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1、第 1 页 共 21 页经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心， C、E 是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO求证：CDGF （初二）2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，PADPDA15 0求证：PBC 是正三角形 （初二）3、如图，已知四边形 ABCD、A 1B1C1D1 都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2 分别是AA1、BB 1、CC 1、DD 1 的中点求证：四边形 A2B2C2D2 是正方形 （初二）4、已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC的延长线交 MN 于 E、F求证：DEN F 经 典 难 题
2、（二）APCDBA FGCEBODD2C2B2A2D1C1B1CBDAA1ANFECDM B第 2 页 共 21 页PCGFBQADE1、已知：ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点） ，O 为外心，且 OMBC 于 M（1）求证：AH2OM；（2）若BAC60 0，求证：AHAO （初二）2、设 MN 是圆 O 外一直线，过 O 作 OAMN 于 A，自 A 引圆的两条直线，交圆于B、C 及 D、E，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q求证：APAQ （初二）3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 B
3、C、DE，设 CD、EB 分别交 MN于 P、Q求证：APAQ （初二）4、如图，分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边，在ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG，点 P 是 EF 的中点求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半 （初二）经 典 难 题（三）1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE AC，AEAC，AE 与 CD 相交于 F求证：CECF （初二）ADH EM CBOGAODBECQP NMOQPBDECNM AAFDECB第 3 页 共 21 页2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE AC，且 CECA，直线 EC 交 DA 延长线于 F求证：
4、AEAF （初二）3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点，PFAP，CF 平分DCE求证：PAPF （初二）4、如图，PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D求证：ABDC，BCAD （初三）经 典 难 题（四）1、已知：ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA 3，PB 4，PC5求：APB 的度数 （初二）2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且PBA PDA求证：PAB PCB （初二）3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD（初三）DEDACBFFEP CBAO DBF
5、AECPAPCBPA DCBCBDA第 4 页 共 21 页4、平行四边形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点， AE 与 CF 相交于 P，且AECF求证：DPA DPC （初二）经 典 难 题（五）1、设 P 是边长为 1 的正ABC 内任一点，LPA PB PC，求证： L22、已知：P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PAPB PC 的最小值3、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PAa ，PB2a，PC 3a，求正方形的边长4、如图，ABC 中，ABCACB 80 0，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DCA30 0，EBA20 0，求BED
6、 的度数经 典 难 题（一）1.如下图做 GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFHOEG,FPDE CBAAPCBACBPDEDCBAACBPD第 5 页 共 21 页即GHF OGE,可得 = = ,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。EOGFHCD2. 如下图做DGC 使与ADP 全等，可得PDG 为等边 ，从而可得DGCAPD CGP, 得出 PC=AD=DC,和DCG=PCG15 0所以DCP=30 0 ，从而得出PBC 是正三角形3.如下图连接 BC1和 AB1分别找其中点 F,E.连接 C2F 与 A2E 并延长相交于 Q 点，连接 EB2并延长交 C2Q 于
7、 H 点，连接 FB2并延长交 A2Q 于 G 点，由 A2E= A1B1= B1C1= FB2 ，EB 2= AB= BC=FC1 ，又GFQ+Q=90 0 和1GEB 2+Q=90 0,所以GEB 2=GFQ 又B 2FC2=A 2EB2 ，可得B 2FC2A 2EB2 ，所以 A2B2=B2C2 ， 又GFQ+ HB 2F=900 和GFQ=EB 2A2 ,从而可得A 2B2 C2=900 ，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形 A2B2C2D2 是正方形。第 6 页 共 21 页4.如下图连接 AC 并取其中点 Q，连接 QN 和 QM，所以可得QMF=F， QNM= DEN 和Q
8、MN=QNM，从而得出 DENF。经 典 难 题（二）1.(1)延长 AD 到 F 连 BF，做 OGAF,又F=ACB=BHD，可得 BH=BF,从而可得 HD=DF，又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接 OB，OC,既得BOC=120 0，从而可得BOM=60 0,所以可得 OB=2OM=AH=AO,得证。第 7 页 共 21 页3.作 OFCD，OGBE，连接 OP，OA，OF，AF，OG，AG ，OQ。由于 ，2ADCFDBEBG=由此可得ADFABG ，从而可得 AFC=AGE 。又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆，可得AFC=AOP
9、 和AGE= AOQ ，AOP= AOQ ，从而可得 AP=AQ。4.过 E,C,F 点分别作 AB 所在直线的高 EG，CI，FH。可得 PQ= 。2EGFH+由EGA AIC，可得 EG=AI，由BFHCBI，可得 FH=BI。从而可得 PQ= = ，从而得证。2AIB+第 8 页 共 21 页经 典 难 题（三）1.顺时针旋转ADE，到 ABG，连接 CG.由于ABG=ADE=90 0+450=1350从而可得 B，G，D 在一条直线上，可得AGB CGB。推出 AE=AG=AC=GC，可得AGC 为等边三角形。AGB=30 0，既得EAC=30 0，从而可得A EC=750。又EFC=
10、DFA=45 0+300=750.可证：CE=CF。2.连接 BD 作 CHDE，可得四边形 CGDH 是正方形。由 AC=CE=2GC=2CH，可得CEH=30 0，所以CAE=CEA= AED=15 0，第 9 页 共 21 页又FAE=90 0+450+150=1500，从而可知道F=15 0，从而得出 AE=AF。3.作 FGCD，FEBE，可以得出 GFEC 为正方形。令 AB=Y ，BP=X ,CE=Z , 可得 PC=Y-X 。tanBAP=tanEPF= = ，可得 YZ=XY-X2+XZ，XYZ-+即 Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得 X=Z ，得出ABPPEF ，得到 P
11、APF ，得证 。第 10 页 共 21 页经 典 难 题（四）1. 顺时针旋转ABP 600 ，连接 PQ ，则PBQ 是正三角形。可得PQC 是直角三角形。所以APB=150 0 。2.作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使 AEDC，BEPC.可以得出ABP=ADP=AEP，可得：AEBP 共圆（一边所对两角相等） 。可得BAP=BEP=BCP，得证。3.在 BD 取一点 E，使BCE=ACD，既得BECADC，可得：= ，即 ADBC=BEAC， BCAD又ACB=DCE，可得ABCDEC，既得= ，即 ABCD=DEAC， 由+可得: ABCD+ADBC=AC(BE+DE
12、)= ACBD ，得证。第 11 页 共 21 页4.过 D 作 AQAE ，AGCF ，由 = = ，可得：ADESV2BCYDFSV= ，由 AE=FC。2AEPQg可得 DQ=DG，可得DPADPC （角平分线逆定理） 。经 典 难 题（五）1.（1）顺时针旋转BPC 600 ，可得PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF 在一条直线上，即如下图：可得最小 L= ；第 12 页 共 21 页（2）过 P 点作 BC 的平行线交 AB,AC 与点 D，F。由于APDATP=ADP，推出 ADAP 又 BP+DPBP 和 PF+FCPC
13、又 DF=AF 由可得：最大 L0 时， 的方向与 的方向相同，当 0；当 P12点在线段 P P 的延长线上时 1；当 P 点在线段 P P 的延长线上时121；若点 P 分有向线段 所成的比为 ，则点 P 分有向线段 所成的比1012ur 2ur为 。如若点 分 所成的比为 ，则 分 所成的比为_（答： ）ABur34ABr 73（3）线段的定比分点公式：设 、 ， 分有向线段 所成1(,)xy2(,)xy(,)x12Pr的比为 ，则 ，特别地，当 1 时，就得到线段 P P 的中点公式12xy12。在使用定比分点的坐标公式时，应明确 ， 、 的意义，12xy (,)xy1,)2(,)xy
14、即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比 。如（1）若 M（-3，-2 ） ，N（6，-1） ，且，则点 P 的坐标为_（答： ） ； 1MPN3 7(6,)311.平移公式：如果点 按向量 平移至 ，则 ；曲线(,)xyahkr(,)Pxyxhyk按向量 平移得曲线 .注意：（1）函数按向量平移(,)0fxy,ahkr(,)0fxy与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！ 如（1）按第 20 页 共 21 页向量 把 平移到 ，则按向量 把点 平移到点_（答：（，） ）ar(2,3)(1,2)ar(7,2)；（2）函数 的图象按向量 平移后，所得函数的解析式是 ，则xysin12cosxy_（答： ）),4(12、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2） ，特别地，当 同向或有|ababrrr abr、 0r|abrr；当 反向或有 ；当| 、 0|不共线 (这些和实数比较类似 ). br、 |rrr（3）在 中，若 ，则其重心的坐标为ABC123,xyBCxy。如若ABC 的三边的中点分别为（2，1） 、 （-3，4） 、123123,xyG（-1，
