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1、( ),( ),( ),( ),4.11.1 已知三角函数值求角（一）,（口答）求下列三角函数值,=,=,=,=,=,sinX= ,如何求角X？,由正弦曲线可知：,例1.求满足下列条件的角X的集合.,（1）sinX= ， 且X 0 ， ,X,O,1,-1,Y,解：,y=sinX在 0 ， 上是增函数,sin =,符合条件的角有且只有 一个， .,即第一象限的角,于是所求的角X的集合是 ,（2）sinX= ， 且X ， ,所求角X的集合是 ,已知三角函数值求角（一）,X,O,1,-1,Y,求角X，关键在于找出满足条件的相应锐角,（3）sinX= ， 且X ， ,0,已知三角函数值求角（一）,si
2、nX= 0且X 0， ,（3）sinX= ， 且X ， ,0,解：,X是第一，二象限的角,由正弦曲线的单调性,sin （ - ) =sin =,X,O,1,-1,Y,可知在X 0， 上符合条件的角有且只有两个：第一象限的角 或第二象限的角 - 即,于是所求角X的集合是 ， ,（4）sinX= ， 且X ， ,0,所求角X的集合是 ， ,又 sin =,已知三角函数值求角（一）,已知三角函数值求角的步骤可概括为：,（1）定象限；,（2）找锐角；,（3）写形式,（1）sinX= ， 且X 0 ， ,（2）sinX= ， 且X ， ,（3）sinX= ， 且X ， ,0,（4）sinX= ， 且X
3、， ,0,所求角X的集合是 ， ,所求角X的集合是 ， ,所求角X的集合是 ,所求的角X的集合是 ,我们发现：角的范围不同，所求角的集合有时相同，有时不相同.,因此已知三角函数值求角时一定要注意角的范围。,已知三角函数值求角（一）,可知在 X 0， 上 符合条件的角有且只有两个，即第三象限的角 + = 或第四象限的角 + = .,例 2（1） 已知sinX= ，且X 0 ， ，求X的取值集合,sinX= 0 且X 0 ， ,X是第三，四象限的角,由正弦函数的单调性和 sin( + )=sin( - )=-sin = ,于是所求的角X的集合是 ， ,而满足条件sinX= 的锐角为 ,解：,找锐角
4、时，如果正弦值为负，则求出与其绝对值对应的锐角 ；,如果正弦值为正，则可直接求出对应的锐角 .,已知三角函数值求角（一）,满足条件sinX= 0.5 的锐角X =,( 已知非特殊三角函数值求角：除在求相应锐角时利用计算器外，其余步骤同前。,利用计算器可求得满足条件sinX= -0.3332 的锐角为 ,解析,于是所求的角X的集合是 ， ,（2）已知sinX= - 0.3332,且X 0 ， ，求角X的取值集合.,上题答案也可以写成： + arcsin 0.3332 , - arcsin0.3332 ,满足条件sinX= -0.3332 的锐角X =,满足条件sinX= 0.65 的锐角X =,
5、满足条件sinX= 的锐角X =,反正弦,定义 一般的， 在闭区间 ， 上，符合条件,记做arcsin a,即X=arcsin a,其中X ， ，,sinX=a（-1 a 1 ）,的角X，叫做实数a的反正弦，,且a=sinX,因为sinX=-0.33320,且X 0 ， ，所以角X是第三，四象限的角,已知三角函数值求角（一）,（1）sinX=0.3332 , 且X 0 ， ，,课堂练习,1、求满足下列条件的角X的集合.,（2）cosX= ， 且X 0 ， ，,2、已知sin( - X ) = , 且X 0 ， ，求角X的集合.,已知三角函数值求角（一）,答案为 ， ,2、已知sin( - X
6、) = , 且X 0 ， ，求角X的集合.,解析：应用诱导公式得sinX= .,（1）sinX=0.3332 , 且X 0 ， ，,答案为 ， ,（2）cosX= ， 且X 0 ， ，,答案为 ， ,本节课我们重点研究了给值求角的步骤，当三角函数值不是 1和0时可概括为： 定象限，找锐角，写形式，如果要求出 0 ， 范围以外的角则可利用终边相同的角有相同的三角函数值写出结果。,本讲小结：,若求得的角是特殊角，最好用弧度表示。,用反正弦符号表示角。,作业：,课本：P77 1T、（1）（2） 2T、（1）（2） 3T、（1）（2）（3） 4T、（3）（4）,思考题,求满足下列条件的角X的集合,（1
7、）sinX=1,( 2 ) sinX=,已知特殊三角函数值求角,已知非特殊三角函数值求角,知识回顾,cosX=a（-1 a 1 ）,（2） ， ,（1）满足条件cosX= -0.7660 的锐角为,于是所求的角X的集合为 ,上题（2）的答案可以写成 - arccos0.7660, +arccos(-0.7660),解析1：,X,O,1,-1,Y,- 0.7660,定义 在闭区间 0 ， 上，符合条件,记做arccos a,即X=arccos a,其中X 0 ， ，,的角X，叫做实数a的反余弦，,且a=cosX,反余弦,求出对应的锐角；,根据角的象限，利用诱导公式写 0 ， 间的角（ ， - ，
8、 + ， - ）；,由已知正弦值确定角所在的象限；,具体可分如下三步（为方便先不考虑轴线角）：,（定象限）,（找锐角）,（写形式）,已知三角函数值求角（一）,课堂练习：,cosX= - 0.7660 0且X 0 , ,X是第二象限的角,利用计算器可求得满足条件cosX= -0.7660 的锐角为 ( ),注意：除在求相应锐角时需 利用计算器，其余步骤同前。,可知在 0 ， 内符合条件的角有且只有一个，即第二象限的角,于是所求的角X的集合是 ,解：,由余弦函数的单调性和,cos（ - ）= - cos = - 0.7660,X,O,1,-1,Y,-0.7660,根据余弦函数图象的性质，为了使符合
9、条件cosX=a（-1 a 1 ）的角有且只有一个，我们选择闭区间 0 ， 作为基本的范围。在这个闭区间上，符合条件cosX=a(-1 a 1) 的角X，叫做实数a的反余弦，,记做arccos a,即X=arccos a,其中X 0 ， ，且a=cosX,例如： =arccos(-0.7663) ,=arccos,练习 已知cosX=-0.7660，且X 0， ，求满足条件的角X的集合.,X,Y,O,1,-1,例 2（1） 已知sinX= ，且X 0 ， ，求X的取值集合,已知三角函数值求角（一）,（1）已知sinX= ，且X 0 ， ，求X的取值集合,课堂练习：,（2） 已知sinX=-0.
10、3332,且X 0 ， ，求满足条件的角X,由正弦曲线可知：,增函数,且sin =,因此符合条件的角有且只有一个，即 .,于是所求的角X的集合是 ,解：,sin X= ，且X , .,y=sinX在 ， 上是,X,Y,O,1,-1,X是第一象限的角,例1 (1) 已知sin X= ，且X , ，求X的取值集合.,学习要求,知识讲解,课堂练习,本课小结,课后作业,学习要求,利用三角函数的图象、符号规律、诱导公式及使用计算器的方法等项知识和技能，学会已知一个三角函数值，求与它对应的角的方法；为今后学习解三角方程、三角不等式等奠定基础。,4.11.1 已知三角函数值求角（一）,2.答案为 ，- 解析
11、：应用诱导公式得sinX= ，所角X是第一，二象限角， 求得锐角 = ，故第一象限的角为 或第二象限 的角 - = ，所以所求角的集合为 ， ,1.答案为 ,解析：在 ABC中cosA = 0.7660，所以 A 是锐角，因此,A的集合为 ,答案可以写成 arccos0.7660 ,已知角的一个三角函数值求角,要结合角所属范围和三角函 数在此区间上的单调性来确定。一般说来，所得的解不是唯一的， 而是有无数多个， 其解法步骤可概括为： （1） 由已知函数值的正、负确定所求角所在的象限（定象限）； （2） 如函数值为正，若函数值是非特殊值，则用计算器，先求 出对应的锐角 ；如果函数值为负，则先求出与其绝对值 对应的锐角 （ 找锐角）； （3） 根据所在的象限，得出0360间的角（写形式）； （4） 如果要求 0 ， 范围以外的角，则可利用终边相同的角的 表达式写出（求全角）。,
