3.B 4.C 5.D 6.D 7.B 8.C二、填空题二、填空题1.1. 2.0. 3.2. 4.(1/2)n(n-1)-m. 5.2,2. 6.9. 7.回路. 8.自同构.三、简答题三、简答题1.由题设，p=1，q=0，r=1.(1) (pq)r(10)1010.(2) (pr)(qr)(11)(01)100.(3) (pq)(qr)(10)(01)(11)(01)111.(4) q(pr)0(11)111.(5) (pq)(p
8、qr)(10)(101)1(011)100.2. x(yF(x,y)zG(x,z)x(yF(x,y)zG(x,z)xyz(F(x,y) G(x,z)xyz(F(x,y)G(x,z).3.设 4 度顶点为 x 个，则根据握手定理，有212=12+2+3+5+4x，解得，x=3，即无向图 G 有 3 个 4 度顶点.4. n=r=4，m=m=8，r=n=6.5. (1)AB=a,b,c,c,a,ba,b,b=a,b.(2)AB=AB-AB=a,b,c,c,a,b,b-a,b=a,b,c,c,b.(3)P(B)= ,a,b,b,a,b,b.6.对n1,n2N，当 n1n2时，f(n1)=2n1+1f
9、(n2)=2n2+1，所以 f 是单射的.ranf=2n+1|nNN，所以 f 不是满射的，从而不是双射的. 7.(1) 运算的运算表为:012345000000010123452024024303030340420425054321(2)由表可知，e=1 为运算的幺元，故 e-1=e，即 1-1=1. 又 55=1，所以，5-1=5，Z6中其余元素皆无逆元.(3)由运算表知，对x,yZ6，有 xyZ6，所以，V 是代数系统；对x,y,zZ6，有(xy)z=(xy)mod6z=(xy)mod6)z)mod6=(xyz)mod6=(x(yz)mod6)mod6=x(yz)mod6=x(yz)，所
10、以，运算满足结合律，V 是半群；由(1)知，e=1 为运算的幺元，所以，V 是独异点(幺半群)；又由(1)知，Z6中的元素 0,2,3,4 无逆元，所以，V 不是群.综上，V=是独异点，而且是可交换独异点.8.(1)对 3,6Z12，有 f(3)=(3)mod3=f(6)=(6)mod3=0，所以 f 不是单同态的；ranf=0,1,2=Z3，所以，f 是满同态的.(2)对 0,3,6,9Z12，有f(0)=(0)mod3=0，f(3)=(3)mod3=0，f(6)=(6)mod3=0，f(9)=(9)mod3=0，而对xZ12，当 x0,3,6,9 时，f(x)=(x)mod30，故 H=0
11、,3,6,9.四、证明题四、证明题1. s 前提引入ps 前提引入p 拒取式 pq 前提引入q 析取三段论qr 前提引入r 假言推理2.反证法. 设 G 中不存在度数相同的顶点，则由图 G 为简单图可知，G 的顶点的度数列必为：0,1,2,n-1. 删去 0 度顶点后得到的图 G仍然是简单图，且其顶点度数列为：1,2,n-1，与 G是简单图矛盾. 故图 G 中至少有两个顶点的度数相同.3. A(B-C)=A(BC)=ABCC=(AC)(BC)=(A-C)(B-C).4. 显然，eC，C 是 G 的非空子集. a,bC，对xG，有(ab-1)x=a(b-1x)=a(b-1(x-1) -1)=a(x-1b) -1=a(bx-1) -1=a(xb -1)=(ax)b -1=(xa)b -1=x(ab -1)，即 ab -1C，由子群判定定理，C 是 G 的子群.
