《2017-2018年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列学案（含解析）新人教a版选修2-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列学案（含解析）新人教a版选修2-3（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12.1 离散型随机变量及其分布列随机变量问题 1：抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果这种试验结果能用数字表示吗？提示：可以，可用数字 1 和 0 分别表示正面向上和反面向上问题 2：在一块地里种 10 棵树苗，设成活的树苗棵数为 X，则 X 可取哪些数字？提示： X0,1,2,3，10.1随机变量(1)定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(2)表示法：随机变量常用字母 X， Y， ， ，表示2离散型随机变量所有取值可以一一列出的随
2、机变量，称为离散型随机变量1随机变量是将随机试验的结果数量化，有些随机试验的结果不具有数量性质，但我们仍可以用数量表示它们例如，掷一枚硬币， X1 表示正面向上， X0 表示反面向上2并不是所有的随机变量的取值都能一一列出，有些随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量不是离散型随机变量.离散型随机变量的分布列投掷一枚骰子，所得点数为 X.问题 1： X 可取哪些数字？提示： X1,2,3,4,5,6.问题 2： X 取不同的值时，其概率分别是多少？提示：都等于 .16问题 3：你能用表格表示 X 与 p 的对应关系吗？提示：列表如下：2X 1 2 3 4 5 6p 16 16 16 1
3、6 16 161分布列的定义若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1， x2， xi， xn， X 取每一个值xi(i1,2， n)的概率 P(X xi) pi，以表格的形式表示如下：X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn此表称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列2分布列的性质(1)pi0， i1,2,3， n；(2) i1.ni 1p1离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且还能清楚地看到每一个值的概率大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础2离散型随机变量可以用分布列、解析式、图象表
4、示.两个特殊分布问题 1：在妇产科医院统计一天的新生婴儿的出生情况，在性别这一方面共有几种情况？提示：两种问题 2：在含有 5 名男生的 100 名学生中，任选 3 人，求恰有 2 名男生的概率表达式提示： .C25C195C31001两点分布称分布列X 0 1P 1 p p3为两点分布列若随机变量 X 的分布列为两点分布列，就称 X 服从两点分布，并称p P(X1)为成功概率2超几何分布在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(X k) ， k0,1,2， m，其中 mmin M， n，且 n N， M N， n， M， NN *.CkMCn kN MC
5、nN称分布列X 0 1 mP C0MCn 0N MCnN C1MCn 1N MCnN CmMCn mN MCnN为超几何分布列如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布1一般地，在只有两个结果的随机试验中，用 0 表示事件不成功，1 表示事件成功，即随机变量的取值只有 0,1 两个，故又称为 01 分布2超几何分布的公式给出了求解这一类问题的方法运用公式直接求解时重在理解实质：运用排列组合知识求出 X 所有可能取值的概率，即有条件的排列组合数与无条件的排列组合数的比值离散型随机变量写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)在含有
6、 10 件次品的 100 件产品中，任意抽取 4 件，可能含有的次品的件数 X 是随机变量；(2)一袋中装有 5 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，其中所含白球的个数 X 是一个随机变量(1)随机变量 X 可能的取值为：0,1,2,3,4.X0，表示抽出 0 件次品；X1，表示抽出 1 件次品；X2，表示抽出 2 件次品；X3，表示抽出 3 件次品；X4，表示抽出的全是次品4(2)随机变量 X 可能的取值为：0,1,2,3.X0，表示取出 0 个白球，3 个黑球；X1，表示取出 1 个白球，2 个黑球；X2，表示取出 2 个白球，1 个黑球；X3，表示取出 3 个白球，0 个黑球这类问题
7、主要考查随机变量的概念，解答过程中要明确随机变量满足的四个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取何值；(4)试验结果能一一列出判断下列各个变量是否是随机变量，若是，是否是离散型随机变量？(1)某公司信息台一天接到的咨询电话个数；(2)从 10 张已编好号码的卡片(从 1 号到 10 号)中任取一张，被抽出卡片的号数；(3)某林场的树木最高达 30 m，在此林场中任取一棵树木的高度；(4)体积为 27 cm3的正方体的棱长解：(1)接到的咨询电话的个数可能是 0,1,2,3，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量，并且是离散型随机变量(2)
8、被抽取的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，是离散型随机变量(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30内的一切值 ，无法一一列出，不是离散型随机变量(4)体积为 27 cm3的正方体的棱长为 3 cm，为定值，不是随机变量.离散型随机变量分布列的性质设随机变量 X 的分布列为 P (Xk5)ak(k1,2,3,4,5)(1)求常数 a 的值；(2)求 P ；(X35)(3)求 P .(110X710)(1)由 P ak(k1,2,3,4,5)，可知(Xk5)5 k a2 a3 a4 a5 a1，解得 a .5k 1P(X k5)5k 1a 115(2)由(1)可知 P
9、(k1,2,3,4,5)，所以(Xk5) k15P P P P(X1) .(X35) (X 35) (X 45) 315 415 515 45(3)P P P P .(110X710) (X 15) (X 25) (X 35) 115 215 315 25在求解有关离散型随机变量性质的题目时，记准以下两条即可(1)pi0， i1,2， n；(2) i1.ni 1p若离散型随机变量 X 的分布列为：X 0 1P 9C2 C 38 C试求出常数 C.解：由离散型随机变量的分布列性质可知：P(X0) P(X1)1，即 9C29 C31，得 C 或 C .13 23又因为Error!解得 C ，19
10、38所以 C .13离散型随机变量的分布列(天津高考节选)某小组共 10 人，利用假期参加义工活动已知参加义工活动次数为1,2,3 的人数分别为 3,3,4.现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会(1)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A 发生的概率；(2)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列(1)由已知，有 P(A) .C13C14 C23C210 13所以事件 A 发生的概率为 .136(2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2.P(X0) ，C23 C23 C24C210 415P(X1)
11、 ，C13C13 C13C14C210 715P(X2) .C13C14C210 415所以随机变量 X 的分布列为X 0 1 2P 415 715 415某班有学生 45 人，其中 O 型血的有 10 人，A 型血的有 12 人，B 型血的有 8 人，AB 型血的有 15 人现从中抽 1 人，其血型为随机变量 X，求 X 的分布列解：将 O，A，B，AB 四种血型分别编号为 1,2,3,4，则 X 的可能取值为 1,2,3,4.P(X1) ， P(X2) ，C10C145 29 C12C145 415P(X3) ， P(X4) .C18C145 845 C15C145 13故其分布列为X 1
12、 2 3 4P 29 415 845 13超几何分布的应用在一次购物抽奖活动中，假设 10 张奖券中有一等奖奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品；有二等奖奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖品(1)顾客甲从 10 张奖券中任意抽取 1 张，求中奖次数 X 的分布列(2)顾客乙从 10 张奖券中任意抽取 2 张求顾客乙中奖的概率；设顾客乙获得的奖品总价值为 Y 元，求 Y 的分布列(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故 X 的取值只有 0 和 1 两种情况P(X1) ，C14C10 410 25则 P(X0)1 P(X1)1 .25 357因此 X 的分布列为X
13、 0 1P 35 25(2)顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的 2 张奖券中有 1 张中奖或 2 张都中奖故所求概率 P .C14C16 C24C06C210 3045 23 Y 的所有可能取值为 0,10,20,50,60，且P(Y0) ，C04C26C210 1545 13P(Y10) ，C13C16C210 1845 25P(Y20) ，C23C06C210 345 115P(Y50) ，C1C16C210 645 215P(Y60) .C1C13C210 345 115因此随机变量 Y 的分布列为Y 0 10 20 50 60P 13 25 115 215 1151解决此类问题的关键
14、是判断随机变量是否服从超几何分布，可以从以下两个方面判断：一是超几何分布描述的是不放回抽样问题；二是随机变量为抽到的某类个体的个数2若随机变量 X 服从超几何分布，则可直接代入超几何分布的概率公式求解从一批含有 13 件正品、2 件次品的产品中，不放回地任取 3 件，求取得次品数为 X 的分布列解：设随机变量 X 表示取出次品的个数，则 X 服从超几何分布，其中N15， M2， n3， X 可能的取值为 0,1,2.相应的概率依次为P(X0) ，C02C31C315 2235P(X1) ，C12C213C315 1235P(X2) .C2C13C315 135所以随机变量 X 的分布列为8X
15、0 1 2P 2235 1235 1352.求 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列(12 分)口袋中装有 6 个同样大小的黑球，编号为 1,2,3,4,5,6，现从中随机取出 3个球，用 X 表示取出的最大号码，求 X 的分布列随机变量 X 的可能取值为 3,4,5,6.(2 分)所以， P(X3) ，(4 分)C3C36 120P(X4) ，(6 分)C23C36 320P(X5) ，(8 分)C24C36 310P(X6) .(10 分)C25C36 12因此随机变量 X 的分布列为X 3 4 5 6P 120 320 310 12(12 分)从袋中随机地取 3 个球，包含的基本事件总数为 Coal(3,6).事件“ X4”包含的基本事件总数为 Coal(2,3) 取出的 3 个球恰含有 4 号球和 1，2，3 号球中的 2 个.9口袋中装有大小相同的红球、黑球各 3
