高中数学平面几何之直线与圆习题精选精解

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1、1平面解析几何初步：圆与直线一、选择题1、设 ， ，则 M 与 N、 与202011,MN20201199,PQP的大小关系为 ( )QA. B.,P,MNC. D.解：设点 、点 、点 ，则 M、 N 分别表示直线 AB、 AC(1,)A201(,)B201(,)C的斜率，BC 的方程为 ，点 A 在直线的下方， ，即 MN；yxABCK同理，得 。 答案选 B。 仔细体会题中 4个代数式的特点和“数形结合”的好PQ处2、已知两圆相交于点 ，两圆圆心都在直线 上，则 的(1,3)(,1)Am和 点 :0lxyccm值等于 ( )A-1 B2 C3 D0解：由题设得：点 关于直线 对称, ；,

2、 0cyx415ABlkmk线段 的中点 在直线 上， ，答案选 C。(1)23cc3、三边均为整数且最大边的长为 11 的三角形的个数为 ( )A.15 B.30 C.36 D.以上都不对解：设三角形的另外两边长为 x,y,则；注意“=”号，等于 11的边可以多于一条。01xy点 应在如右图所示区域内：(,)x当 x=1 时，y=11；当 x=2 时，y=10,11；当 x=3 时，y=9,10,11；当x=4 时，y=8,9,10,11；当 x=5 时，y=7,8,9,10,11。以上共有 15 个，x,y 对调又有 15 个。再加(6，6） ，(7，7） ，(8 ，8） ，(9 ，9）

3、，(10，10） 、(11， 11） ，共 36 个，答案选 C。4、设 ，则直线 与圆 的位置关系为 （ ）0m2()10m2xymA.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切解：圆心 到直线的距离为 ，圆半径 。(,)dr2 ，211()02mdr直线与圆的位置关系是相切或相离，答案选 C。 5、已知向量 若 与 的夹角为 ，则直线(cos,in),(3cos,in),rrmrn60与圆 的位置关系是（ 1:cosi02lxy221:)(xy） A相交但不过圆心 B相交过圆心 C相切 D相离解： ，06(scosin)cos()cs632|mnur圆心 到直线 的距离 ，(cs,i)

4、Cl rd1|)(|直线与圆相离，答案选 D。 复习向量点乘积和夹角余弦的计算及三角函数公式6、已知圆 和点 ,若点 在圆上且 的面积为22:(3)(5)36Oxy(2,)1)ABCAB,则满足条件的点 的个数是 （ ）25CA.1 B.2 C.3 D.4解:由题设得： ， ， 点 到直线 的距离 , 5ABQ2ABSC1d直线 的方程为 ,与直线 平行且距离为 1 的直线为034yx12:4307lxy得：圆心 到直线 的的距离 ,到直线 的距离为 ,(,5)O1l16dr2l24dr圆 与直线 相切；与直线 相交, 满足条件的点 的个数是 3，答案选 C1l2C7、若圆 始终平分圆 的周长

5、,则实数21:()()Cxayb222:(1)()xy应满足的关系是 ( )b,A B 032 05baC D132解：公共弦所在的直线 方程为： ，l222()(1)-4()()-1=0xyxyb即： ，0)()1(aybxa圆 始终平分圆 的周长， 圆 的圆心 在直线 上,Q2C2,l，即 ，答案选 B。1205ba8、在平面内,与点 距离为 1, 与点 距离为 2 的直线共有 ( ),(A),3(BA.1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条解：直线 与点 距离为 1，所以直线 是以 A 为圆心 1 为半径的圆的切线，l l3同理直线 也是以 B 为圆心 2 为半径的圆的切线，即

6、两圆的公切线，l， 两圆相交，公切线有 2 条，答案选 B。53AQ想一下，如果两圆相切或相离，各有几条公切线？二、填空题1、直线 2xy4=0 上有一点 P，它与两定点 A(4，1)，B(3，4) 的距离之差最大，则 P 点坐标是_ _.解：A 关于 l 的对称点 A，AB 与直线 l 的交点即为所求的 P 点。得 P(5，6） 。想一想，为什么， A B与直线 l的交点即为所求的 P点？如果 A、 B两点在直线的同一边，情况又如何？2、设不等式 对一切满足 的值均成立，则 的范围为 21()xm2mx。解：原不等式变换为 ，1)0x设： ， ，按题意得： 。2()(f()(2)0,()ff

7、即： 。2307312x3、已知直线 与圆 ，则 上各点到 的距离的最大值与:4lxy:CxyCl最小值之差为 。解： 圆心 到直线的距离= ， 直线与圆相离，1,C142r上各点到 的距离的最大值与最小值之差 = = 。l 24、直线 被圆 截得的弦长为_。2()1xty为 参 数 24xy解：直线方程消去参数 得： ，圆心到直线的距离 ，弦长的一半为t1012d，得弦长为 。2214()45、已知圆 ，直线 ，以下命题成立的有22:(cos)(sin)1Mxy:lykx_。对任意实数 与 ，直线 和圆 相切；klM对任意实数 与 ，直线 和圆 有公共点；对任意实数 ，必存在实数 ，使得直线

8、 和圆 相切klBA BP APC4对任意实数 ，必存在实数 ，使得直线 和圆 相切klM解：圆心坐标为 cos,inM，所以命题成立。221sisin()11kd rk （ ） 仔细体会命题的区别。6、点 A(3， 3)发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射，反射光线与圆相切，则光线 l 所在直线方程为_ 2:470Cxy_。解：光线 l 所在的直线与圆 关于 x 轴对称的圆 相切。圆心 坐标为 ，半径 ，CC2,1r直线过点 A(3，3)，设 的方程为： ，即：Ql3()ykx30kxy圆心 到直线 的距离 ，l21kd251K解得： 或 ，得直线 的方程： 或 。43kl40xy4

9、xy7、直线 与圆 交于 、 两点，且 、 关于直线xmy202nyxMN对称，则弦 的长为 。0xMN解：由直线 与直线 垂直 ，由圆心在直线 上 ，2m0xy2n圆方程为 ，圆心为 ，圆心到直线的距离 ，22(1)()6xy1,1d弦 的长 =N4rd8、过圆 内一点 作一弦交圆于 两点,过点 分别作圆的切线24xy)1,(ACB、 B、，两切线交于点 ，则点 的轨迹方程为 。PCB、 P解：设 ,根据题设条件，线段 为点 对应圆上的切点弦，0() P直线 的方程为 , 点在 上， ,40yxQ40yx即 的轨迹方程为： 。 注意掌握切点弦的证明方法。三、解答题1、已知过原点 O 的一条直

10、线与函数 的图象交于 A、B 两点，分别过点 A、B 作 y 轴的8logyx平行线与函数 的图象交于 C、D 两点。2logyx（1）证明：点 C、D 和原点 O 在同一直线上；（2）当 BC 平行于 x 轴时，求点 A 的坐标。解：（1）设 A、B 的横坐标分别为 ，由题设知 ，1、 12、得点 ， ，1828(,l)(,l)x、 2(,log)(,log)x、A、 B 在过点 O 的直线上， ，Q1825，得： ， O、C 、 D 共线。81822123log3logl lOCODxxkkxx， OCDk（2）由 BC 平行于 x 轴，有 321821ll代入 ，得 ， ,8182ll3

11、8oglxQ81log0x， ，得 。38(,l)A2、设数列 的前 项和 ， ，a、b 是常数且 。na1nSab(,2nLb（1）证明： 是等差数列；（ 2） 证 明 ： 以 为 坐 标 的 点 ， 落 在 同 一 直 线 上 ， 并 求 直 线 方 程。,1nnP(,)（3）设 ， 是以 为圆心， 为半径的圆 ，求使得点 P1、P 2、P 3 都,2abC(,)rr(0)r落在圆 C 外时，r 的取值范围。解：（1）证明：由题设得 ；当 n2 时，1aS，1()(1)()2()nnSbanbanb。2a所以 是以 为首项， 为公差的等差数列。证毕；n（2）证明： ，对于 n2，0b11(

12、1)(1)2nPnSabanbka以 为 坐 标 的 点 ， 落 在 过 点 ， 斜率为 的同 一 直 线 上 ，,nP(,)L1,Pa21此直线方程为： ，即 。1()()2yaxa20y（3）解：当 时，得 ，都落在圆 C 外的条件是,b131,0,、 、2222(1)(3)(rr22()754810r由不等式，得 r1由不等式，得 r 或 r +5由不等式，得 r4 或 r4+6再注意到 r0， 1 4 = + 4+Q626使 P1、P 2、P 3 都落在圆 C 外时，r 的取值范围是(0 ，1)(1, )(4+ ,+)。2563、已知 、 、 ，求证：ab1c2abcc证一： ， ，116， 11bcbc设函数 ，()2()(1)()1yfaabcabc则： 11)0()()bcf 当 ，即 时，上述函数 表示的直线都在 轴上方，即：a,ayfaa、 、 ，不等式 成立，证毕。1b1c2bcc因为题中变量较多，考虑“固定”某变量（这里是 a） ，然后利用一次函数的性质来证明代数不等式的方法值得借鉴。证二： 、 ， ，即： ；Qa()10a1abL、 （将 看作一个数，利用的结论）1b1cbcL由式得 ， ，a1aabc即： ，证毕。2cc仔细体会上述递推证明的方法，你能进一步推广运用吗？如试证明 ，4acdeabc