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1、成才之路 数学 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 人教 必修 2 立体几何初步 第一章 柱、圆锥、圆台和球 第一章 课堂典例讲练 2 易错疑难辨析 3 思想方法技巧 4 课 时 作 业 5 课前自主预习 1 课前自主预习 观察下列实物图 ， 你能说明由该实物图抽象出的几何体与多面体有何不同吗 ？ 圆锥 、 圆台可以分别看作以 _、_、 _所在的直线为旋转轴 ， 将其分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 ， 旋转轴叫做所围成几何体的 _；在轴上的这条边(或它的长度 )， 叫做这个几何体的 _；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的 _；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的 _， 无论
2、旋转到什么位置 ， 这条边都叫做 _ 矩形的一边 直角三角形的一条直角边 直角梯形中垂直于底边的腰 轴 高 底面 侧面 侧面的母线 2 (1)球可看作一个 _绕着它的 _旋转一周所形成的曲面围成的几何体 ， 形成的曲面叫做_， 形成球的半圆的圆心叫做 _；连接球面上一点和球心的线段叫做球的 _；连接球面上两点且经过球心的线段叫做球的 _；球面所围成的几何体叫做_ (2)球可以用表示它球心的字母来表示 (3)球面也可以看作空间中 _ _ (4)球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的 _；被不经过球心的平面截得的圆叫做球的 _ 半圆 直径所在直线 球面 球心 半径 直径 球 到一个定点的距离等于定长
3、的点的集合 大圆 小圆 (5)在球面上两点之间的最短距离就是 _ _， 这个弧长叫做球面距离 (6)球小圆的圆心 O， 球心 O， | d， 球小圆半径 r， 球半径为 R， 则 3 圆柱 、 圆锥 、 圆台和球等几何体都是由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体 ， 这类几何体叫做 _， 这条直线叫做旋转体的 _ 4 由柱 、 锥 、 台 、 球等基本几何体组合而成的几何体叫做 _ 经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度 旋转体 轴 组合体 答案 B 1. 一圆锥的母线长为 2 母线与轴夹角为 30 ，则圆锥的底面与轴截面面积之比为 ( ) A 2 3 B 3 C 3 D
4、以上均不对 解析 在轴截面中容易求得底面半径为 1 c m ，高为 3 所以底面面积为 ，轴截面面积为12 2 3 3 ，因此底面与轴截面面积之比为 3 ，故选 B. 2 下列说法不正确的是 ( ) A 圆柱的平行于轴的截面是矩形 B 圆锥的过轴的截面是等边三角形 C 圆台的平行于底面的截面是圆面 D 球的任意截面都是圆面 答案 B 解析 当圆锥的母线长与底面圆的直径不相等时 ， 过圆锥的轴的截面是等腰三角形 ， 但不是等边三角形 3 (2015福建八县一中高一期末测试 )用任意一个平面截一个几何体 ， 各个截面都是圆面 ， 则这个几何体一定是 ( ) A 圆柱 B 圆锥 C 球体 D 圆柱
5、、 圆锥 、 球的组合体 答案 C 解析 只有球体被任意一个平面所截 ， 截面是圆面 答案 63 圆台两底半径分别是 2 5 母线长是 3 10 则它的轴截面的面积为 _ 解析 由题设条件知， 圆台的高 h 3 10 2 5 2 2 9 ， 轴截面积 S 12 (4 10) 9 63. 5 用平面 截半径为 R 的球，截面到球心的距离为则截面圆面积为 _ 答案 34 R 2 解析 如图， O 为球心， 截面圆的直径，则 R ， 2， 2R ， 截面圆面积 S (32R )234 6 把一个圆锥截成圆台 ， 已知圆台的上 、 下底面半径的比是 1 4， 母线长为 10 求圆锥的母线长 解析 设圆
6、锥的母线长为 y 圆台上、下底面半径分别为 x c m 、 4 x c m ，作圆锥的轴截面如图所示，在 ， O A O A O A 即 ( y 10) y x 4 x ， y 403， 故圆锥的母线长为403 课堂典例讲练 直角三角形绕其一边旋转一周所形成的几何体是否一定是圆锥 分析 概念辨析题要紧扣定义 ， 抓准差别进行判断 ， 定义中要求以直角三角形的一条直角边所在直线为轴 解析 不一定 ， 当绕其直角边旋转时形成圆锥 ， 当绕其斜边旋转时形成同底的两个圆锥 旋转体的概念 如图 (1)所示的几何体是由如图 (2)所示的哪个平面图形绕虚线旋转一周得到的 ？ ( ) 答案 A 解析 由题意可
7、知选项 分析 先将圆柱展开为平面后 ， 两点间的距离最短 圆柱的结构特征及计算 边长为 5 正方形 H 是圆柱的轴截面，则从 E 点沿圆柱的侧面到相对顶点 G 的最短距离是 ( ) A 10 c m B 5 2 c m C 5 2 1 c m D 522 4 c m 答案 D 点评 求几何体的侧面上两点间的最短距离问题 ， 常常把侧面展开 ， 转化为平面几何问题处理 解析 圆柱的侧面展开图如图所示，展开后 E F 12 2 5252 ， E G 52522522 4 (c m ) 一个圆柱的侧面展开图是一个长为 8 宽为 4 求圆柱轴截面的面积 解析 如图 (1) ，设圆柱的底面半径为 r ，
8、则有 8 2 r ， r 4 . 轴截面面积为 2 r 4 8 4 32 如图 (2) ，设圆柱的底面半径为 r ，则有 4 2 r ， r 2， 轴截面的面积为 2 r 8 2 2 8 32 有一个半径为 5的半圆 ， 将它卷成一个圆锥的侧面 ， 求圆锥的高 分析 本题考查圆锥中基本量的计算和侧面展开 ， 求解的关键是抓住半圆弧长等于圆锥的底面周长这一点 圆锥的结构特征及计算 点评 在解决与侧面展开有关的折叠或展开问题时 ， 要抓住变化前的不变量以及变量之间的关系 解析 如图，由题知，半圆的半径等于圆锥的母线长，即 5. 半圆的弧长等于圆锥底面周长，设半径为 r ，则有 5 2 r . r
9、52， 高 h 525225 32. 即圆锥的高是5 32. 一个圆锥的高为 2， 母线与轴的夹角为 30 ， 求圆锥的母线长以及圆锥的轴截面的面积 解析 设圆锥的底面圆直径为 高， 母线，如图所示，则 30 t ， ta n 30 2 332 33， 2324 33. 而 S 122 2 2 334 33， 所以圆锥的母线长为4 33，它的轴截面面积为4 33. 圆台的母线长为 8， 母线与轴的夹角为 30 ， 下底面半径是上底面半径的 2倍 ， 求两底面面积和轴截面面积 圆台的结构特征及计算 解析 设圆台上底面半径为 r ，则下底面半径为 2 r 截面如图所示则 30 . 在 O 中 ，
10、0 2 r . 在 ， 2 4 r . 2 r ， 即 2 r 8 ， r 4. S 上 16 ， S 下 (2 r )2 4 64 . 过 A 作 A C C ， 则 A C O O ， O A ， C 为 中点 ， r 4 ， 在 A ， A 82 42 48 ， A C 4 3 . 则 S 梯形A 12(2 A O 2 A C 12 4 3 48 3 . 所以圆台上底面面积为 16 ， 下底面面积为 64 ， 轴截面面积为 48 3 . 点评 解决此类问题一般要画出圆台的轴截面 ， 把圆台还原成圆锥 ， 利用直角三角形和相似三角形 ， 解决圆台中的未知元素 将如图所示的直角梯形 求截得此
11、圆台的圆锥的高及母线长 解析 由题意易知，截得圆台的轴截面如图， 45 ， 1 ， 圆锥的高 3 ，又 3 ， 母线长 3 2 . 半径是 13 、 B、 并且12 试求圆心到经过这三点的截面的距离 分析 解决有关球的计算问题 ， 大都可以归结到球半径 ， 截面圆半径以及球心与截面的圆心为端点的线段所组成的直角三角形中处理 球的结构特征及计算 解析 设截面圆的圆心为 的球心为 O ，连接 外心，于是 33 12 4 3 (c m) 在直角 ，由勾股定理，得 132 4 3 2 1 1(c m ) ，所以球心到经过 A 、 B 、 C 三点的截面的距离为1 1 点评 由于 特殊性，过 A 、 B 、 C 三点的圆
