高中数学《函数的应用举例》专题讲座

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1、选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库高中数学高中数学函数的应用举例函数的应用举例专题讲座专题讲座一、学习目标一、学习目标1、能运用所学的函数知识、方法解决一些简单的实际问题；2、培养阅读理解能力、建模能力、分析问题解决问题的能力和应用数学的意识。二、例题分析二、例题分析第一阶段第一阶段例例 1假设某商品靠广告销售的收入 R 与广告费 A 之间满足关系 ，那么广告效应为 。问如何取得最大广告效应？思路分析思路分析：题中条件 与所求解问题无关解解： 说明：说明：解应用题应避免背景的干扰，从复杂的背

2、景中提取必要的数学关系。例例 2有 m 部同样的机器一齐工作，需要 m 小时完成一项任务。(1)设由 x 部机器（ x 为不大于 m 的正整数）完成同一任务，求所需时间 y（小时）与机器的部数 x 的函数关系式；(2)画出所求函数当 m=4 时的图像。思路分析思路分析：本题实质可看作：己知机器的部数求所需时间 y。需要先求出每部机器单位时间内完成的工作量。解解：(1)一部机器一小时完成这项任务的 ， x 部机器一小时完成这项任务的 所以 x 部机器完成这项任务所需时间（小时）为 ，其中 x 为不大于 m 的正整数。 (3)当 m=4 时， ，x 为 1，2，3，4，对应的 y 值分别为 16，

3、8， ，4。这时函数的图像是四个点(1，16)、(2，8)、 、(4，4)，图形同学们自己作。例例 3某人开汽车以 60km/h 的度从 A 地到 150km 远处的 B，在 B 地停留 1 小时后，再以 50km/h 的速度返回 A 地，选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库把汽车离开 A 地的路程 x(km) 表示为时间 t(h)(从 A 地出发时开始）的函数，并画出函数的图像，再把车速 v(km/h)表示为时间 t(h)的函数，并画出函数和图像。思路分析思路分析：由题意， x 与 t 的在

4、三个不同的时间段有不同的关系，首先要算出这三个不同时间段。解：解：汽车离开 A 地的距离 x（km)与时间 t(h)之间的关系式是：它的图像如图 2-28(1)所示速度 v(km/h)与时间 th 的函数关系式是:它的图像如图 2-28(2)所示。说明：说明：本题为分段函数问题注意分类求解。第二阶段第二阶段例例 4某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒，则不同的选购方式共有（ ） A、5 种 B、 6 种 C、 7 种 D、8 种思路分析思路分析：题设共有五个条件，用字母分别表示有关量，将

5、条件数式化，转化为不等式的有关问题。解：解： 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库讨论知， （3，2） ， （3，3） ， （3，4） ， （4，2） ， （4，3） ， （5，2） ， （6，2）是该不等式符合条件的所有的解，故共有 7 故选购方式，选 C。说明：说明：本题重在培养建模能力，以及分类讨论思想。例例 5某公司拟投资 100 万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率 10%，按单利计算，5 年后收回本金和利息；另一种是年利率 9%，按每年复利一次计算，5 年后收回本金和利息，

6、哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资 5 年可多得利息多少元？思路分析思路分析：这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题，可先按单利和复利计算 5 年后的本息和分别是多少，再通过比较作答。解答解答：本金 100 万元，年利率 10%，按单利计算，5 年后的本息和是100（1+10%5）=150（万元）本金 100 万元，年利率 9%，按每年复利一次计算，5 年后的本息和是 100（1+9%）5=153.86（万元） 由此可见，按年利率 9%每年复利一次计算的要比年利率 10%单利计算的更有利，5 年后多得利息 3.86 万元。例例 61992 年底世界人口达到 54.8 亿，若人口的年平均

7、增长率为 x%，2000 年底世界人口数为 y(亿） ，那么y 与 x 的函数关系式是_思路分析思路分析：该题与年份有关，可用归纳的方法求解。解解：因年平均增长率为 x%，1993 年底人口数为 54.8(1+x%)，1994 年底人口数为 54.8(1+x%)2，2000 年底人口数则为 54.8(1+x%)8应填：y=54.8(1+x%)8第三阶段第三阶段例例 7某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为 x 元/千克，政府补贴为 t 元/千克。根据市场调查，当 8x14 时，淡水鱼的市场日供应量 P 千克与市场日需求量 Q 千

8、克近似地满足关系： P=1000(x+t8)(x8，t0),当 P=Q 时的市场价格叫做市场平衡价格。(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数并求出函数的定义域；(2)为使市场平衡价格不高于每千克 10 元，政府补贴至少为每千克多少元？思路分析思路分析：本题提供的基本关系比较清晰，可直接进行数式化。选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库解解：化简得：5x2+(8t80)x+(4t264t+280)=0当判别式=80016t20，即 时，可得 当0，t0,8x14 得不等式组： 或 解不等式组得

9、，不等式组无解故所求的函数关系式为：，定义域为 。(2)为使 t2+4t50，解得 t1 或 t5。t0，t1，从而政府补贴至少为每千克 1 元。 说明：说明：实际问题的定义域由所有相关的约束条件求解。例例 8某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，己知总收益满足函数：，其中 x 是仪器的月产量。(1)将利润表示为月产量的函数 f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）思路分析思路分析：由己知收益=总成本+利润，知道利润=总收益总成本。由于 R(x)是分段函数，所以 f(x)也分段求出。分别求

10、出 f(x)在各段中的最大值，通过比较，就能确定 f(x)的最大值。解答：解答：(1)设月产量为 x 台，则总成本为 20000+100x，从而选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库(2)当 0x400 时， ， 当 x=300 时，有最大值 25000；当 x400 时，f(x)=60000100x 是减函数，f(x)6000010040025000。当 x=300 时，f(x)的最大值为 25000。答：每月生产 300 台仪器时，利润最大，最大利润为 25000 元。例例 9有甲、乙两种商

11、品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是 P 和 Q（万元） ，它们与投入资金 x (万元）的关系，有经验公式： 今有 3 万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？思路分析思路分析：首先应根据题意建立利润与投入资金之间的函数关系，求得函数解析式，然后再化为求函数最大值的问题。解答解答： 设对甲种商品投资 x 万元，则乙种商品投资为（3x)万元，总利润 y 万元，据题意有：令 ，则 x=3t2， 。所以 当 时，ymax=1.05，此时 x=0.75，3x=2.25。由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分

12、别为 0.75 万元和 2.25 万元，获得总利润为 1.05 万元。三、练习题：三、练习题：1、某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 .若每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（ ）选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库A、100 台 B、120 台 C、150 台 D、180 台2、用长度为 24m 的材料围一个矩形家禽养殖场，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（ ）A、 3 B、 4 C、 6 D、 123

13、、按复利计算储蓄利率，存入银行 a 万元，年利率了 b%，x 年后支取，本息和应为( ）A、a(1+b%)x-1万元 B、a(1+b%)x万元 C、a(1+b%)x+1万元 D、a1+(b%)x万元4、我国工农业总产值从 1980 年至 2000 年的 20 年间翻两番，设平均每年的增长率为 x，则（ ）A. (1+x)19=4 B. (1+x)20=2 C. (1+x)20=3 D. (1+x)20=4.5、某商品降价 10%后，欲恢复原价，则应提价（ ）A、10% B、90% C、11% 6、有一批材料可以围成 36m 的围墙，如图，用此材料在一边靠墙的地方，围在一块矩形场地且中间用同样材

14、料隔成两块矩形，试求所围矩形面积的最大值是_。7、摆的周期 T(秒)与摆线长 L(米)的平方根成正比。设长为 L 米的摆的周期是 2 秒，做一个周期为 3 秒的摆，摆的线长是_。8、建筑一个容积为 8m2，深为 2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米为 120 元和 80 元，那么水池的最低造价为_。9、一种新型电子产品投产，计划两年后使成本降低 36%，那么平均每年应降低成本（ ）A、18% B、20% C、24% D、36%10、某工厂同时生产两种成本不同的产品 A 和 B，由于市场销售情况发生变化，A 产品连续两次提价 20%，而B 产品连续两次分别降低 20%，结果 A、

15、B 两产品均以每件 23.04 元的价格售出，则该厂此时同时售出A、B 产品各 1 件时，比原价格售出时，它的盈亏情况是（ ）A、不亏不盈 B、亏 5.92 元 C、盈 5.92 元 D、盈 28.96 元11、某商店购进一批单价为 50 元的商品，若按每件 60 元销售，一个月能卖出 600 件，为了获得更大的利润，商店准备提高价格，若每件销售价提高 1 元，销售量将减少 30 件。问：如何提高销售价格能获得最大的利润？一个月的最大利润是多少?12、一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为 40cm 和 60cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问：怎样剪，才能使剩下的残料最少?四、参考答案四、参考答案：选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库选校网 专业大全 历年分