第3章小波变换（wavelet

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1、第 3 章 小波变换 第第 3 章章 小波变换小波变换（Wavelet Transform） 31 几点数学笔记几点数学笔记1 311 数学符号备注数学符号备注 ：”for all” or “for everyone”, 对于每个 ： “there is a” or “there exists”, 存在 Z: 整数集 R：实数集 C：复数集 Z+：正整数集 : is a member of xXxX aR+：属于实数域aR+的元 :( ) |( )x P xorx P x：满足性质 P 的一切元 x 构成的集. Example: 2:2x xx+= 0表示满足220xx+=的一切元 x 构成的

2、集。 AB or AB：, A 包含于 B 中，A为 B 的子集，即 A 中的每个元包含于 B 集中. Set A is contained in set B并集并集: AB:, or x xAxB ： 一切属于集合 A 或属1第 3 章 小波变换 于集合 B（包括同时属于 A 和 B 的情形）的元素构成的集，称为 A 和 B 的并集。 Example： 1,2,3,61,2,5,10=1,2,3,5,6,10 交集交集: , and ABx xAxB=: 一切属于集合 A 且属于 B的元素构成的集，称为 A 和 B 的交集。 Example 2： 1,2,3,61,2,5,10=1,2 Ex

3、ample 3：设 A=x|x-2,B=x|x-2x|x3=x|-2x3 Example 4：设 A=x|x 是等腰三角形，B=x|x 是直角三角形，则 AB=x|x 是等腰三角形x|x 是直角三角形=x|x 是等腰直角三角形 2第 3 章 小波变换 补集补集：A 在 B 中的相对补集相对补集，写作 B A，是属于 B 的、但不属于 A 的所有元素组成的集合。在特定情况下，所讨论的所有集合是一个给定的全集 U 的子集。这样， U A 称作 A 的绝对绝对补集补集，或简称补集补集，写作 A。 相对补集 A - B 补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集差集。 Example：1, 2 红色,

4、白色 = 1, 2 1, 2, 绿色 红色, 白色, 绿色 = 1, 2 1, 2 1, 2 = 若 U 是整数集，则奇数的补集是偶数 补集的基本性质： A A = U A A = (A) = A 3第 3 章 小波变换 A B = A B 容斥原理容斥原理：有限集 A 的元素个数记作 card(A)。 一般地，对于两个有限集 A，B，有 card(AB)= card(A)+card(B)- card(AB) 实值函数：实值函数：f: XR: 设 X 是一个非空集，f 是一个法则或对应规律，它使 X 中的每个元素 x 对应一个实数 f(x),则称 f 是定义在 X 上的实值函数 ，也称 f 是

5、 X 到 R 中的一个映射。X 为定义域，( ):f xxXR称为值域，记为()f X。如果XR，则f 就是一元实函数或单元实函数，如果nXR（n 维实向量空间） ，则 f 就是 n 元实函数，当时，称为多元实函数。 2n 函数的支集函数的支集是函数定义域的闭子集函数定义域的闭子集: 即存在这样一个最小的闭子集或区间，使得在)(tfba,ba,之外，函数为零。 )(tf函 数是 紧 支 集函 数是 紧 支 集)(tfbatfp,)(sup： 即的 支 撑 区是紧支集，表示支撑区)(tf)(suptfp)(suptfp是有界闭区域的真子集。 ba,4第 3 章 小波变换 312 函数空间函数空间

6、2 这里引进泛函分析中的一些基本概念。 泛函： 函数的变量是另外一个函数。 泛函分析是研究函数空间的数学分支，它源自于对变换的研究（例如傅里叶变换）及微分积分方程式研究。 gg 函数空间函数空间 几种常用的函数空间。 距离空间距离空间 定义：定义：设X为任一集合，若该集合中任意两个元素，都对应一个实数, x y(), x y，而且满足： （1）非负性：，当而且仅当(), x y 0xy=时，； (),0x y=（2）对称性：()(),x yy x=； （ 3 ） 三 角 不 等 式 ： 若 该 集 合 中 任 意 的， 有, ,x y zX()()(),x,yx zz y+ 则称(), x y

7、为之间的距离， 而称, x yX为以(), x y为距离的距离空间。 可以定义不同的距离空间，如： .1 n 维欧氏空间维欧氏空间 nR表示 n 维向量()12,.,nxx xx=的全体构成的集合，其中()1,2,.,ix i =n均为实数。 对于任意的()12,.,nxx xx=，()12,.,n nyy yyR=，5第 3 章 小波变换 定义 ()()12 21,nii ix yxy= 为空间的距离，故，是一个按nRnR(), x y定义的距离空间。 .2 连续函数空间连续函数空间,C a b令( )( ),C a bx tx ta b=是上的连续函数，则称,C a b为, a b上的连续

8、函数空间，在,C a b上定义： ()( )( ),max ,; ,x yx ty tta bx yC a=b 通过证明(), x y满足距离的三个条件知道，,C a b是按照距离(), x y定义的一个距离空间。 .3 平方可积函数空间平方可积函数空间 即( )( )( )22RLRx tx tdt= （即由元素为, a b上的平方可积函数组成的函数空间） 。对于任何( )x t，( )( )2y tLR，若定义 ()( )( )1 22,Rx yx ty tdt=这时是一个按照( )2LR(), x y定义的距离空间。 ( )2LR对实数的加法和数乘构成了线性空间。 .4 平方可积离散序列

9、空间平方可积离散序列空间 2l定义 6第 3 章 小波变换 ()22 12 1,.,.ni ilxx xxx= ， 则称为平方可积离散序列空间。若2l()2 12,.,.nxx xxl=， ()2 12,.,.nyy yyl=，定义 ()1 221,lx yxy= 由此为一距离空间。 2lgg 线性空间线性空间 设X为一非空集合，若在X中定义了线性运算，即元素的加法和数乘运算，并满足加法和数乘的结合律和分配律，则称X为一维线性空间或向量空间。 如：平方可积函数空间( )2LR对实数的加法和数乘构成了线性空间。 gg 线性赋范空间线性赋范空间 对线性空间的任意一个向量，可用范数定义其长度。把定义

10、了元素范数的线性空间称作线性赋范空间。 设X为一线性空间，若对于任意xX有一个确定的非负实数x与它对应，并满足 （1）, 0xXx ，当而且仅当x=（表示零元素）时，0x =； 7第 3 章 小波变换 （2）, and xXR ，xx=； （3）, x yXxyxy+；三角不等式 则称x为 x 的范数（范数（norm） ，） ，X为线性赋范空间。线性赋范空间。 对在上ba,p次可积的函数空间次可积的函数空间上，定义范数范数(norm)为 bappdttfL)(pbappdttftf1)()( =。 Or，对p次可积的数列空间次可积的数列空间 +=1np npxl， 定义范数为 pnp nxx1

11、1=+=。 由范数可以导出距离：(), x yyx=，故，线性赋范空间就是距离空间。 gg 巴拿赫空间（巴拿赫空间（Banach Space） 设X为一线性赋范空间，X中的任何柯西序列（Cauchy sequence） ix都有极限，且极限都在X内，则称X为 Banach Space。 8第 3 章 小波变换 这里实际意思是， 线性赋值空间的所有柯西数列都要收敛到该空间内， 也就是说该线性赋范空间是完备的， 也就是说， Banach Space实际上是实数或复数域上的完备线性赋范矢量空间。 柯西序列（柯西序列（在度量空间中的柯西序列，或者收敛的序列） ：对于任意正实数值，都存在一个序号，从这个

12、序号开始的序列中的任意两点之间的距离都小于这个正实数值。根据上确界公理，柯西序列存在极限点。无理数，或者说无限不循环小数，是可以用有理数的柯西序列的极限来定义的。 不完备性的例子是有理数集，序列 不完备性的例子是有理数集，序列 1n=1 !NNSn=是有理数集， 是有理数集，但收敛到无理数 e。 但收敛到无理数 e。 在现代数学中,泛函分析等于研究巴那赫空间。最重要的例子是希尔伯特空间,由点积提升为范数。这点对量子力学数学模型很重要的。其中重要的研究是巴那赫空间及希尔伯特空间所定义的连续线性算子。 g 欧几里德空间欧几里德空间 (Euclidean Space) 是对欧几里德所研究的 2 维和

13、 3 维空间的一般化，即把欧几里德对于距离以及相关的长度和角度等概念，转换成任意维的坐标系。 9第 3 章 小波变换 欧氏空间是一个的特别的度量空间，它使得我们能够对其拓扑性质，例如紧性加以研究。内积空间是对欧氏空间的一般化。 gg 度量空间度量空间(Metric Space) Metric ：A geometric function defined for a coordinate system such that the distance between any two points in that system may be determined from their coordinat

14、es. 在数学中，是指其中任意元素之间的距离是可定义的一个集合。对于现实直观理解的三维欧氏空间是度量空间， 其中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。 定义定义 ：度量空间M是一个点集及一个相关距离函数（这里为实数集合）。对于任意的，该函数必须满足以下条件： ; d(x,y) = 0 当且仅当 x = y; d(x,y) = d(y,x) ; . g 希尔伯特空间希尔伯特空间(Hilbert space) 即完备的内积空间，即定义了元素内积的空间。它是有限维欧几里得空间向无穷维的推广，也是巴拿赫空间(Banach space)的例子。 10第 3 章 小波变换 描写一个系统的

15、态函数的总体张开一个线性空间，量子力学就是在这个空间里开展活动的。集合不仅是一个一般的线性空间，而且是一个满足平方可积条件和定义了内积的、由复函数构成的线性空间。在数学上，再加上一些严格规定(如对称性和非负性等)的这样的线性空间，叫做希尔伯特空间。希尔伯特空间中的每个元素都称为矢量，内积就是矢量的点乘。 更严格地说，设X为复数域C上的线性空间，若从XX到 C 中定义一个函数, 使对任意, ,x y zX，满足 （1）,x yy=x； （2）,C ，有.,xy zx zy z+=+； （3）, x x = 0， 当而且仅当x=（表示零元素） 时，,0x x =。 则称, 为 X 中的内积。在内积空间中，We can always define a nor