灰色系统模型素材

《灰色系统模型素材》由会员分享，可在线阅读，更多相关《灰色系统模型素材（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1. 为什么称为灰色系统模型？从字面意义来解释：灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信 息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端，我们将称信息完全未确 定的系统为黑色系统；称信息完全确定的系统为白色系统.区别白色系统与黑色 系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。如果一个系统具有层次、结构关系的模糊性，动态变化的随机性，指标数据 的不完备或不确定性，则称这些特性为灰色性。具有灰色性的系统称为灰色系 统。对灰色系统建立的预测模型称为灰色模型(Grey Model)，简称 GM 模型，它 揭示了系统内部事物连续发展变化的过程。灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、预

2、测、决策和控制的理论. 灰色预测是对灰色系统所做的预测.目前常用的一些预测方法（如回归分析等）， 需要较大的样本.若样本较小，常造成较大误差，使预测目标失效.灰色预测模 型所需建模信息少，运算方便，建模精度高，在各种预测领域都有着广泛的应 用，是处理小样本预测问题的有效工具.灰色模型（grey models）就是通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分 预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描述。灰色系统灰色系统是既含有已知信息，又含有未知信息或非确知信息的系 统，这样的系统普遍存在。研究灰色系统的重要内容之一是如何从一个不甚明 确的、整体信息不足的系统中抽象并建立起一个模型，该模型能使灰色系

3、统的 因素由不明确到明确，由知之甚少发展到知之较多提供研究基础。灰色系统理 论是控制论的观点和方法延伸到社会、经济领域的产物，也是自动控制科学与 运筹学数学方法相结合的结果。2. 灰色系统理论的发展 灰色系统理论是由我国著名学者邓聚龙教授于 1982 年提出并加以发展的。二 十几年来，引起了不少国内外学者的关注，得到了长足的发展。目前，在我国 已经成为社会、经济、科学技术在等诸多领域进行预测、决策、评估、规划控 制、系统分析与建模的重要方法之一。特别是它对时间序列短、统计数据少、 信息不完全系统的分析与建模，具有独特的功效，因此得到了广泛的应用.所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系

4、统，发展至今，其 具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑 箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰箱系统。一般地 说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。例如物价系统，导致物价 上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰 色预测方法。3.灰色系统的基本原理：公理公理 1 1、差异信息原理。、差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。公理公理 2 2、解的非唯一性原理、解的非唯一性原理。信息不完全、不确定的解是非唯一的。该原理是灰色系统理论解决实际 问题所遵循的基本法则。公理公理 3 3、最少信息原理、最少信息原理灰

5、色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最少信息”。 公理公理 4 4、认知根据原理。、认知根据原理。信息是认知的根据。公理公理 5 5、新信息优先原理。、新信息优先原理。 新信息对认知的作用大于老信息。公理公理 6 6、灰性不灭原理、灰性不灭原理“信息不完全”是绝对的。4.灰色系统的优点（一） 不需要大量的样本。（二） 样本不需要有规律性分布。（三） 计算工作量小。（四） 定量分析结果与定性分析结果不会不一致。（五） 可用于近期、短期，和中长期预测。（六） 灰色预测精准度高。5.常用的灰色预测有五种：（1）数列预测，即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测 模型，预测未来某一时刻

6、的特征量，或达到某一特征量的时间。（2）灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常 值什么时候出现在特定时区内。（3）季节灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测灾变值发生在一年内某个 特定的时区或季节的灾变预测。（4）拓扑预测，将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有 时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时 点。（5）系统预测. 通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型， 预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。6. 灰色系统的灰色系统的基本思想基本思想是用原始数据组成原始序列(0)，经累加生成法生成序列(1)，它可以

7、弱化原始数据的随机性，使其呈现出较为明显的特征规律。对生成变换后的序 列(1) 建立微分方程型的模型即 GM 模型。GM(1,1) 模型表示 1 阶的、1 个变量 的微分方程模型。GM(1,1) 模型群中，新陈代谢模型是最理想的模型。这是因 为任何一个灰色系统在发展过程中，随着时间的推移，将会不断地有一些随即 扰动和驱动因素进入系统，使系统的发展相继地受其影响。用 GM(1,1) 模型进 行预测，精度较高的仅仅是原点数据以后的 1 到 2 个数据，即预测时刻越远预 测的意义越弱。而新陈代谢 GM(1,1)模型的基本思想为越接近的数据，对未来 的影响越大。也就是说，在不断补充新信息的同时，去掉意

8、义不大的老信息， 这样的建模序列更能动态地反映系统最新的特征，这实际上是一种动态预测模 型。7.灰色模型建模机理（1）把原始数据加工生成数； （2）对残差(模型计算值与实际值之差)修订后，建立差分微分方程模型； （3）基于关联度收敛的分析； （4）GM 模型所得数据须经过逆生成还原后才能用。 （5）采用“五步建模（系统定性分析、因素分析、初步量化、动态量化、优化） ”法，建立一种差分微分方程模型 GM(1,1)预测模型。通过下面的数据分析、处理过程，我们将了解到，有了一个时间数据序列后， 如何建立一个基于模型的灰色预测。1. 数据的预处理首先我们从一个简单例子来考察问题.【例 1.1】 设原始

9、数据序列对数据累加 :7,10, 8, 3, 6)(,),2 (),1 ()0()0()0()0(NxxxxL(1)(0)(1)(0)(0)(1)(0)(0)(0)(1)(0)(0)(0)(0)(1)(0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)6(2)(1)(2)6 39(3)(1)(2)(3)6 3+8 17(4)(1)(2)(3)(4)6 3+8+1027(5)(1)(2)(3)(4)(5)6 3+8+10+7xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ，34.于是得到一个新数据序列归纳上面的式子可写为称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成，简称为一次累加生成.显 然有将上述例子中的

10、分别做成图 1.1、图 1.2.:图 1.1 图 1.2可见图 7.1 上的曲线有明显的摆动，图 7.2 呈现逐渐递增的形式，说明原始数 据的起伏已显著弱化.可以设想用一条指数曲线乃至一条直线来逼近累加生成数 列 为了把累加数据列还原为原始数列，需进行后减运算或称相减生成，它是指后 前两个数据之差，如上例中(1)(0)(1)(1).xx(0)(1)xx，(1).x(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(5)(5)(4)34277(4)(4)(3)271710(3)(3)(2)1798(2)(2)(1)963(1)(1)(0)606.xxxxx

11、xxxxxxxxxx，归纳上面的式子得到如下结果：一次后减（式（式 1 1）其中2. 建模原理给定观测数据列（式（式 2 2）经一次累加得（式（式 3 3）设 满足一阶常微分方程其中是 a,u 常数，称为发展灰数；称为内生控制灰数，是对系统的常定输入.此 方程满足初始条件（式（式 4 4）的解为)() 1()()()0() 1 () 1 () 1 (ixixixix(0)1,2,.,(0)0.iNx，)(,),2(),1 ()0()0()0()0(NxxxxL)(,),2(),1 () 1 () 1 () 1 () 1 (NxxxxL(1)(1)dxaxudt+=(1)(1) 00( )ttx

12、xt当时对等间隔取样的离散值 (注意到 ）则为（式（式 5 5）灰色建模的途径是一次累加序列（式 2）通过最小二乘法来估计常数a与u. 因留作初值用，故将 分别代入方程用差分代替微分，又因等间隔取样故得：故得：则类似有：则类似有：于是，由式于是，由式 3 3 有有 把项移到右边，并写成向量的数量积形式 （式（式 6 6）) 1 () 1 (x(1)(1)(1)(2),(3),.,()xxxN , 1) 1(ttt(1) (1)(1)(1)(0)(2)(2)(2)(1)(2),xxxxxt (1)(1) (0)(0)(3)()(3),.,().xxNxxNtt01t (1)(1)(1)(1).a

13、kuuxkxeaa(0)(1)(0)(1)(0)(1)(2)(2),(3)(3), .()().xaxuxaxuxNaxNu+=+=+= )() 1 (iax(0)(1)(0)(1)(0)(1)(2)(2),1(3)(3),1()(),1axxuaxxuaxNxNu L L由于 涉及到累加列的两个时刻的值，因此， 取前 后两个时刻的平均代替更为合理，即将 替换为将（式 5）写为矩阵表达式（式（式 7 7）令 这里，T 表示转置.令则（式 6）的矩阵形式为 ： （式（式 8 8）方程组(式 7)的最小二乘估计为 （式（式 9 9）把估计值 代入（式 4）式得时间响应方程 （式（式 1010）是拟

14、合值；为预报值.这是相对于一次累加序列 的拟合值， 用后减运算还原， 就可得原始序列 的拟合值 tx )1()1(x)()1(ix )()(ixi( )( )1( )(1),(2,3,.,).2iixixiiN(1)(1)(0)1 2 (1)(1)(0)1 2(1)(1)(0)1 2(2)(1)1(2)(3)(2)1(3).1()(1)1()xxx axxxuxNxNxN MM(0)(0)(0)T(2),(3),() .yxxxNL(1)(1)1 2 (1)(1)1 2(1)(1)1 2(2)(1)1(3)(2)1,()(1) 1xx axxUuxNxN MBUy yBBBuaUTT1)( au与(1)(1)(1)(1)akuuxkxeaa 1,2,1kNL当时，) 1()1(kxkN当时，) 1()1(kx)1(x 1,2,1kNL当时，)0(x(0)(1)xk ；可得原始序列 预报值 。