数学思想方法论

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1、辩证唯物主义数学观包含如下观点： 、以现实材料为出发点、 ，数学对客观世界的反映是能动的。反映论，数学发展的独立性笛卡儿创立解析几何的主要贡献在于引进了 ，建立了坐标法，把“形”和“数”统一起来。标准答案： 变数数学既为自身，也为科学研究提供形式化的语言，能否使用数学工具，能否利用数学形式化语言，成为某门学科是否成熟的标志之一。形式逻辑的基本规律是 、矛盾律和 ，这三条规律实质是维护抽象思维的同一性。标准答案： 排中律 ，同一律几何原本第一至第四篇是讲直边形和圆的基本性质；第五篇讲 。标准答案： 比例论世界上第一个把 计算到 3.1415926 到 3.1415927 之间的是 _。标准答案：

2、 祖冲之数学思想方法的一个特点，就是大量使用具有特定涵义的_。标准答案： 主观灵活性综合是在_分析_的基础上把对研究对象的各个部分或要素的认识有机地结合起来，以形成对研究对象整体认识到思维方法。数学结合是一类极为重要的转化，其着眼点在_上。标准答案： 代数和几何的沟通数学创造的含义应从两方面来理解：第一，结果是否丰富和扩大了现有的数学科学体系；第二，对个人来说，_结果是否有新意_。 数学表象是人脑对数学物象的反映，是主体在数学活动中的 ，它是理想化了的形象。标准答案： 心象按材料内容的不同，数学表象可分为图形表象和 。标准答案： 图式表象希尔伯特 第一次提出了选择和组织公理，并提出了 _。标准

3、答案： 相容性、完备性、独立性第一次数学危机所涉及的问题：无理数的表示问题， 的矛盾问题。标准答案： 有限与无限笛卡尔创立解析几何的主要贡献在于引进了 变数_，建立了坐标法，把“形”和“数”统一起来。 推理是一种思维形式，它是由若干个命题和逻辑联结词构成的复合命题，引进了_符号化_，抽象化，使得推理形式结构成为命题运算。命题“(m4)(n6)(mn24)”的逆否命题是“（mn24） ” 标准答案： (n=6、m=4）在思维品质中，_是主体对思维内容和思维过程进行反思和评价的程度。标准答案： 批判性根据人类对客观事物的认识规律，整理和总结各种处理问题方法的 共同规律 ，共同原则的学问，称为科学方

4、法论。数学表象的主要特征是：_、主观灵活性、抽象概括性、创造性。标准答案： 形象化交叉关系 ： 概念 A 的外延和概念 B 的外延有且仅有一部分相同，则称这两个概念的关系为交叉关系。分析 ： 是指能把研究对象分解为它的各部分，或把复杂事物分解为简单要素，或把动态凝固为静态来研究的一种思维方法。实验 ： 是针对所研究对象的需要，根据研究对象的自然状态和发展，人为地创设条件，人为敌将它们分为若干部分，并同其他事物联系起来，以深入了解所研究对象的自然状态和发展情况。反证法 ： 当证明论题 pq 时，不直接证明这个论题，而把结论 q 否定，加到原论题的前提中去，并根据已知命题和推理规则推出与另一已知真

5、命题或原论题的已知前提相矛盾的结论，或导出自己相矛盾的结论，从而确立原论题的真实性，这种证明方法称之为反证法。因果归纳法 ： 根据某类对象的某一属性 p，因条件 A 在一系列变化中对 p 的出现和变化有关键性的影响，从而推断条件 A 是该对象具有属性 p 的原因所使用的推理方法。补集法 ：是指通过把待解问题与某一“整体”联系起来，对于这个整体，有一个与原问题相联系，又较容易解决的问题。若把整体理解为全集（记为 I），则较容易解决的问题是 I 的子集（记为 A），原问题 A 关于 I 的余集（记为 AC），于是原问题转化为交易解决的问题。第一次数学危机所涉及到的问题：无理数的表示问题，_的矛盾问

6、题。 标准答案： 有限和无限演绎推理或称演绎法，是从一般性较大的_推出一般性较小的结论的推理方法。标准答案： 前提中学数学中常见的对立统一关系有：已知与未知，_，曲与直、有限与无限，连续与不连续。标准答案： 常量与变量几何原本包括 _。标准答案： 五条公理和五条公设“幂势即同，则积不容异”是中国的 _ 提出的。标准答案： 刘徽观察是人们对事物或问题的数学特征通过视觉获取信息，运用 辨认其形式、结构和数量关系。标准答案： 思维数学模型有两种基本功能：一种_功能；另一种功能是普适性。标准答案： 统一_ 用平衡法解决了一系列求积问题，并用穷竭法进行了证明。标准答案： 阿基米德数学思维的品质主要表现在

7、思维的广阔性、深刻性、_、独创性和批判性等 5 个方面。标准答案： 灵活性现代认知心理学认为，思维是一个通过对 形式化语言 的信息进行提取、整合、分解、比较、选择等一系列的加工改造而得出新信息的过程。 一切 T 是 M，部分 S 是 T，则_。标准答案： 部分 S 不是 M根据某个或某些真实命题和概念，判断另一命题的真实性的推理过程叫做_。标准答案： 证明一般化方法通常可按如下方向进行：放宽或取消某项约束条件，将条件中的数量、形式或关系_。标准答案： 普遍化变量的函数 的定义的提出者是_。标准答案： 莱布尼茨聚合思维是指从已有信息中产生的逻辑结论，从现成资料中寻求正确答案的一种_有方向_、有范

8、围、有条理的思维方式。抽象 ： 抽象是把从研究的某个角度看待的本质属性抽取出来，舍去其非本质属性进行考察的思维方法。在数学中，抽象是指从研究对象或问题中抽取出数量关系或空间形式而舍弃其他属性对其进行考察的方法。求同求异归纳法 ： 依据某对象的某一属性 p，在一系列情形中，凡有条件 A 的都有属性 p，凡没有条件 A 的都没有属性 p，从而推断条件 A是被研究对象具有属性 p 的原因。对立关系 ： 属概念 C 的两个概念 A、B,若 A、B 的外延没有公共部分，且它们外延之和真包含于 C 的外延，则称 A、B 这两个概念的关系为对立关系。实验法 ： 即按照科学研究目的，根据研究对象的自然状态和自

9、身发展规律，人为的设置条件来引起和控制事物现象的发生或发展过程，并通过感观来认识对象和规律的方法。标准形式化原则 ： 标准形式化原则是指将待解决的问题在形式上向该类问题的标准形式化归。实验就是按照科学研究目的，根据研究对象的自然状态和自然规律，人为地设置条件，来引起或控制事物现象发生或发展过程，并通过_来认识对象和规律的方法。标准答案： 感观创造性思维主要包括形象思维、发散思维、直觉思维和 。标准答案： 灵感思维北宋刘益著议古根源，创立了_，使得方程的系数可以说正数或者负数。标准答案： 正负开方术古希腊三大几何问题是 _。标准答案： 倍立方体问题、三等分任意角和化圆为方问题李治的数学成就主要是

10、深入研究与改进了_。标准答案： 天元术元代的数学家李治的成就主要是深入与改进了_,并给出了我国关于几何问题代数解法的最早典范。标准答案： 天元论思维的批判性是指_对思维内容和思维过程进行反思和评价的程度。标准答案： 主体定义必须相称是指，被定义概念外延与使用的_概念外延相同。标准答案： 已知定义逻辑推理方法的特征：抽象性和_个别与一般的统一性和格式的规则性。标准答案： 概括化按材料内容的不同，数学表象可分为图像表象和_。标准答案： 图式表象等价抽象就是在思维中把同类研究对象的_抽取出来而舍弃其他共同的属性。标准答案： 共同属性证明 ： 在一门科学理论中，根据某个或某些判断的真实性来判定另一判断

11、的真实性的思维过程，叫做逻辑证明，简称证明。证明是由（论题）、（论据）和（论证）三部分构成。特殊化策略： 对于待解待证问题，先解决它的特殊情况，然后把解决特殊情况的方法或结果应用到一般情况，使原问题获解的策略。自 1992 年以来，连续三年的国际数学教育大会上提出数学教育的文化价值，其要点为：数学与民族文化环境有紧密联系；数学是人类文化的共同财富；数学是_。标准答案： 未来公民必备的文化素养到了 15 世纪，德国队里基奥蒙恬纳斯著的论一般三角形出版后，才使_脱离天文学而成为一个独立学科。标准答案： 三角学中国数学史上最先完成勾股定理证明的人是三国时期的_。标准答案： 赵爽（PQ）（PR）（QS

12、） 标准答案： S V R函数概念起源于笛卡尔的_。标准答案： 变数数学基础研究主要包含 3 类问题，它们是：数学中的逻辑问题、数学_问题、数学的哲学问题。标准答案： 方法论数学既为本身，也为科学研究提供形式化的语言，能否使用数学工具，能否利用数学_形式化语言_，成为某门学科是否成熟的标志之一。 反驳法 ： 反驳法是一种特殊方法，是以确知的真命题或实例，驳斥另一命题虚假性的证明方法。数学模型 ： 就是研究者依据研究目的，将所研究的客观事物的过程和现象的主要特征、主要关系，采用形式化的数学语言，概括或近似地表达出来的一种结构。具体化原则 ：是指化归的方向一般应由抽象到具体，即分析问题和解决问题时

13、，应着力将问题向具体的问题转化，以使其中的数量关系更易把握。世界最早讲述代数方程的著作是花拉子米的 _。标准答案： 代数学我国元代数学著作四元玉鉴的作者是_。标准答案： 朱世杰_是中国现存最早的一部数学典籍。标准答案： 周髀算经形的概念充满了矛盾，包括同与异的矛盾、 、曲与直的矛盾、 ，等等。标准答案： 变与不变的矛盾，有限与无限概念是反映研究对象的本质属性的一种思维形式，是人们主观意识对 的能动反映。标准答案： 客观事物根据某个或某些真实命题和概念，判定另一命题的真实性的推理过程叫做 。标准答案： 证明数学概念的内涵和外延之间按_关系相互依赖。标准答案： 反变解析法： 将平面几何问题转化解析

14、几何问题的化归方法，具体步骤：（1）建立坐标系，（2）设定点的座标与曲线方程，化几何元素为解析式，（3）进行运算与推理，即在上述两步的基础上利用解析几何的知识进行具体的解答，（4）返回几何结论，断言论题的解。不完全归纳法：亦即不完全归纳推理是根据考察一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都具有这一属性的一般结论的归纳推理。思维是一个通过对感知记忆的信息进行_而得出新信息的过程。标准答案： 加工改造常量数学时期，主要完善了_，建立了代数、几何、三角等学科、为变量数学发展积累了丰富的素材。标准答案： 算术欧氏几何的缺陷概括起来有：没有基本概念、许多定义不够清晰、_。标准答案： 公理不足数理逻辑主要是用数学方法来研究形式逻辑中的演绎部分及以公理方法构造出 与谓语演算系统的科学。标准答案： 命题演算数学的严谨性表现为：命题结论的确定性、基本概念用公理定义、广泛使用数学符号、以及严谨性的_。标准答案： 相对性和发展性数学逻辑主要用数学方法来研究形式逻辑中的演绎部分及公理方法构造出_与谓语演算系统的科学。标准答案： 命题演算聚合思维是指从已知信息中产生逻辑结论，从现成资料中寻求正确答案的一种有方向、有范围、 的思维方式。标准答