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1、第一章 集合论 1用列举法表示下列集合 (1)偶数类集合:A=2,4,6, (2)1 至 200 的整数中完全平方数集合A=1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196 (3)1 至 100 的整数中完全立方书集合A=1,8,27,64 (4)非负整数集合A=0,1,2,3, (5)24 的素因子集合A=2,3 (6)英文字母集合A=a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,A,B,C,D,E,F,G,H,I, J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z 2用描述法表
2、示下列集合（1）平面直角坐标系的单位圆内的点积A=(x,y)|x2+y2=0 且 y=0 (5)x2+5x+6=0 的解集A=x|x2+5x+6=03.确定下列的包含和属于关系是否正确(1) 包含于 正确，根据定理 1.1 空集是一切集合的子集 (2) 真包含于 错误，根据定理 1.1 的推论，空集是唯一的 (3) 错误，根据定义 1.4，不拥有任何元素的集合称为空集 (4) 正确 (5) 包含于 正确，根据定理 1.1 空集是一切集合的子集 (6) 且 包含于 正确，根据命题公 式的合取式 (7) 且 包含于 错误, 根据命题 公式的合取式 (8)A 为任何一个集合，则 包含于 P(A)且
3、P(A) 正确，显然第一个命 题正确，对于第二个命题： 包含于 A- P(A) (9)a,b包含于a,b,a,b 正确：任意 x,xa,b- xa,b,a,b (10)a,b a,b,a,b,c 错误,显然 (11)a,b a,b,a,b 错误，显然 4.设 A,B,C 为任意三个集合，下列各命题是否为真，并证明你的结论 (1)若 A B,且 B 包含于 C 则 A C 此命题为真 证明: 对于 任意 x, xB- xC 为真，故 AB 为真时，A C 为真 (2)若 A B,且 B 包含于 C 则 A 包含于 C 此命题为假 (3)若 A 包含于 B,且 BC 则 AC 此命题为假 (4)若
4、 A 包含于 B,且 BC 则 A 包含于 C 此命题为假 5.试证明属于关系不满足传递性，即对于任意的集合 A,B,C 若 AB 且 BC 不一定有AC 证明：本题也就是要证明：（1） AB BC AC 不为永真式。 那么就任意举一个反例：A=1,B=2,1,C=2,1其中 AB 且 BC 很显然 A C 故（1）式不为永真式命题得证。 6.列出下列集合的各元子集，并求幂集 （1）A=a,b,c 解：0 元子集为： 1 元子集为：a,b,c 2 元子集为：a,b,a,c,b,c 3 元子集为：a,b,c 所以 A 的幂集：P(A)= , a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c(2)
5、A=1,2,3 解：0 元子集为： 1 元子集为：1,2,3 2 元子集为：1,2,3 所以 A 的幂集：P(A)= , 1,2,3,1,2,3(3)A=, 解：0 元子集为： 1 元子集为： , 2 元子集为： , 所以 A 的幂集：P(A)= , , , , (5)A=1,2,1,1,2,2,1,1,2 解：0 元子集为： 1 元子集为：1,2,1,1,2,2,1,1,2 2 元子集为：1,2,1,1,2,1,2,2,1,1,2,1,1,2,2,1,1,2 3 元子集为：1,2,1,1,2,2,1,1,2 所以 A 的幂集：P(A)= , 1,2,1,1,2,2,1,1,2,1,2,1,1
6、,2,1,2,2,1,1,2,1,1,2,2,1,1,2,1,2,1,1,2,2,1,1,2 (6) A= ,1,1 解：0 元子集为： 1 元子集为： ,1 ,1 2 元子集为： ,1, 1 所以 A 的幂集：P(A)= , ,1,1, ,1,1 10. 设 A=a,判断下列的包含与属于关系是否正确 （1） PP(A) 正确。 包含于 A= P(A) 包含于 PA= PP(A) (2) 包含于 PP(A) 正确 包含于 P(A)= PP(A) 包含于 PP(A) (3) ， PP(A) 不正确。 证明：要证明命题为真 需证明：， 包含于 P(A)P(A) 包含于 A, P(A) 包含于 A
7、A（这个结果对不同集合来说结果可能不同） 所以本命题不正确。 (4) ， 包含于 PP(A) 正确 需证明 PP(A)(显然)证明 PP(A) 包含于 P(A)P(A) 包含于 A （得证） (5) ， a PP(A) 证明：要证明命题为真 需证明：， a 包含于 P(A)P(A) 包含于 A, aP(A) a 包含于 A aA (正确) (6) ， a 包含于 PP(A) 不正确 需证明 PP(A)(显然)证明 a PP(A) a包含于 P(A)aP(A) a 包含于 A （不正确） 11设 A,B 为两个集合，证明 AB=A 当且仅当 AB= 证明：AB=A AB=A=ABB=AB=AB=
8、 AB= =(AB)B=B =AB=B =A(AB)=AB =A(AB)=A-B =A=A-B 得证 12寻找下列各集合等式的充分必要条件，并证明： （1）（A-B）(A-C)=A （A-B）(A-C)=(AB) (2)（A-B）(A-C)= (3)（A-B）(A-C)= (4)（A-B）(A-C)= A 13设 A,B,C 为任意三个集合(1) 证明：(A-B)-C 包含于 A-(B-C) (2)在什么条件下，（1）中的等号成立 14设 A,B,C 为任意的集合，已知 AB=AC 且AB=AC,证明 B=C 证明：AB=AC (AB) (AB)= (AC) (AC) (AA) B=(AA)
9、C 结合律 B=C 同一律和幂等律 15.下列集合那些是彼此相等的？A=3,4;B=3,4 ；C=3,4 ；D=x|xx2-7x+12=0;F= ,3,4;G=3,3,4;H=4, , ,3 16.化简下列集合 （1） 3,4, 3,4, 3,4, 3,4 A=3 ,4 ,3 ,4 （2） PPP(), PP(), P(), P()= ,PP()= , ,PPP()= , , , , A= （3） PPP(), PP(), P()A= 17.设= , ，计算下列各式(1)P(); (2)P(); 3 P() P()= , , , , = , P()= , , , , P()= , 11设 A,
10、B 为两个集合，证明 AB=A 当且仅当 AB= 证明：AB=A AB=A=ABB=AB=AB= AB= =(AB)B=B =AB=B =A(AB)=AB =A(AB)=A-B =A=A-B 得证 12寻找下列各集合等式的充分必要条件，并证明： （1）（A-B）(A-C)=A （A-B）(A-C)=(AB) (2)（A-B）(A-C)= (3)（A-B）(A-C)= (4)（A-B）(A-C)= A 13设 A,B,C 为任意三个集合 (1) 证明：(A-B)-C 包含于 A-(B-C) (2)在什么条件下，（1）中的等号成立 14设 A,B,C 为任意的集合，已知 AB=AC 且AB=AC,
11、证明 B=C 证明：AB=AC (AB) (AB)= (AC) (AC) (AA) B=(AA) C 结合律 B=C 同一律和幂等律 15.下列集合那些是彼此相等的？ A=3,4;B=3,4 ；C=3,4 ；D=x|xx2-7x+12=0;F= ,3,4;G=3,3,4;H=4, , ,3 16.化简下列集合 （1） 3,4, 3,4, 3,4, 3,4 A=3 ,4 ,3 ,4 （2） PPP(), PP(), P(), P()= ,PP()= , ,PPP() = , , , , A= （3） PPP(), PP(), P()A= 17.设= , ，计算下列各式(1)P(); (2)P()
12、; 3 P() P()= , , , , = , P()= , , , , P()= , 8.设= 1,2,2,3,1,3, ,计算下列各式(1); (2);(3);(4) =1,2,3, = = = 19.设=A,A,B ，计算下列各式(1) (2) (3)(-) =A,B =A = AB = A = AB = AB = A (-)= B 20.设 A,B,C 为 3 个集合，已知(AC) 包含于(BC),(AC) 包含于(BC),证明:A 包含 于 B 证明：根据 22 题的证明结果：(AC) (AC) 包含于 (BC) (BC), =A(CC) 包含于 B(CC) 分配律 =A 包含于 B 排中律和同一律 21.设 A,B 为两个集合，试求下列各式成立的充分
