导数的几何意义上课用

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1、导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义知识运用知识运用小结作业小结作业创设情境创设情境探索求知探索求知问问题题1 1 平平面面几几何何中中我我们们是是怎怎样样判判断断直直线线是是否否是是圆圆的的割割线线或或切切线线的的呢呢？圆的切线的定义：直线和圆有惟一圆的切线的定义：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切。这公共点时，叫做直线和圆相切。这时，直线叫做圆的切线，惟一的公时，直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。共点叫做切点。 导数的几何意义导数的几何意义知识运用知识运用小结作业小结作业创设情境创设情境探索求知探索求知问问题题2 2 如如图图直直线线l1 1是是曲曲线线C

2、C的的切切线线吗吗? ? l2 2呢呢? ? l2l1AB0xy导数的几何意义导数的几何意义知识运用知识运用小结作业小结作业问问题题3 3 那那么么对对于于一一般般的的曲曲线线，切切线线该如何寻找呢？该如何寻找呢？ 1. 1.圆的割线与切线有何关系圆的割线与切线有何关系 2. 2.导导数的定数的定义义探索求知探索求知创设情境创设情境导数的几何意义导数的几何意义知识运用知识运用小结作业小结作业创设情境创设情境探索求知探索求知探探究究一一: :观观察察割割线线的的变变化化趋趋势势，给给出出一般曲线的切线定义。一般曲线的切线定义。探究探究1PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T导数的几何意义: 我

3、们发现我们发现, ,当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0 0时时, ,割线割线PQPQ如果趋近于确定位置如果趋近于确定位置PT. .则我则我们把直线们把直线PT称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线切线. .导数的几何意义导数的几何意义知识运用知识运用小结作业小结作业创设情境创设情境探索求知探索求知探探究究一一: :观观察察割割线线的的变变化化趋趋势势，给给出出一般曲线的切线定义。一般曲线的切线定义。说明：说明：通过逼近方法，将割线趋通过逼近方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线，于确定位置的直线定义为切线，适用于各种曲线，这种定义才真适用于各种曲线，这种定义才真正反映了

4、切线的本质正反映了切线的本质。探究探究1导数的几何意义导数的几何意义小结作业小结作业创设情境创设情境探索求知探索求知知识运用知识运用探究二探究二: :那么那么割线割线PQPQ的斜率与切线的斜率与切线PTPT的斜率的斜率k有什么关系有什么关系？即即: :这个概念这个概念: : 提供了求曲线上某点切线提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法的斜率的一种方法; ;切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数. .2)2)曲线的切线曲线的切线, ,并不一定与曲线只有并不一定与曲线只有一个交点一个交点, ,可以有多个可以有多个, ,甚至可以无甚至可以无穷多个穷多个. .要注意要注意,

5、,曲线在某点处的切线曲线在某点处的切线: : 1)1)与该点的位置有关与该点的位置有关; ;3)3)若存在切线，是唯一的若存在切线，是唯一的. .导数的几何意义导数的几何意义几何法几何法小结作业小结作业创设情境创设情境探索求知探索求知知识运用知识运用探究三探究三: :在研究曲线上某点的导数和在研究曲线上某点的导数和经过该点的切线斜率的关系这个过经过该点的切线斜率的关系这个过程中，可以看到当程中，可以看到当x=x0时时, ,f (x0)是是个确定的数，当个确定的数，当x变化时，变化时，f (x)是是x的一个函数，我们称它为的一个函数，我们称它为f(x)的导函的导函数，简称导数，也记作数，简称导数

6、，也记作y（3 3）函数）函数f(x)f(x)在点在点x x0 0处的导数处的导数 就是导就是导函数函数 在在x=xx=x0 0处的函数值，即处的函数值，即 。这也是求函数在点。这也是求函数在点x x0 0处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。（特殊（特殊一般一般） （2 2）函数的导数，是指某一区间内任意点）函数的导数，是指某一区间内任意点x而而言的言的, ,就是函数就是函数f(x)f(x)的导函数的导函数 （动态）（动态）。（1 1）函数在一点处的导数）函数在一点处的导数f(x0 0)（静态）（静态），就是，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的在该点的函数的改变量与自变量的改变

7、量之比的极限，它是一个常数，不是变数。极限，它是一个常数，不是变数。说明：说明：弄清弄清“函数函数f(x)在点在点x0 0处的导数处的导数”、“导函数导函数”、“导数导数” 之间的区别与联之间的区别与联系。系。导数的几何意义导数的几何意义知识运用知识运用小结作业小结作业创设情境创设情境探索求知探索求知例例题题讲讲解解理理解解掌掌握握巩巩固固提提高高例例1 1 观察跳水运动高度随时间变观察跳水运动高度随时间变化的函数化的函数 的图象，请描述曲线在的图象，请描述曲线在t t0 0,t,t1 1,t,t2 2附近的变化情况。附近的变化情况。探究探究导数的几何意义导数的几何意义知识运用知识运用小结作业

8、小结作业创设情境创设情境探索求知探索求知例例题题讲讲解解理理解解掌掌握握巩巩固固提提高高2.2.增增减减快快慢慢-导导数数的的绝绝对对值值大大小小- -过过该该点点切切线线的的斜斜率率大大小小的的绝绝对对值值-曲曲线线在该点附近的陡峭程度。在该点附近的陡峭程度。1.1.过该点过该点切线的斜切线的斜率正负率正负-导数的正导数的正负负-点附点附近的增减近的增减; ;导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义通过观察跳水问题中导数的变化情通过观察跳水问题中导数的变化情况况,你得到了哪些结论你得到了哪些结论?(1)以直代曲：大多数函数就一小段范围看，以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大

9、致可以看作直线，某点附近的曲线可以大致可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该点的切线近似代替；用过该点的切线近似代替；(2)函数的单调性与其导函数正负的关系函数的单调性与其导函数正负的关系；(3)曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系联系.知识运用知识运用小结作业小结作业创设情境创设情境探索求知探索求知例例题题讲讲解解理理解解掌掌握握巩巩固固提提高高归纳小结归纳小结导数的几何意义导数的几何意义知识运用知识运用小结作业小结作业创设情境创设情境探索求知探索求知例例题题讲讲解解理理解解掌掌握握巩巩固固提提高高例例2.求曲线求曲线y= =f(x)= =x3 3- -x

10、在点在点P(1,0)(1,0)处的切线方程处的切线方程. .说明：说明：求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程的基本步骤的基本步骤:求出求出P P点的坐标点的坐标; ;利用切线斜率的定义求出切线的利用切线斜率的定义求出切线的斜率斜率; ;利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程. .变式：变式：f(x)= =x3 3- -x过过P(1,0)(1,0)的切线方程的切线方程. .导数的几何意义导数的几何意义探究探究拓展：拓展：经过曲线经过曲线y=y=f(x)上一上一点点P(x0,f(x0)的切线方程如何求呢的切线方程如何求呢？知识运用知识运用小结作业小结作业创设情境创设情境探索求知探索求

11、知（1 1）求出函数在点）求出函数在点x x0 0处的变化率处的变化率 ，得到曲线在点，得到曲线在点( (x x0 0, ,f(x(x0 0)的切线的斜率。的切线的斜率。（2 2）根据直线方程的点斜式写出切线方）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即程，即导数的几何意义导数的几何意义知识运用知识运用小结作业小结作业创设情境创设情境探索求知探索求知书本例书本例3.3.导数的几何意义导数的几何意义如何求函数如何求函数y=f(x)的导数的导数?导数的几何意义导数的几何意义看一个例子:导数的几何意义导数的几何意义 如何求函数如何求函数y=f(x)的导数的导数?函数导函数函数导函数导数的几何意义导数的几何

12、意义函数导函数函数导函数导数的几何意义导数的几何意义下面把前面知识小结下面把前面知识小结:a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物 理意义了解认识这一概念的实质，学会用事物在全理意义了解认识这一概念的实质，学会用事物在全 过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。 b.要切实掌握求导数的三个步骤：要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增）求函数的增 量；量；（2）求平均变化率；）求平均变化率；（3）取

13、极限，得导数。）取极限，得导数。导数的几何意义导数的几何意义（3）函数）函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函数值，即处的函数值，即 。这也是。这也是 求函数在点求函数在点x0处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。 小结:（2）函数的导数，是指某一区间内任意点）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的而言的, 就是函数就是函数f(x)的导函数的导函数 。（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。常数，不是

14、变数。c.弄清弄清“函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数”、“导函数导函数”、“导数导数” 之间的区别与联系。之间的区别与联系。导数的几何意义导数的几何意义（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即d.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：小结: 无限逼近的极限思想是建立导数无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求概念、用导数定义求 函数的导数的基函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。数概念。