导数应用及积分全攻略

《导数应用及积分全攻略》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数应用及积分全攻略（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、导数应用及积分全攻略 河南省三门峡市卢氏一高数学组（472200）赵建文 综观近年来的高考试卷，利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题、解决实际优 化问题和求积分是考查的重点和热点. 为帮助同学们全面掌握导数的应用和求积分，本文 对导数应用和求积分相关考点作以解读，对相关解题规律作以总结. 【考点及要求考点及要求】 1.了解函数单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间 （其中多项式函数一般不超过三次）. 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值 （其中多项式函数一般不超过三次） ，会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函

2、数一般不超过三次）. 3.会应导数解决某些实际问题. 4.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，了解微积分基本 定理的含义，会应用微积分基本定理求积分. 【考点归纳分析考点归纳分析】 考点考点 1：函数的单调性问题：函数的单调性问题 利用导数研究函数的函数的单调性问题，有三类题型：（1）求函数的单调区间； （2）已知函数的单调性求函数参数的范围问题；（3）通过研究函数的单调性研究函数的 图像和极值、最值及方程解得个数问题，可以为小题，也可为解答题，小题中档以下难度 题，大题为中档题.例例 1（2009 安徽理 19）已知函数=，0，讨论的单调性.( )f x2(2ln

3、)xaxxa( )f x审题要津：本题是含参数的单调性问题，利用导数求单调区间.解：解： 的定义域为(0，+)，=.( )f x( )fx221a xx222xax x设=，二次方程=0 的判别式=，( )g x22xax( )g x28a 当0 即 0时，对一切0 都有0，此时是(0，+)上的单a2 2x( )fx( )f x调增函数;当=0 即=时，仅对=有=0，对其余的0 都有0，此时a2 2x2( )fxx( )fx是(0，+)上的单调增函数;( )f x当0 即时，方程=0 有两个不同的实根=，=a2 2( )g x1x28 2aa2x，028 2aa1x2xx1(0,)x1x（，）

4、1x2x2x（，+2x）( )fx00( )f x单调递增极大单调递减极小单调递增此时的单调递增区间为（0，） ， （，+） ，单调递减区间( )f x28 2aa28 2aa为（，）.28 2aa28 2aa【点评点评】当函数含参数时，求单调区间注意分类讨论. 策略指导 对函数单调性问题，常有两类问题：（1）求单调区间问题，先求函数的定义域，在求导函 数，解导数大于 0 的不等式，得到区间为增区间，解导数小于 0 得到的区间为减区间，注 意单调区间一定要写出区间形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（减）区间有多个， 一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明增（减）区间是谁，若题中

5、含参 数注意分类讨论；（2）已知在某个区间上的单调性求参数问题，先求导函数，将其转化为 导函数在这个区间上大于（增函数） （小于（减函数） ）0 恒成立问题，通过函数方法或参 变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等 号的情况加上，否则不加. 考点考点 2：函数极值问题：函数极值问题 函数的极值问题考查形式灵活多样，常与函数的最值、参数问题、方程解得个数问题、 不等式证明、实际问题等相结合，考查求函数极值、已知极值求参数、应用函数图像解方 程个数问题、求最值及利用最值证明不等式，既有小题又有大题.例例 2（2009 天津卷理 20）已知函数=其中( )f

6、x22(23 )(),xxaxaa exRaR（1）当时，求曲线在点处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 0a y( )f x(1,(1)f（2）当时，求函数的单调区间与极值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 3a ( )f x审题要津：按求在某点切线的方法求切线，通过解导数大于（小于）0 的不等式求单调区 间,因含参数，要分类讨论.解：解：（I）.3) 1 ( )2()( )(022efexxxfexxfaxx，故，时，当.3)1 (, 1 ()(efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线 （II）= . ( )fx22(2)24.xxaxaa e令=0，解得=或=，

7、由知( )fxx2ax2aa2 322.aa以下分两种情况讨论。（1），则.当变化时，、的变化情况如下表：a若32a22ax( )fx( )f xxa2，a222aa，2a ，2a+00+极大值极小值函数增区间为，减区间为，( )f x(2 )a ，(2)a，( 22)aa，函数在处取极大值= . ( )f x2xa ( 2 )fa23.aae函数在处取极小值=( )f x2xa(2)f a2(43 ).aa e（2），则，当变化时，、的变化情况如下表：a若32a22ax( )fx( )f xx2a，2aaa22 ，a2，a2+00+极大值极小值增区间为，减区间为，( )f x(2)a，( 2

8、)a，(22 )aa，函数在处取极大值= . ( )f x2xa(2)f a2(43 ).aa e函数处取极小值= ( )f x2xa ( 2 )fa23.aae【点评点评】本题考查了利用导数求切线方程、求极值及分类讨论思想，注意求过某点的切线 与在某点的切线不同，含参数要分类讨论. 策略指导 对极值问题，有三类题型， （1）求函数的极值，先求导函数，令导函数为 0，求出导函数 为 0 时，方程的根和导数不存在的点，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增 由减，则在这一点取值极大值，若左减右增，则在这一点去极小值，要说明在哪一点去极 大（小）值；（2）已知极值，求参数，先求导，则利用可导

9、函数在极值点的导数为 0，列 出关于参数方程，求出参数，注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为 0 的必要 不充分条件，故需将参数代入检验在给点的是否去极值；（3）已知三次多项式函数有极值 求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有解，判别式大于 0，求出参数的 范围. 考点考点 3：函数最值问题：函数最值问题 函数的最值问题考查形式比较灵活，常与极值、值域、不等式证明、恒成立问题结合， 考查利用导数处理最值问题、不等式证明、处理恒成立问题能力，可以是小题，也可能是 解答题，小题是容易题，解答题为中档以上难度题.例例 3 (2009 湖南卷理 8)设函数在（，+）内有定义。对于给

10、定的正数 K，( )yf x定义函数，取函数=，若对任意的( ),( )( ),( )kf xf xKfxK f xK( )f x2xxe，恒有=，则 ( )(,)x ( )kfx( )f xAK 的最大值为 2 B. K 的最小值为 2 CK 的最大值为 1 D. K 的最小值为 1 审题要津：利用导数先求出函数最值，从而得到 K 的范围，易求出 K 最小值.解：解：由=0 知=0，所以（， ）时，0，当（0，( )fx1xe xx( )fxx时，0，所以=1，即的值域是（，而要使)( )fxmax( )f x(0)f( )f x1=在 R 上恒成立，结合条件分别取不同的 K 值，可得 D

11、符合，此时=( )kfx( )f x( )kfx.故选 D 项.( )f x【点评点评】注意极值与最值的区别与联系. 策略指导 函数最问题，有两类， （1）对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端 点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用 导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；（2）对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题或，通过参变分离转化为不等式（）( )f x（是自变量，是参数）恒成立问题，（） ，转化为求( )g axa( )g amax( )f xmin( )f x函数的最值问题，注意函数最值的区别于联

12、系. 考点考点 4：实际优化问题：实际优化问题实际优化问题，即求最值或求去最值条件的实际应用题，背景灵活多样，主要包括用 料最省、费用最低、损失最小、方案最佳、收益最大等问题，常将其转化为函数或数列的 最值问题，再用导数或基本不等式或函数性质求解，可以是小题，也可以是解答题，难度 为中档难度题. 例例 4(2009 山东卷理 21）两县城 A 和 B 相距 20Km，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧上选择一点 C 建造垃圾理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离AB有关，对城 A 和城 B 的总影响度为对城 A 与对城 B 的影响度之和.记 C 点到城 A 的距离x，建在 C 处的

13、垃圾处理厂对城 B 的影响度为，统计调查表明；垃圾处理厂对城 A 的kmy影响度与所选地点到城 B 的平方成反比，比例系数为 4；城 B 的影响度与所选地点到城 B的距离的平方成反比，比例系数为 K，当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城 A 和城ABB）总影响度为 0.065. （）将表示成的函数；yx（）讨论（）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的AB垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点城 A 的距离；若不存在， 说明理由. 审题要津：先根据题中条件和题意用待定系数法求出函数解析式，再利用导数求出函数最 值.解：解：:（1）如图,由题意知 ACBC,=,

14、 =(),2BC2400xy224 400k xx020x其中当=时，=0.065,所以=9x10 2yk所表示成的函数为=();yxy224 400k xx020x（2）求导得,=,令=0，得=y32289 ( 2 ) (400)x xx 422322188(400) (400)xx xx y418x,解得=，当 0时, 0，所以函数为单调减函数,228(400)xx4 10x4 10y当20 时，0 所以函数为单调增函数.4 10xy当=时, 即当 C 点到城 A 的距离为时, 函数=（x4 104 10y224 400k xx ）有最小值.020x 【点评点评】不能忽视函数的定义域，本题

15、也可用换元法和均值不等式求最值. 策略指导 对实际优化问题，要认真审题，要弄清是哪一类最优化问题，涉及哪些量及这些量间 的关系，哪些量是已知的，哪些量是未知的，设出相关量，根据题意，列出关系式，注意 根据变量的实际意义和相互关系确定变量的取值范围，将实际问题转化为数学最优化问题， 再根据转化所得的数学问题类型，从导数法或基本不等式法或函数性质法或线性规划法中 选择合适求解，并检验所得结果是否适合数学模型和符合实际问题要求，从而对原问题作 出合乎实际的回答. 考点考点 5 导数综合应用导数综合应用 导数的综合应用，考查形式灵活多样，常考查利用导数求曲线的切线、求最值、证明 不等式、研究方程解得个数、恒成立、参数等问题，是高考考查的重点内容，是高考中的 难度较大的题目.例例 5（2009 全国卷理）设函数=有两个极值点、且，( )f x2ln(1)xax1x2x1x2x（I）求的取值范围，并讨论的单调性； （II）证明：.a( )f x2()