面积法证明余弦定理

《面积法证明余弦定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《面积法证明余弦定理（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、以下资料引自：以下资料引自：张景中、彭翕成所著绕来绕去的向量法和仁者无敌面积法 。面积解释面积解释如图 9，以ABC 的三边为边长向外作三个正方形，交 AB90ACBoCNIH于 K。据说欧几里德就是利用此图形证明勾股定理的。易证(最好是将EABCAHVV看作是旋转而成)，进而可得；同理，所以直CAHVEABVACDEAHNKSSBFCGKNIBSS角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上两正方形面积之和。此处还有一个副产品：等价于，无需用到相似，轻松ACDEAHNKSS2*ACAKAB可得射影定理。图 9 图 10 假若不是直角三角形呢？如图 10，ABC 的三高的延长线将三个正方形分为 6

2、 个矩形，而且两两相等，cosBFMJBLPESSacBcosMGCJCHNKSSabC，则，cosKNIALADPSSbcA2222coscoscos2cosbcbcAacBabCbcAa轻松可得余弦定理。 例例 1 1：证明余弦定理。：证明余弦定理。勾股定理只是对于直角三角形成立，很有必要将之推广到一般三角形的情形，这样在使用的时候才方便。在第一章中已经介绍了面积法证明余弦定理了，下面再介绍三种面积证法。证明勾股定理主要用到平移，而证明余弦定理则可能需要用旋转。余弦定理证明余弦定理证明 1：如图 1，将ABC 绕点 B 旋转一个较小角度得到DBE，则；由面积关系得，即ABCDBEVVAEC

3、DABDDBCCBEABESSSSSVVVV1*sin2ACDE，1111*sin*sin()*sin*sin()2222AB DBDB CBBCB EBAB EBB即2221111sinsin(sincoscossin)sin2222bcacBBa，化简得。1(sincoscossin)2acBB2b 222coscacBa图 1 图 2如果认为证法如果认为证法 1 较麻烦，也还有简单的证法。较麻烦，也还有简单的证法。余弦定理证明余弦定理证明 2：只要：只要注意到，cosBIHCFHGESSabC ，立马可得。ABCEDGAEFBDIVVVV2222coscababC余弦定理证明余弦定理证明

4、 3：如图 3，在ABC 中，设三边长度为 a，b，c，在 AB 边上取点 E，使得；在 AB 边上取点 D，使得；易得AECCDBACB， 2bAEc2aBDc；由得abCDCEcABCAECEDCDBCSSSSVVVV，22 21111sinsin() sin()sin2222b ababa ababCCCABCccccc化简得。 2222coscababC图 3在作者所著从数学教育到教育数学一书中，还介绍了几种用面积法证明余弦定理的证法，有兴趣的读者可查阅。在以上三种证法当中，证法 2 无疑是最美妙的，完全达到无字证明的境界。所谓无字 证明，是指不用或用少量文字说明就能解释一些数学定理。

5、国外研究者甚多，称之为 proof without words。向量数量积向量数量积我们现在要强调向量数量积的几何意义：等于 的长度与a br rar在 方向上的投影的乘积。而，所以又可以等于：brara bb ar rr ra br r的长度与 在 方向上的投影的乘积。通俗说来，就是 与 ，谁brarbrarbr往谁身上靠都可以！一些资料都指出了暗藏余弦定理，但没有222()2ababa brrrrr rg进一步的研究。在实数运算中，我们容易构建图形说明。在向量运算中，如何构造图形说明222()2ababab呢？222()2ababa brrrrr rg如图 1，以ABC 三边的三边为边长向

6、外作三个正方形，三高的延长线将三个正方形分为 6 个矩形，由得a bb ar rr rgg，即，同理*BA BCBA BLBJBCuu u r uuu rgcosBFMJBLPESSacB，则cosCJMGCHNKSSabCcosAKNIADPLSSbcA。2222coscoscos2cosbcbcAacBabCbcAa注意到 J、C、A、L 四点共圆，这说明向量数量积还暗藏圆幂定理。所以说，别小看，不是简单交换顺序那么简单，中间a bb ar rr rgg值得研究的东西多着呢！ 图 1面积法与勾股定理面积法与勾股定理1 面积法的源起面积法的源起利用面积关系来说明数学中的某些恒等式、不等式，或

7、证明某些定理，这是一个古老而又年轻的方法。说它古老，是因为：早在三千多年前，在几何学还没形成一门系统学科时，人们已经会用这种方法来解决某些问题了。说它年轻，是因为：直到今天，人们并没有给它足够的重视，因为这种方法的潜力远没有得到发挥。它广泛的、五花八门的用途，虽然已经逐步被各种竞赛教材所吸收，但还很少在正式的教科书、教学参考书和各种学生读物中得到系统的阐述。几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要。翻开任何一本关于数学史的通俗读物，差不多都记载着这样的故事：在古埃及，尼罗河每年定期泛滥。洪水带来了尼罗河肥沃的淤积泥土，这让人们在干旱的沙漠地区种植农作物提供了很好的条件。随之也带来了一个问题，

8、因为洪水在带来肥沃土壤的同时，也抹掉了田地之间的界限标志。洪水消退后，人们要重新画出田地的界限，这就必须丈量和计算田地的面积。年复一年，这就积累了最基本的几何知识。这样看来，从一开始，几何学就和面积结下不解之缘。英文中的“几何”“Geometry” ，这个单词的字头“Geo-” ，便含有土地的意思。 利用面积关系证明几何定理，最早的例子是勾股定理的证明。勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，历史悠久，证法繁多。千百年来对它的探讨从未停止过，人们不断提出新的证法，其中有著名的数学家，也有业余的数学爱好者；既有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。图 1-1 和图 1-2 都是勾股定理的经

9、典证明。图 1-1 取自趙爽（三国时代人，生活于公元 3 世纪）注周髀算經 （1213 年宋版） ，此证法一般被称为赵爽弦图证法；图 1-2 取自徐光启、利玛窦合译的几何原本 ，该证法一般被称为欧几里得证法。图 1-1 图 1-22002 年 8 月 20-28 日，世界数学家大会在北京召开。大会所使用的会标就是赵爽弦图(图 3)。图 3 图 4勾股定理相当重要，被称为是几何学的基石。经过不断探索研究，据说到现在，已经有 400 多种证法了，无疑成为数学中证法最多的定理。 勾股定理被发现之后，数学家们除了不断寻找新证法，也在寻找应用。勾股定理的一个直接应用就是希波克拉底发现了月牙定理。如图 4

10、，直角三角形的面积等于两个月牙面积之和。就是这么一个简单的图形，掀起了很大的风波，误导了很多数学爱好者。月牙形是曲线形，直角三角形是直线形，直线和曲线是如此地不同，因此很容易使人产生错觉，似乎直线形的面积是不可能等于曲线形的面积的。然而正是希波克拉底的这个月牙图形，证明了直线形的面积是完全可能等于曲线形的面积的。这在当时，数学发展的初期，对开阔大家的眼界，有着极大的意义。同时，月牙图形的出现也让很多数学研究者，包括希波克拉底在内，陷入了一个死胡同，他们“坚信”化圆为方问题是可以实现的。其实，希波克拉底只是解决了化月牙形为方这一特殊情况，而该方法很难推广解决直线形图形和曲线形图形等面积转化的一般

11、情况。古代数学，不管是东方还是西方，都擅长用几何图形来说明问题。这可看作是无字证明（without words proof）的源头。很大程度上，是由于当时代数研究很不系统，缺乏能够方便使用的符号工具。图 5 是月牙定理的图形证明，多个小图片连在一起，生动再现了面积转化的过程，十分直观。如果利用现代信息技术，譬如用超级画板作成动画形式，或以 gif 格式的动态图片展示，则更有趣了。图 5 面积割补的证明大多可以如此处理。图 6 和图 7 也是将多幅小图片连在一起，构成勾股定理的动画证明。这两种证明多次用到了等底等高平行四边形面积相等。 图 6图 7而化圆为方问题实质上等价于用直尺圆规作出线段 的

12、问题。1882 年，法国数学家林德曼证明了 是超越数，而尺规作图所能完成的线段是代数数，所以化圆为方问题是尺规作图所不能完成的。但假若不受尺规作图的限制，化圆为方问题并非难事。如图 8，将一个半径为的圆R作一滚动，得到的正方形面积与之相等。设正方形的边长为，根据射影定理可得a。22*aR RR图 8 勾股定理证明很多，但多数来之不易， 可谓是古今中外数学爱好者集体智慧的结晶。很多的巧证，都是冥思苦想而成。本书中，我们会给出两种批量生成勾股定理证明方法，一种是拿两个三角形拼摆，另一种则需借助计算机（见 24 章） ，所得证法之多，让人惊讶。2 勾股定理的拼摆证法勾股定理的拼摆证法如图 9，以AB

13、C 的三边为边长向外作三个正方形，交 AB90ACBoCNIH于 K。据说欧几里德就是利用此图形证明勾股定理的。易证(最好是将EABCAHVV看作是旋转而成)，进而可得；同理，所以直CAHVEABVACDEAHNKSSBFCGKNIBSS角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上两正方形面积之和。此处还有一个副产品：等价于，无需用到相似，轻松ACDEAHNKSS2*ACAKAB可得射影定理。图 9 图 10 假若不是直角三角形呢？如图 10，ABC 的三高的延长线将三个正方形分为 6 个矩形，而且两两相等，cosBFMJBLPESSacBcosMGCJCHNKSSabC，则，cosKNIALAD

14、PSSbcA2222coscoscos2cosbcbcAacBabCbcAa轻松可得余弦定理。 若将图 10 加以变化，深入探究，还会有新的收获。如图 11，从点 D 出发向斜边 AB 作垂线段。显然可以从图 11 中抽取出图 12，由作图可知，易证，；由面积关系得DKABABCDLCVVBCLC化简即得。BCLACDALBDSSSVV222abc图 11 图 12这一证明应该引起我们的重视和反思。勾股定理研究的是直角三角形三边之间的关系，这一关系与直角三角形的三边上是否存在正方形无关，而长期以来我们却不自觉地由数的方（平方）联想到形的方（正方） 。去掉正方形，从图 11 中抽取出图 12，图

15、形显得简洁多了，其本质可看作是将ABC 绕点 C 旋转得到。90o如果我们用动态的眼光看图 12，则会得到更多的证明。考虑到看图的习惯，首先将图 12 转变成图 13 的形式，其本质是一样的。如图 13，将 RtABC 旋转得到 RtCDE，由得。 （注意：此90oECBACDBEADSSSVV222abc处涉及凹四边形面积计算，若一时不习惯，可多走一步：延长 AB 交 DE 于 K，则）2111*()*222BEADEADEBDSSSEDAKBKEDABcVV将图 13 中的 RtCDE 平移，得到图 14，由得。ECuuu rCDBCADCADBSSSVV222abc图 13 图 14将图 14 中的 RtCDF 再平移一点，得到图 15，由得EFBFADBEADBSSSVV。222abc