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1、重庆大学高等数学（工学类）课程试卷第 1 页 共 1 页重庆大学2014 版试卷标准格式重庆大学高等数学（工学类）课程试卷20 20 学年第学期开课学院 : 数统学院课程号:考试日期 : 考试方式：考试时间 : 120 分题 号一二三四五六七八九十总 分得 分一、选择题 (每小题 3 分,共 18分) 1. 设,xyzx则zx().(A)1xxyy x(B)1lnlnxyxyx(C)1lnlnxxyy xxyx(D)1lnxxyy xxx难度等级 ：2；知识点：偏导数答案:C. 2. 曲线sec ,csc ,sec cscxt yt ztt在对应于4t点处的切线方程是().(A) 22222x
2、yz(B) 22210yzx(C) 22222xyz(D) 222022xyz难度等级 ：1；知识点：多元微分学的几何应用答案:B. 分析:4t时切点为( 2,2,2),切向量( 2,2,0).a所以切线方程为222.10yzx与(A)、(B)、(C)、(D)比较后知 ,应选(B). 3. 物质沿曲线23 :,(01)23ttxt yzt分布 ,线密度为2 ,y则它的质量为().A12401ttt dt(B)12401 tt dt(C)12401ttt dt(D)122401ttt dt难度等级 ：2；知识点：第一类曲线积分的应用答案:C. 命 题 人: 组 题 人: 审 题 人: 命 题 时
3、 间: 教 务 处 制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试; 2.考试作弊 ,留校察看 ,毕业当年不授学位 ;请人代考、替他 人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊 ,开除学籍 .重庆大学高等数学（工学类）课程试卷第 1 页 共 1 页重庆大学2014 版试卷标准格式分析: 化为定积分 ,被积函数为2 2424211(01),2ttttttt只有 C 符合. 4. 设2,1mn，m与n的夹角为2,a=4,mn2 ,bmn23cmn，则23()2()1aa bb c( ). (A) 126 (B) 102 (
4、C) 103 (D) 104 难度等级： 2；知识点：向量代数 . 答案：( D) 分析：2a2222(4)16816 20165mnmm nna b222(4) (2 )4724 20214mnmnmm nn22(2 )(23 )2262b cmnmnmm nn23()2()1aa bb c653 142 211045. 设积分区域D由2yx和2yx围成 ,则( , )Df x y d().(A)2221( ,)xxdxf x y dy(B)2210( , )dxf x y dy(C)2122( , )xxdxf x y dy(D)2120( , )xxdxf x y dy难度等级 ：1；知
5、识点：二重积分答案:(A) 分析 :四个 选项都是先y后x的 积分 顺序 ,曲线 求交 点得为( 1,1),(2, 4),积分区域为212,2,xxyx显然(D)不符合 ,(C)下限小于上限不符合 ,(B)积分限不对 ,只有(A)符合. 6. 设 积 分 曲 面为 球 面2222Rzyx的 外 侧 , 则3 22221()()xdydzydzdxzdxdyxyz().(A)0(B)4(C)24 R(D)3 34R难度等级 :2;知识点:对坐标曲面积分的计算 ,高斯公式答案:(B). 分析: 先将的方程代入被积函数，然后使用高斯公式，故选B. 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 7. 极
6、限 0 0sin2lim 11x yyxxy_.难度等级 :2;知识点 :多元函数极限答案:4. 重庆大学高等数学（工学类）课程试卷第 1 页 共 1 页重庆大学2014 版试卷标准格式分析:可通过分母有理化和等价无穷小的代换约去分母上的无穷小量,使分母的极限不为零 . 解: 0 0sin2lim 11x yyxxy0 0sin2 ( 11)lim4. x yyxxyxy8. 函数32242zxxyyx的驻点为_.答案:12, 1, 2 .33难度等级 :1;知识点:多元函数极值分析:驻点处函数的偏导数等于0. 解:由26420,420xyzxyzxy解得驻点 :12, 1, 2 .339.
7、设空间区域2222,xyzR：则222_.xyz dV难度等级 :2;知识点:三重积分答案:4.R分析:02 ,0,0,rR22222000sinR xyz dvddr rdr4.R10.设向量场(23 )32,Azy ixz jyx k则旋度_.rotA难度等级 :1;知识点:旋度答案:2332ijkxyzzyxzyx=246 .ijk11. 设24( ),xf xx e则(69)(0)_.f难度等级 :2;知识点 :函数展开成幂级数答案:0.分析 : 22 44(69)0( 1)( )(0)0.!nn xnxf xx exfn因为24( )xfxx e幂级数的69x的系数为0.12. 设1
8、23( ),( ),( )y xyxyx是线性微分方程( )( )( )yP x yQ x yf x的三个线性无关的解 ,则微分方程的通解是_.难度等级 :1;知识点:二阶非齐次线性微分方程的通解答案:1213233( )( )( )( )( ).y xy xyxyxyxCC类似的也可 . 分析 :由二阶线性微分方程通解的结构定理,13( )( )y xy x与23( )( )yxy x是齐次微分方程( )( )0yP x yQ x y的解 ,因此原方程的通解为1213233( )( )( )( )( ).y xyxyxyxy xCC三、 计算题 (每小题 6 分,共 24 分) 13. 判断
9、级数11(0)1n naa的敛散性 . 重庆大学高等数学（工学类）课程试卷第 1 页 共 1 页重庆大学2014 版试卷标准格式难度等级 :2;知识点:敛散性的判别分析:对参数进行讨论 . 解:(1)11101,lim1,1,lim.112nnnnaaaa故级数111n na发散. (2)11111,1nnn naaaa收敛,故级数111n na收敛. 14. 求微分方程2xyyy满足初始条件1|1xy的解. 难度等级 :2;知识点:一阶线性微分方程 . 分析:方程为2n的贝努利方程的初值问题. 解:这是2n的贝努利方程 ,在原式两边同除以2xy得2111.dy y dxxyx令1,zy则21
10、.dzdydxydx方程化为11.dzzdxxx这是一阶线性方程 ,且有11,1.xzy其解为2.xzx故原方程的解为( ).2xy xx15. 确定正数a，使曲面xyz a与球面22227xyz在交点000(,)M xyz处相切. 难度等级： 2；知识点：曲面的切平面. 分 析(,)Fxyz在 点000(,)xyz处 的 切 平 面 的 法 向 量 为(,)xyznFFF，两曲面在000(,)Mxyz相切，说明法向量平行，且000(,)Mxyz在两个曲面上 .解曲 面xyza在点M的 法 向量1000000(,)ny zx z x y， 球 面22227xyz点M的法向量2000(,)nxy
11、z，二曲面在交点000(,)M xyz相切，则12/ /nn于是000000000xyzy zx zx y，而且000x y za，222 00027xyz解之得到0003xyz，00027ax y z16.计 算()()()yz d xzx d yxy d z其 中 积 分 路 径为 椭 圆222,xya1xzab(0 ,0 )ab若从x轴的正向看去 ,这椭圆是取逆时针方向 . 难度等级 :3,知识点 :斯托克斯公式 ,曲面积分的计算 ,二重积分的性质分析 : 曲线的参数方程不易写出,积分路径为闭 ,用斯托克斯公式. 重庆大学高等数学（工学类）课程试卷第 1 页 共 1 页重庆大学2014
12、版试卷标准格式解: 取为平面1xzab被所围成的部分的上侧,的法线向量为11(,0,),nab其方向余弦为2222(cos ,cos,cos )(,0,).baabab于是()()()yz dxzx dyxy dz22coscoscos2()dSxyzyzzxxyabdS ab2222222222()1()2()xyaxyaabbdxdyaababdxdya22()2().abaa a ab或解:cossin: 02cosxatyattzbbt()()()yz dxzx dyxy dz20( sincos)(sin)(coscos)cos( cossin ) sin atb btatb bta
13、t atatat btdt220()2()aabdta a b四、解答题 (每小题 6 分,共 12 分)17. 设22,323ydxxdydzxxyy求原函数. z难度等级 2;知识点 :曲线积分与路径无关的条件分析: 利用曲线积分与路径无关找原函数解: 22010323xyydxzdycxxyy20283()39xydxcyyx03()33arctan32 22 2xyxyc yy13arctan. 2 22 2xyc y18. 求与原点的距离为6，且在三个坐标轴上的截距之比为2:3:1:cba的平面方程 . 难度等级： 2；知识点：空间解析几何. 重庆大学高等数学（工学类）课程试卷第 1
14、 页 共 1 页重庆大学2014 版试卷标准格式分析 平面的截距式方程为1xyzabc.解设所求的平面方程为1 23kzkykx. 即.06326kzyx由题意有6 3266030206222k，即6 76k，7k. 故所求的平面方程为042326zyx五、证明题 (每小题 6 分,共 12分) 19. 设函数( )f x在0,1上连续 ,试证1113001( )( )( )( ) .6yxxf x f y f z dxdydzf x dx难度等级 :3;知识点:重积分分析 : 利用连续函数一定有原函数,计算三次积分 ,求出结果即证证: 令0( )( ),x F xf t dt则( )( ).
15、dF xf x dx( )( )( )( ).yyxxf z dzdF zF yF x110( ) ( ) ( )yxxf x f y f z dxdydz110( )( )( )yxxf x dxf y dyf z dz110( )( )( )( )xf x dxf y F yF x dy121012201( )( )( )( )2 11( )(1)( )(1)( )22xfxFyF x F ydxfxFFxFF x dx2321 0111(1) ( )( )(1)( )262FF xFxFFx1301( ) .6f x dx20. 设有方程10,nxnx其中n为正整数 .证明此方程存在惟一
16、正实根,nx并证明当1时,级数1nnx收敛. 难度等级 :2;知识点:敛散性的判别证明 : 1. 设1( )1( )0(0)( )nnf xxnxfxnxnxf x单增(0).x故方程01nxxn至多一正实根 . 又(0)10,(1)0,ffn故方程01nxxn至少一正实根.所以方程01nxxn(其中n为正整数 )存在惟一正实根.nx2. 111110.n nnnnn nxnxxxnxnn故 当1时 , 级 数1nnx收敛. 六、应用题(每小题 8 分,共 16 分)21. 设 薄 片 所 占 的闭 区 域D如 下求 均 匀薄 片 的 质 心D由重庆大学高等数学（工学类）课程试卷第 1 页 共 1 页重庆大学2014 版试卷标准格式2,ypx0,0,xxy所围成. 难度等级 :2;知识点:二重积分的应用分析: 由平面薄片质心公式 ,分别计算即可解: 令密度为1.因为区域
