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1、成才之路 数学 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 人教 选修 2 导数及其应用 第一章 研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法 从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述比如庄子一书中，记有 “ 一尺之棰，日取其半，万 世不竭 ” 三国时期的刘徽在他的割圆术中提到 “ 割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣 ” 这些都是朴素的、也是
2、很典型的极限思想 归纳起来，微积分大约解决四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题第二类问题是求曲线的切线的问题第三类问题是求函数的最大值和最小值问题第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积 数 第 1课时 函数的平均变化率 第一章 课堂典例探究 2 课 时 作 业 3 课前自主预习 1 课前自主预习 你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到 “ 六龙过万壑 ” 的雄奇，感受到 “ 会当凌绝顶，一览众山小 ” 的豪迈当爬到 “ 十八盘 ” 时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？ 你能从数学的角度来反映山坡的平缓和陡峭程度吗？ 1( P
3、2(直线斜率是什么？ 2平均速度的定义是什么？ 答案： 1. 当 x 1 x 2 时，直线 P 1 P 2 的斜率 k y 1 y 2x 1 x 2；当 x 1 x 2时，直线的斜率不存在 2 平均速度：指物体的运动过程中的路程与时间的比值 . 一、函数的平均变化率 一般地，已知函数 y f ( x ) ， x y f ( f ( f ( x ) f ( ，则当 x 0 时，商f x f x y x( * ) 称作函数 y f ( x )在区间 x ( x 0 ) ( 或 x ， ( x 0)之间的平均速度不大于 5，则 _ 答案 (0,1 解析 质点在 2 到 2 v 2 t 2 1 22
4、1 t4 t t 2 t 4 t . 又 v 5 ，即 4 t 5 ，所以 t 1. 又 t 0 ， 所以 0 , 1 课堂典例探究 函数的平均变化率 求函数 y f ( x ) 1 1 , 1 x 内的平均变化率 分析 解决此问题的关键是求函数的增量 y . 解析 y f (1 x ) f ( 1 ) 11 x 1 1 1 x1 1 x 1 1 x 1 x x 1 1 x 1 x. 函数 y 1 1 , 1 x 内的平均变化率为 y x 1 1 1 x 1 x. 方法总结 解答过程中，要正确地运用公式，利用分子有理化来简化从结果可以得到，当 x 取不同的值时，函数的平均变化率也不同平均变化率
5、是曲线陡峭程度的 “ 数量化 ” ，或者说曲线的陡峭程度是平均变化率的 “ 视觉化 ” 已知函数 f ( x ) x 的图象上一点 ( 1 ， 2) 及邻近一点 ( 1 x ， 2 y ) ，则 y ) A 3 B 3 x ( x )2C 3 ( x )2D 3 x 答案 D 解析 y f ( 1 x ) f ( 1) ( 1 x )2 ( 1 x ) ( 2) ( x )2 3 x ， y x x 2 3 x x x 3. 故选 D. 求运动物体的平均速度 以初速度 v 0 竖直上抛一物体的位移 ( 单位： m) 与时间 ( 单位： s) 的关系为： s ( t ) v 0 t12 ( 1
6、) 求物体从时刻 t 0 到时刻 t 0 v ； ( 2 ) 求物体在 t 1 0 s 到 1 0 . 4 s 这段时间的平均速度 分析 此题关键在于求出 s s ( t 0 t ) s ( t 0 ) ，再求 v s t . 解析 ( 1 ) 由 t，则改变量为 t . s s ( t ) s ( t ) 12g ( t )2 2 t t12g ( t )2. v s t t t12g t 2 t 2g t . ( 2 ) 当 t 0 10s ， t 0 .4 s ，则物体在 t 1 0 s 到 1 0 .4 s 这段时间的平均速度 v v 0 10 g 12 g 0 v 0 1 0 .2
7、g ( m / s) 方法总结 在这里平均速度就是一个平均变化率的问题因此，只有正确理解平均变化率的概念，才能正确研究与平均速度有关的问题 已知物体做自由落体运动的运动方程为 s 12g 为重力加速度 ) 求： ( 1 ) 物体在 t 0 到 t 0 ( 2 ) 物体在 t 1 1 0 s 到 t 2 1 0 . 1 s 这段时间内的平均速度 解析 ( 1 ) 当 t由 s 取得相应改变量为 s 12g ( t )212t12g ( t )2. 因此，在 体的平均速度为 v s tt12g t 2 t g2 t . ( 2 ) 当 10s ， t 0 . 1 s 时，在 t ) 这段时间内，物
8、体的平均速度为 v g10 12 0 . 1 1 0 . 0 5 g . 平均变化率的几何意义 过曲线 y f ( x ) x 3 上两点 P ( 1 , 1 ) 和 Q (1 x, 1 y ) 作曲线的割线，求出当 x 0 割线的斜率 分析 割线 斜率即为函数 f ( x ) 从 1 到 1 x 的平均变化率 y x . 解析 y f (1 x ) f ( 1 ) (1 x )3 1 3 x 3 ( x )2 ( x )3， 割线 斜率 y x x 3 3 x 2 3 x x ( x )2 3 x 3. 当 x 0 . 1 时，割线 斜率 k y x ( 0 . 1 )2 3 0 . 1 3
9、 3 . 3 1 . 方法总结 如图所示，函数 f ( x ) 的平均变化率的几何意义是：直线 斜率事实上： xBf f x1 y x. 根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率 求函数 f ( x ) x 3 在区间 x 0 ， x 0 x 上的平均变化率 错解 函数 f ( x ) x 上的平均变化率为f f x x x 3 x 3 x 2 3 x x 3 x 3 3 x ( x )2 3 3 x ( x )2. 辨析 在解答本题的过程中，易出现 y f ( x 0 ) f ( x 0 x ) ，从而使 y 致这种情况的原因是平均变化率的意义理解不清造成的 正解 函数 f ( x ) x 0 ， x 0 x 上的平均变化率为 f x 0 x f x 0 x x 0 x 3 x 3 x 3 x 0 x 2 x 3 x 3 3 x 0 x ( x )2. 函数的平均变化率平均变化率的定义平均变化率的几何意义平均速度的求法
