抢渡长江论文(8.17-8.19)

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1、抢渡长江论文抢渡长江论文摘要摘要本文以“抢渡长江”为主题，旨在解决游泳者如何寻找最佳的竞渡路线。问题一问题一：游泳者的速度和水流速度在游泳过程中大小、方向均是不变的，根据物理学中速度合成可知，合速度也是不变的。利用直线运动时间最短原理、矢量合成与分解原理（正交分解）和 matlab 软件，我们计算出 2002 年游泳者中第一名游泳者以的速度沿与水流方向成的路线到达终点。当游sm/54. 145.117泳者以的速度前进，并且到达终点时，其所用原理同上述原理相似，求sm/5 . 1得所用时间为。s46.910问题二问题二：游泳者速度始终垂直于江岸，则，设渡江所需时间为 t，则度90t 完全取决于江

2、面宽度，而游泳者能否到达终点则取决于起点与终点间的水平距离。可知，当游泳者速度始终垂直于江岸，且江面宽度为定值时，越小，1h2h水的流速越大，对游泳者的速度要求越高。sv问题三问题三：本小题讨论的是水流速度随着游泳者离岸边的距离分成了三段的情况，但是在每一段中水流速度是恒定不变的，所以在问题三中我们只要利用 matlab和 lingo 软件计算出每一段宽度中游泳者所用的最短时间及其相对应的路线，然后叠加所得即为游泳者所应选择的最佳路线和最理想成绩。问题四问题四：本小题讨论的是流速随着游泳者离岸边距离连续变化的情况，利用微分原理将长江的宽度分成一个个小段，然后用每一小段的中间位置的流速代替该段连

3、续变化的流速。并求出每一小段的游泳者所用的时间和路线，然后将每一小段的时间相加近似为所求的渡江最短时间，将每一小段的路线连接起来即为竞渡最佳路线。关键词：抢渡长江关键词：抢渡长江 矢量合成与分解矢量合成与分解 mathlab 软件软件 lingo 软件软件 微分微分 最佳路线最佳路线一、问题重述一、问题重述1934 年 9 月 9 日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约 5000 米。有 44 人参加横渡，40 人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜” 。2002 年 5 月 1

4、 日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约 1160 米。据报载，当日的平均水温 16.8, 江水的平均流速为 1.89米/秒。参赛的国内外选手共 186 人（其中专业人员将近一半） ，仅 34 人到达终点，第一名的成绩为 14 分 8 秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000 米。 回答以下问题:1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。试说明 200

5、2 年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在 1.5 米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。2. 在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么 1934 年 和 2002 年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。3. 若流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y轴正向) ：米米秒，米米米秒，米米米秒，米1160960/47. 1960200/11. 22000/47. 1)(yyyyv游泳者的速度大小（1

6、.5 米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。4. 若流速沿离岸边距离为连续分布, 例如 1160960)1160(20028. 296020028. 2200020028. 2)(yyyyyyv，或你们认为合适的连续分布，如何处理这个问题。5. 用普通人能懂的语言，给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文。6. 你们的模型还可能有什么其他的应用？二、问题分析二、问题分析问题一：问题一： 游泳者速度和方向不变，根据物理中速度合成可知，合速度也是保持不变 的。根据两点之间直线最短原理以及速度分解原理，我们将合速度的方向与起 始点之间的线段保持在同一条直线上。 问题二

7、：问题二：当游泳者始终以和岸边垂直的方向游时，游泳者能够以该速度用最少的时间到达对岸，但能否到达指定地点取决于起点与终点间的水平距离。通过计算当起点与终点间的水平距离为时，游泳者的最小速度为，所以m1000sm/192. 2速度为的游泳者不能到达终点。在这两次比赛中，到岸比例如此悬殊的sm/5 . 1最关键原因是起点到终点的水平距离有很大的差距，导致对游泳者的最小游泳速度的要求不同。问题三问题三： 将江面分成三个区域，每个区域内的流速不变，游泳速度的方向也不改变， 在区域内部的游泳路径是直线。要想得到最短时间，必须综合考虑三个区域的 时间之和作为目标函数进行优化。由于区域 1 和区域 3 对称

8、，可以合并考虑， 简化为两个区域的综合优化问题。 问题四：问题四：利用微分思想，将连续问题离散化。我们将0,200分为 n 等分，每个区域的宽度为常数，在小区间内，将流速看成常数，取小区间中nd200iiyy,1间的流速作为代表，设小区间内方向角也不变，在各小区间内的游泳轨迹为直 线。在江中间一段，采取问题三中的方法解决。最后 200 米与前 200 米对称。 三个区域合起来考虑，使渡江总时间最少。 问题五问题五： 应用该模型，根据上述问题给予游泳者以实用的游泳建议，并写一篇主题 策略文章。 问题六：问题六：发散思维，展开想象，联系实际，写出应用领域。三、三、模型假设模型假设1）.假设 193

9、4 年，2002 年的水温，水流，水深都基本不变；2）.运动员身体健康，都拥有足够横渡长江的体力，在水流不变的游泳过程中速度大小和方向均能保持不变；3）.假设长江两岸平行垂直距离为，江面没有任何障碍物；m11604）.前三问不变；sv四、符号说明四、符号说明: :游泳者速度与水速的夹角 ：游泳者的速度 rv：水的速度sv：水流速度和游泳者速度的合速度hv:合速度与水流速度的夹角 :江面宽度 1160 米1h: 是终点与起点的水平距离 1000 米2h，：每一段游泳者所游角度123，：每一段游泳者所通过水平距离1x2x3x，：每一段游泳者所通过竖直距离1y2y3y五、模型的建立与求解五、模型的建

10、立与求解问题问题 1-11-1: 第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向，假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，竞渡区域两岸为平行直线，且竞渡区域每点的流速均为。 sm/89. 1先判断角的类型，第一名游泳者所用时间，要大于st848 8 14svhs1 .52989. 110002所以角 为钝角，作出如下图（一）图（一）图（一）对进行正交分解，得到：rv竖直方向的分速度：，sinrv水平方向的分速度：cosrv根据：速度 时间=路程，可得：1160m1000m长江水流方向长江水流方向终点终点: 汉阳南岸咀汉阳南岸咀起点起点: 武昌汉阳门武昌汉阳门（1） 21 )cos(

11、,sin htvvhtvrsr 将，代入（1）式，由 matlab 软件smvs/89. 1mh11601mh10002求得结果(程序见附录 1) ：srad /54. 1也就是，46.117smvr/542. 1再根据图（一） ，由正切定理，得 ,tan21 hh利用 matlab 软件求得（程序见附录二）： 24.49180arctan21hh所以他按与水速方向成的路线前进。24.49问题问题 1-21-2：试为一个速度能保持在 1.5 米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。仍根据上题对速度正交分解的原理，列出：（2） 2111 cossinhtvvhtvrsr 将，代入（2）式， （程

12、序见smvr/5 . 1mh11601mh10002附录三） ，得到：，也就是，srad /13. 285.121st46.9101，也就是，。 rad/s73. 262.156st63.19481从最优解角度讲，游泳者最好选择与水流方向夹角为，85.121所用时间大约是 15 分 10 秒。问题问题 2-12-1：游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？根据游泳者垂直方向游泳，即，水速已知，且水平距离 90恒定，所以: smvhh thvsr/19. 2211图（二）已知 1500 米世界纪录约为 14 分 31 秒，合，很显然，sm/72. 1要想达到如此高的速度很难，连

13、专业运动员都很难做到。在这两次比赛中，到岸比例如此悬殊的最关键原因是起点到终点的水平那么游泳者要到达对岸，速度必须为 ，而第一问中所给sm/19. 2速度为，,因此游泳者不能成功到达终点。sm/5 . 1smsm/5 . 1/19. 2问题问题 2-22-2：1934 年 和 2002 年能游到终点的人数的百分比有如此泳种世界纪录保持者400m 自由泳3 分 40 秒 07彼得曼800m 自由泳7 分 32 秒 12张琳1500m 自由泳14 分 31 秒 02孙杨大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件？1934 年，游泳距离是米，44 人参赛有 40 人完成， 50003h完成者所占百分

14、比为 90.9%，所以假设有最小速度，根据相fv似三角形，可得：，31 hh vvsfsmvf/43848. 0而 2002 年 186 人仅 34 人完成，成功者所占百分比为18.3%，根据相似三角形可以得到：, 2 22 11 hhh vvsfsmvf/43. 1选手条件：选手的速度必须要达到 1.43m/s，并且要选择正确的速度方向。，问题问题 3 3：试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。江水在不同流域中的的水流速度如下：， 米米秒，米米米秒，米米米秒，米1160960/47. 1960200/11. 22000/47. 1)(yyyyv由此可以把游泳者游泳路线分成三段：0 到 20

15、0 米为第一段，用时为 ；200 到 960 米为第二段，用时为 ；960 到 1160 米为第三1t2t段，用时为 ，总时间为 t。3t游泳者的游泳路程可分为水平方向的距离，竖直方向的距离；ixiy将游泳者速度进行，得 竖直方向分解：sinrv水平方向分解：cosrv游泳者游泳路程水平方向的距离=， ixiirtyvv)(cos竖直方向的距离= iyiirtvsin而且水平方向总距离为 1000m，可以得到 ：100031 iix由此我们建立模型如下：目标函数： ；321mintttt约束条件： iiirytvsiniiirxtyvv)(cos100031 iix)3 , 2 , 1( ,2ii由 lingo 软件运行结果（程序见附录 4），得：总用时t= 904.02s（15分4秒），srad /2 . 231，也就是，srad /06. 221 .12631aa08.118a283.9631 xx。写出分界坐标（0,0），（96.83,200），33.8062x(903.17,991.27)，(1000,1160) 由两点式得到：y= , )10001660.903(,39.9051 . 2)1660.90383405.96(