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1、导数导数【考点透视考点透视】1了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念2熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数3理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值【例题解析例题解析】考点 1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例 1 是的导函数，则的值是( )f
2、x31( )213f xxx( 1)f 解答过程解答过程 22( )2,( 1)123.fxxf Q例 2.设函数,集合 M=,P=,若 M P,则实数 a 的取值范围( )1xaf xx |( )0x f x |( )0x fx 是 ( ) A.(-,1) B.(0,1) C.(1,+) D. 1,+)解答过程解答过程由0,1;,1.1xaxaaxx当a1时当a0 时，f(0)为极大值C、b=0 D、当 a0 时，f(0)为极小值11、已知函数 y=2x3+ax2+36x-24 在 x=2 处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A、 （2，3） B、 （3，+）C、 （2，+）D、 （-，
3、3）12、方程 6x5-15x4+10x3+1=0 的实数解的集合中( )A、至少有 2 个元素 B、至少有 3 个元素 C、至多有 1 个元素 D、恰好有 5 个元素二、填空题13.若 f(x0)=2, =_. kxfkxfk2)()(lim00014.设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),则 f(0)=_.15.函数 f(x)=loga(3x2+5x2)(a0 且 a1)的单调区间_.16.在半径为 R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时它的面积最大.三、解答题17.已知曲线 C：y=x33x2+2x,直线 l:y=kx,且 l 与 C 切于点(x0,y0)(x00)，求
4、直线 l 的方程及切点坐标.18.求函数 f(x)=p2x2(1-x)p(pN+)，在0，1内的最大值.19.证明双曲线 xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数.20.求函数的导数(1)y=(x22x+3)e2x;(2)y=.3 1xx 21.有一个长度为 5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以 3 m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚 1.4 m 时，梯子上端下滑的速度.22.求和 Sn=12+22x+32x2+n2xn1,(x0,nN*).23.设 f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间，试确定 a 的取值范围，并求其单调区间.24.设 x=1 与
5、 x=2 是函数 f(x)=alnx+bx2+x 的两个极值点.(1)试确定常数 a 和 b 的值；(2)试判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.25.已知 a、b 为实数，且 bae,其中 e 为自然对数的底，求证：abba.26.设关于 x 的方程 2x2ax2=0 的两根为、(),函数 f(x)=. 142 xax(1)求 f()f()的值；(2)证明 f(x)是，上的增函数；(3)当 a 为何值时，f(x)在区间，上的最大值与最小值之差最小？【参考答案参考答案】一、1.解析：y=esinxcosxcos(sinx)cosxsin(sinx),y(0)=e
6、0(10)=1.答案：B2.解析：设切点为(x0,y0),则切线的斜率为 k=,另一方面，y=()=,故00 xy 59 xx2)5(4 xy(x0)=k,即或 x02+18x0+45=0 得 x0(1)=3,y0(2)=15,对应有 y0(1) )5(9 )5(400000 2 0 xxx xy x=3,y0(2)=,因此得两个切点 A(3，3)或 B(15,),从而得 y(A)= =1 53 515915 533)53(4 及 y(B)= ,由于切线过原点，故得切线：lA:y=x 或 lB:y=. 251 )515(42 25x答案：A3.解析：由=1,故存在含有 0 的区间(a,b)使当
7、 x(a,b),x0 时0,于是当 xfx)0(lim 0xf)0( x(a,0)时 f(0)0,当 x(0,b)时，f(0)0,这样 f(x)在(a,0)上单增，在(0,b)上单减.答案：B4.解析：fn(x)=2xn2(1x)nn3x2(1x)n-1=n2x(1x)n-12(1x)nx,令 fn(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知 fn(x)在 x=时取得最大值，最大值 fn()=n2()2(1) n22 n22 n22 n22 n22n=4()n+1. n22答案：D5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C 11、B 12、C二、13.解析：根据导数的定义：f(x0)=
8、(这时) kxfkxfk)()(lim000kx. 1)(21)()(lim21)()( 21lim2)()(lim0000000000xfkxfkxfkxfkxf kxfkxfkkk答案：114.解析：设 g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),则 f(x)=xg(x),于是 f(x)=g(x)+xg(x),f(0)=g(0)+0g(0)=g(0)=12n=n！答案：n!15.解析：函数的定义域是 x或 x2,f(x)=.(3x2+5x2)=, 31 253log2 xxea )2)(13(log)56( xxexa若 a1,则当 x时，logae0,6x+50,(3x1)(x+2)0,f
9、(x)0,函数 f(x)在 31(,+)上是增函数，x2 时，f(x)0.函数 f(x)在(,2)上是减函数. 31若 0a1,则当 x时，f(x)0,f(x)在(,+)上是减函数，当 x2 时， 31 31f(x)0,f(x)在(,2)上是增函数.答案：(,2)16.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为 2x,高为 h，那么h=AO+BO=R+,解得22xR x2=h(2Rh),于是内接三角形的面积为S=xh=, )2()2(432hRhhhRh从而)2()2(214321 43hRhhRhS.32 3221 43 )2()23()46()2(21hhRhRhhRhhRh 令 S=0,解得 h
10、=R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下： 23h(0, R) 23R 23(,2R) 23S+0S增函数最大值减函数由此表可知，当 x=R 时，等腰三角形面积最大. 23答案：R 23三、17. 解：由 l 过原点，知 k=(x00),点(x0,y0)在曲线 C 上，y0=x033x02+2x0,00 xy=x023x0+2,y=3x26x+2,k=3x026x0+200 xy又 k=,3x026x0+2=x023x0+2,2x023x0=0,x0=0 或 x0=.00 xy 23由 x0,知 x0=, 23y0=()33()2+2=.k=. 23 23 23 8300
11、xy 41l 方程 y=x 切点(，). 41 23 8318. ,x)p2(2)x1 (xp)x( f1p2令 f(x)=0 得，x=0，x=1，x= , p22 在0，1上，f(0)=0，f(1)=0， .2p)p2p(4)p22(f .p2 max)p2p(4)x(f 19.设双曲线上任一点 P（x0，y0）, 2 02xxxa|yk0 切线方程 ,)xx( xayy02 020令 y=0，则 x=2x0 令 x=0，则 .02xa2y .2a2|y|x|21S20.解：(1)注意到 y0,两端取对数，得lny=ln(x22x+3)+lne2x=ln(x22x+3)+2x,.)2(2.)
12、32(32)2(2 32)2(2. 32)2(223222232)32(12222 222222222xxexxexxxxxxyxxxxyxxxx xxx xxxxyy(2)两端取对数，得ln|y|=(ln|x|ln|1x|), 31两边解 x 求导，得.1)1 (31 )1 (1 31,)1 (1 31)111(3113 xx xxyxxyxxxxyy21.解：设经时间 t 秒梯子上端下滑 s 米,则 s=5,当下端移开 1.4 m 时，t0=2925t, 157 341又 s= (259t2)(92t)=9t,212129251t所以 s(t0)=9=0.875(m/s).2)157(92
13、51 15722.解：(1)当 x=1 时，Sn=12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1),当 x1 时， 611+2x+3x2+nxn-1=,两边同乘以 x,得 21)1 () 1(1 xnxxnnnx+2x2+3x2+nxn=两边对 x 求导，得 221)1 () 1( xnxxnxnnSn=12+22x2+32x2+n2xn-1=. 322122)1 () 122() 1(1 xxnxnnxnxnnn23.解：f(x)=3ax2+1.若 a0,f(x)0 对 x(,+)恒成立，此时 f(x)只有一个单调区间，矛盾.若 a=0,f(x)=10,x(,+),f(x)也只有一个单调区间
14、，矛盾.若 a0,f(x)=3a(x+)(x),此时 f(x)恰有三个单调区间. |31a|31aa0 且单调减区间为(,)和(,+)， |31a|31a单调增区间为(, ). |31a|31a24.解：f(x)=+2bx+1, xa(1) 由极值点的必要条件可知：f(1)=f(2)=0,即 a+2b+1=0,且+4b+1=0, 2a解方程组可得 a=,b=,f(x)=lnxx2+x, 32 61 32 61(2)f(x)=x-1x+1,当 x(0,1)时，f(x)0,当 x(1,2)时，f(x)0,当 32 31x(2,+)时，f(x)0,故在 x=1 处函数 f(x)取得极小值,在 x=2 处函数取得极大值 65 34ln2. 3225.证法一：bae,要证 abba,只要证 blnaalnb,设 f(b)=blnaalnb(be),则f(b)=lna.bae,lna1,且1,f(b)0.函数 f(b)=blnaalnb
