《新课标高三数学第一轮复习单元讲座第30讲 数列求和及数列实际问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新课标高三数学第一轮复习单元讲座第30讲 数列求和及数列实际问题（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 12 页普通高中课程标准实验教科书数学 人教版高三新高三新数学数学第一轮复习教案（讲座第一轮复习教案（讲座 30）数列求和及数列实际数列求和及数列实际问题问题一课标要求：一课标要求： 1探索并掌握一些基本的数列求前 n 项和的方法； 2能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、 等比数列知识解决相应的实际问题。 二命题走向二命题走向 数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，一般情况下都是出一道 解答题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆 推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法
2、，这些题 目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，它们都属于中、高档题目。有关命题趋势： 1数列是一种特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具，三者 的综合题是对基础和能力的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是高 考的重点； 2数列推理题是将继续成为数列命题的一个亮点，这是由于此类题目能突出考察 学生的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度； 3数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析几何的结合等； 4有关数列的应用问题也一直备受关注。 预测 2007 年高考对本将的考察为： 1可能为一道考察关于数列的推导能力或解决生产、生活中
3、的实际问题的解答题；2也可能为一道知识交汇题是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题上等联 系的综合题，以及数列、数学归纳法等有机结合。 三要点精讲三要点精讲 1数列求通项与和（1）数列前 n 项和 Sn与通项 an的关系式：an= 。 11 sssnn 12 nn（2）求通项常用方法 作新数列法。作等差数列与等比数列； 累差叠加法。最基本的形式是：an=(anan1)+(an1+an2)+(a2a1)+a1； 归纳、猜想法。 （3）数列前 n 项和第 2 页 共 12 页重要公式：1+2+n=n(n+1)；2112+22+n2=n(n+1)(2n+1)；6113+23+n3=(1+2+n)2
4、=n2(n+1)2；41等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd； 等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn； 裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即 an=f(n+1)f(n)，然后累加抵消掉中间的 许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂 项，如：、=、nn！)11(1 )(1 CAnBAnBCCAnBAnan) 1(1 nnn1 11 n=(n+1)!n!、Cn1r1=CnrCn1r、=等。)!1( nn !1 n)!1(1 n错项相消法 对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前 n 项和，常用错项相消法。, 其中是等差数
5、列， 是等比数列，记nnncba nb nc，则，nnnnncbcbcbcbS1122111 211nnnnnqSbcbcb c并项求和 把数列的某些项放在一起先求和，然后再求 Sn。 数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 通项分解法：nnncba2递归数列 数列的连续若干项满足的等量关系 an+k=f(an+k1,an+k2,an)称为数列的递归关系。 由递归关系及 k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由 an+1=2an+1，及a1=1，确定的数列即为递归数列。12n递归数列的通项的求法一般说来有以下几种： （1）归纳、猜想、数学归纳法证明。 （2）迭代法。
6、（3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。 （4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。 四典例解析四典例解析第 3 页 共 12 页题型 1：裂项求和例 1已知数列为等差数列，且公差不为 0，首项也不为 0，求和： na。 niiiaa111解析：首先考虑，则= niiiaa111 niiiaad11)11(1 niiiaa111。1111)11(1nnaan aad点评：已知数列为等差数列，且公差不为 0，首项也不为 0，下列求和 na也可用裂项求和法。11111nn iiiiiiaa daa例 2求。)( , 32114321132112111*Nn n LL解析
7、：，) 1(2 211 kkkakQ) 1n(n1 321 211 2Sn头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 1211121113121211 2 nnnnn点评：裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单一些。 题型 2：错位相减法 例 3设 a 为常数，求数列 a，2a2，3a3，nan，的前 n 项和。 解析：若 a=0 时，Sn=0；若 a=1，则 Sn=1+2+3+n=；) 1n(n21若 a1，a0 时，Sn-aSn=a（1+a+an-1-nan） ，Sn=。naa ) 1n(1 )a1 (a1nn
8、 2第 4 页 共 12 页例 4已知，数列是首项为 a，公比也为 a 的等比数列，令1, 0aa na，求数列的前项和。)(lgNnaabnnn nbnnS解析：，,lgnn nnaa bn aaQ232341(23)lg(23)lgn nn nSaaanaaaSaaanaaLL -得：，anaaaaSann nlg)()1 (12L头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头n nananaaaS)1 (1)1 (lg2点评：设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和 na nbnnban求解，均可用错位相减法。
9、nS题型 3：倒序相加例 5求。SCCnCnnnnn36312解析：。 SCCCnCnnnnnn0363012又。 SnCnCCCnnn nn nn33130110()所以。Snnn321点评：Sn表示从第一项依次到第 n 项的和，然后又将 Sn表示成第 n 项依次反序到 第一项的和，将所得两式相加，由此得到 Sn的一种求和方法。例 6设数列是公差为，且首项为的等差数列， nadda 0求和：n nnnnnCaCaCaSL1 10 01解析：因为，n nnnnnCaCaCaSL1 10 01，0 01 11nn nnn nnnCaCaCaS Ln nnnnnCaCaCa01 10L01 101
10、102()()()n nnnnnnnSaa CaaCaa CL第 5 页 共 12 页01 00()()()2nn nnnnnaaCCCaaL。1 10() 2nnnSaa 点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列的前项和， nannS12) 1(nn是否存在等差数列使得对一切自然数 n 都成立。 nbn nnnnnCbCbCbaL2 21 1题型 4：其他方法 例 7求数列 1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，前 n 项和。解析：本题实质是求一个奇数列的和。在该数列的前 n 项中共有个奇数，故。1212nn n ()Sn nn n nnn ()() ()1 21 11 212
11、21 422例 8求数列 1，3，32，3n的各项的和。1 31 321 3n解析：其和为(133n)()1 31 321 3n=(3n13-n)。3121321nn1 2题型 5：数列综合问题例 9 （ 2006 年浙江卷）已知函数x3+x2，数列 | xn | （xn 0）的第一项( )f xx11，以后各项按如下方式取定：曲线 y在处的切线与经过( )f x11()nnxf x（0，0）和（xn，f（xn） ）两点的直线平行（如图） 。求证：当 n时：（I）；（II）。*N22 1132nnnnxxxx1211( )( )22nn nx解析：（I）因为2( )32 ,fxxx所以曲线在处
12、的切线斜率( )yf x11(,()nnxf x12 1132. nnnkxx 因为过和两点的直线斜率是(0,0)(,()nnxf x2,nnxx所以.22 1132nnnnxxxx（II）因为函数当时单调递增，2( )h xxx0x 第 6 页 共 12 页而22 1132nnnnxxxx2 1142nnxx2 11(2)2nnxx所以，即12nnxx11,2nnx x因此1121211( ).2nnn n nnxxxxxxx又因为 122 12(), nnnnxxxx 令则2,nnnyxx11.2nny y因为所以2 1112,yxx12 111( )( ).22nn nyy因此221(
13、),2n nnnxxx故1211( )( ).22nn nx点评：数列与解析几何问题结合在一块，数列的通项与线段的长度、点的坐标建立 起联系。例 10 （2006 年辽宁卷）已知,其中,0( ),nfxx 11( )( )(1)k k kfxfxf( ,)kn n kN设,。021222 01( )()().().()kn nnnknnF xC fxC f xC fxC fx1,1x (I) 写出；(II) 证明:对任意的,恒有(1)kf12,1,1x x 。1 12()()2(2)1nF xF xnn解析：(I)由已知推得,从而有；( )(1)n k kfxnkx(1)1kfnk(II) 证法 1:当时，11x 212(1)22(2)2()12( )(1).(1).21nnnkn kn nnnnF xxnC xnC xnkC xCx当 x0 时, ,所以在0,1上为增函数。( )0F x( )F x因函数为偶函数所以在1,0上为减函数，( )F x( )F x所以对任意的，12,1,1x x 12()()(1)(0)F xF xFF01211210(1)(0)(1).(1).2(1).(1).2kn nnnnnnnn k nnnnnFFCnCnCnkCCnCnCnkCCC1(1)()(1,2,31)n kn kn k nnnkk nnnkCnk CCnCCknQ
