《2017-2018年高中数学 考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例（含2017年高考试题）新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例（含2017年高考试题）新人教a版（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1考 点 11 导 数 在 研 究 函 数 中 的 应 用 与 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例1、 填 空 题1.(2017全国乙卷理科T16)如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5cm,该纸片上的等边三角形 ABC的中心为 O.D,E,F为圆 O上的点,DBC,ECA,FAB 分别是以 BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以 BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得 D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3)的最大值为.【命题意图】对于三棱锥最值问题,肯定需要用到函数的思想进行解决,本题解决的关键是设好未知量,
2、利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是 2次时可以利用二次函数的性质进行解决,当变量是高次时需要用到求导方式进行解决.【解析】连接 OB,连接 OD,交 BC于点 G,由题意得,ODBC,OG= 36BC,设 OG=x,则 BC=2 x,DG=5-x,三棱锥的高 h= 22DGO= 2510x= 510x,SABC =2 3x3x 1=3 3x2,则 V=1SABC h= x2= 3 450,令 fx=25x4-10x5,x ,2,fx=100x3-50x4,令 f 0,即 x4-2x30.从而 f x0时,令 fx=0,从而 aex-1=0,得 x=-lna.x (-,-lna
3、)- lna(-lna,+)fx- 0 +f 单调减极小值单调增综上,当 a0 时,f(x)在 R上单调递减;3当 a0时,f(x)在(-,-lna)上单调递减,在(-lna,+)上单调递增.(2)由(1)知,当 a0 时,f x在 R上单调减,故 fx在 R上至多一个零点,不满足条件.当 a0时,f(x) min=f(-lna)=1- 1a+lna.令 ga=1- 1+lna0,则 g= 2+ 0.从而 ga在 0,上单调增,而g =0.故当 01时 g 0.若 a1,则 f(x)min=1- a+lna=g0,故 f x0恒成立,从而 fx无零点,不满足条件.若 a=1,则 f(x)min
4、=1- 1+lna=0,故 f =0仅有一个实根 x=-lna=0,不满足条件.若 00.f1= 2ae+ +1- 0.故 f x在 ,ln上有一个实根 ,而又 3l1aln =-lna.且 f ln=33l1l12aae-ln 31a=-ln= 31a-ln0.故 fx在 3ln,1a上有一个实根.又 f 在 l，上单调减,在 ln,+a单调增,故 fx在 R上至多两个实根.又 fx在 1lna，及 3l,1上均至少有一个实数根,故 f 在 R上恰有两个实根.综上,a 的取值范围为 0,.44.(2017全国乙卷文科T21)已知函数 f(x)=ex(ex-a)-a2x.(1)讨论 f(x)的
5、单调性.(2)若 f(x)0,求 a的取值范围.【命题意图】本题主要考查利用导数解决函数的单调性及利用函数的单调性求参数的取值范围问题,主要考查考生解决问题的综合能力.【解析】(1)函数 f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a),若 a=0,则 f(x)=e2x,在(-,+)单调递增.若 a0,则由 f(x)=0得 x=lna.当 x(-,lna)时,f(x)0,所以 f(x)在(-,lna)单调递减,在(lna,+)单调递增.若 a0,故 f(x)在 ln2a，单调递减,在 l,单调递增.(2)若 a=0,则 f(x)=e2x,所以 f(x)
6、0.若 a0,则由(1)得,当 x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为 f(lna)=-a2lna.从而当且仅当-a2lna0,即 0a-234e时 f(x)0.综上,a 的取值范围为 3,1e.5.(2017全国甲卷理科T21)(12 分)已知函数 f(x)=ax2-ax-xlnx,且 f(x)0.(1)求 a.(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点 x0,且 e-21时,g(x)0,g(x)单调递增.所以 x=1是 g(x)的极小值点,故 g(x)g(1)=0.综上,a=1.(2)由(1)知 f(x)=x2-x-xlnx,f(x)=2x-2-lnx,设 h(x)=2x-2-lnx,h(
7、x)=2- 1x,当 x 10,时,h(x)0,所以 h(x)在 0,2上单调递减,在,2上单调递增.又 h(e-2)0,h 0;当 x(x 0,1)时,h(x)0.因为 f(x)=h(x),所以 x=x0是 f(x)的唯一极大值点,由 f(x0)=0得 lnx0=2(x0-1),故 f(x0)=x0(1-x0),由 x0 1,2得 f(x0)f(e-1)=e-2,所以 e-20;当 x (-1+ ,+ )时 ,f(x)0,故当 x1,x 0)时,H 1(x)0,H1(x)单调递增.因此,当x1,x 0)(x 0,2时,H 1(x)H1(x0)=-f(x0)=0,可得 H1(m)0,即 h(m
8、)0.令函数 H2(x)=g(x0)(x-x0)-f(x),则 H2(x)=g(x0)-g(x).由(1)知,g(x)在1,2上单调递增,故当 x1,x 0)时,H 2(x)0,H2(x)单调递增;当 x(x 0,2时,H 2(x)0,故 f(x)在1,2上单调递增,所以 f(x)在区间1,2上除 x0外没有其他的零点,而 pqx 0,故 f0.又因为 p,q,a均为整数,所以|2p 4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|是正整数,从而|2p 4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|1.所以 0px 41g.所以,只要取 A=g(2),就有 0px 41Aq.8.(2017天津高考理
9、科T19)设 a,bR,|a|1.已知函数 f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x).(1)求 f(x)的单调区间.(2)已知函数 y=g(x)和 y=ex的图象在公共点(x 0,y0)处有相同的切线,求证:f(x)在 x=x0处的导数等于 0;若关于 x的不等式 g(x)e x在区间x 0-1,x0+1上恒成立,求 b的取值范围.【命题意图】本题考查利用导数求函数的单调区间以及以函数为背景利用导数解决某些恒成立问题,主要考查导数的综合应用.考查综合应用能力及运算求解能力.【解析】(1)由 f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可得f(x)=3x2-12x-
10、3a(a-4)=3(x-a)(x-(4-a),令 f(x)=0,解得 x=a,或 x=4-a,由|a|1,得 a0,可得 f(x)1.又因为 f(x0)=1,f(x0)=0,故 x0为 f(x)的极大值点,由(1)知 x0=a.另一方面,由于|a|1,故 a+10恒成立,此时 h(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增;01 时,令 ex-a=0得 x=lna0,此时 h(x)在(-,0)上单调递增,在(0,lna)上单调递减,在(lna,+)上单调递增.综上,a0 时,有极小值 h(0)=-1-2a;01时,有极小值 h(lna)=-acos(lna)-asin(lna)+2al
11、na-2a-aln2a,极大值 h(0)=-1-2a.10.(2017山东高考文科T20)已知函数 f(x)=13x3- ax2,aR,(1)当 a=2时,求曲线 y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程;(2)设函数 g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,讨论 g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【命题意图】本题考查应用导数求曲线的切线,应用导数研究函数的单调性与极值问题,意在考查考生运算求解能力、分析问题解决问题的能力.【解析】(1)由题意 f(x)=x2-ax,所以当 a=2时,f(3)=0,f(x)=x 2-2x,所以 f(3)=3,因此曲线 y=f(x)在
12、点(3,f(3)处的切线方程是 y=3(x-3),即 3x-y-9=0.(2)因为 g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,所以 g(x)=f(x)+cosx-(x-a)sinx-cosx=x(x-a)-(x-a)sinx=(x-a)(x-sinx),令 h(x)=x-sinx,则 h(x)=1-cosx0,所以 h(x)在 R上单调递增,因为 h(0)=0,所以当 x0时,h(x)0;当 x0,g(x)单调递增;当 x(a,0)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增.所以当 x=a时 g(x)取到极大值,极大值是 g(a)=-16a3-sina,当 x=0时 g(x
13、)取到极小值,极小值是 g(0)=-a.当 a=0时,g(x)=x(x-sinx),当 x(-,+)时,g(x)0,所以 g(x)在(-,+)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.当 a0时,g(x)=(x-a)(x-sinx),当 x(-,0)时,x-a0,g(x)单调递增;当 x(0,a)时,x-a0,g(x)0,g(x)单调递增.所以当 x=0时 g(x)取到极大值,极大值是 g(0)=-a;当 x=a时 g(x)取到极小值,极小值是 g(a)=-16a3-sina;综上所述:当 a0时,函数 g(x)在(-,0)和(a,+)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又10有
14、极小值,极大值是 g(0)=-a,极小值是 g(a)=-16a3-sina.11.(2017江苏高考T 20)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+1(a0,bR)有极值,且导函数 f(x)的极值点是 f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求 b关于 a的函数关系式,并写出定义域.(2)证明:b 23a.(3)若 f(x),f(x)这两个函数的所有极值之和不小于- 72,求 a的取值范围.【命题意图】利用导数研究函数单调性、极值及零点,并与不等式巧妙结合,考查函数的综合应用问题.【解析】(1)由 f(x)=x3+ax2+bx+1,得 f(x)=3x2+2ax+b=3
15、23x+b- .当 x=-23a时,f(x)有极小值 b-2a.因为 f(x)的极值点是 f(x)的零点.所以 f=-327+ 9- b+1=0,又 a0,故 b=29a+ 3.因为 f(x)有极值,故 f(x)=0有实根,从而 b-23= 1a(27-a3)0,即 a3.a=3时,f(x)0(x-1),故 f(x)在 R上是增函数,f(x)没有极值;a3时,f(x)=0 有两个相异的实根 x1=2b,x2=23ab.列表如下x (-,x 1) x1 (x1,x2)x2 (x2,+)f(x)+ 0 - 0 +f(x)增 极大值减 极小值增故 f(x)的极值点是 x1,x2.从而 a3,因此 b=29a+ 3,定义域为(3,+).11(2)由(1)知, ba= 29+ 3a.设 g(t)= c+3,则 g(t)= - 2c= 279.当 t 6,2时,g(t
