《2017-2018年高中数学 第一章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案（含解析）新人教a版选修2-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第一章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案（含解析）新人教a版选修2-3（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、113.2“杨辉三角”与二项式系数的性质(a b)n的展开式的二次项系数，当 n 取正整数时可以表示成如下形式：问题 1：从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？提示：在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和问题 2：计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？提示：2,4,8,16,32,64，其系数和为 2n问题 3：二项式系数的最大值有何规律？提示： n2,4,6 时，中间一项最大； n3,5 时，中间两项最大二项式系数的性质性质 内容对称性 C C ，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式
2、系数相等.mn n mn如果二项式的幂指数 n 是偶数，那么展开式中间一项 T +12n的二项式系数最大增减性与最大值如果 n 为奇数，那么其展开式中间两项 T 12n与 T +1的二项式系数相等且同时取得最大值二项展开式中各二项式系数的和等于 2n，即 C C C C 2 n.0n 1n 2n n二项式系数的和奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于 2n1 ，即 C C1nC C C C 2 n1 .3n 5n 2n 4n 6n1求二项式系数最大的项时，要特别注意 n 的奇偶性， n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大2奇数项的二项
3、式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边二2项式系数的个数相同当 n 为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当 n 为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同.与“杨辉三角”有关的问题如图所示，在“杨辉三角”中，从 1 开始箭头所指数字组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，记其前 n 项和为 Sn，求 S19的值S19(C C )(C C )(C C )(C C )2 12 23 13 24 14 210 10C (C C C C )(C C C C )(23410)C 211 12 13 14 10 2 23 210 211 312220274.
4、 2 10 92解决与“杨辉三角”有关问题的一般思路如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第_行中从左到右第 14 与第15 个数的比为 23.第 0 行1第 1 行11第 2 行121第 3 行1331第 4 行146413第 5 行15101051 解析：由“杨辉三角”知，第 1 行中的数是 C ，C ；第 2 行中的数是 C ，C ，C ；第01 1 02 12 23 行中的数是 C ，C ，C ，C ；第 n 行中的数是 C ，C ，C ，C .设第 n 行中从03 13 23 3 0n 1n 2n n左到右第 14 与第 15 个数的比为 23，则 C C 23，解得 n34.
5、13n 14n答案：34求二项展开式中系数和设(12 x)5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5.求：(1) a1 a2 a3 a4 a5的值；(2)a1 a3 a5的值；(3)|a1| a2| a3| a4| a5|的值记 f(x)(12 x)5.(1)a1 a2 a3 a4 a5 f(1) f(0)2.(2)f(1) a0 a1 a2 a3 a4 a5， f(1) a0 a1 a2 a3 a4 a5，所以 a1 a3 a5 (13 5)122.12 12(3)|a1| a2| a3| a4| a5| f(1) f(0)3 51242.“赋值法”是解决二项式系数问题常用的方
6、法，根据题目要求，灵活赋予字母所取的不同值一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令 x0 可得常数项，令 x1可得所有项系数之和，令 x1 可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差多项式 x3 x10 a0 a1(x1) a9(x1) 9 a10(x1) 10.(1)求 a0 a1 a10；(2)求 a0 a1 a2 a3 a9 a10.解：(1)令 x11，即令 x0，得 0 a0 a11 a10110，得 a0 a1 a100.(2)令 x11，即令 x2，得(2) 3(2) 10 a0 a1 a2 a3 a9 a10，得a0 a1 a2 a3 a9 a101 016.二项式系数的性质
7、已知 n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为 32.(x 3x2)4(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项令 x1，则展开式中各项系数和为(13) n2 2n.又展开式中二项式系数和为 2n， 2 n32， n5.22n2n(1) n5，展开式共 6 项，二项式系数最大的项为第 3,4 两项， T3C (x23)3(3x2)290 x6，25T4C (x )2(3x2)3270 x 3.35(2)设展开式中第 k1 项的系数最大，则由 Tk1 C (x23)5 k(3x2)k3 kC x1043，k5 k5得Error! k ， k4，72 92即展开式中系
8、数最大的项为T5C x23(3x2)4405 x263.451求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得在 8的展开式中：(x2x2)(1)求二项式系数最大的项(2)系数的绝对值最大的项是第几项？解：(1)二项式系数最大的项为中间项，即为第 5 项故 T5C 24x28 1 120 x6 .48(2)因 Tk1 C ( )8 k k(1) kC 2kx4 .设第 k1 项系数的绝对k8 x
9、 (2x2) k8 5k2值最大，则Error! 即Error!5整理得Error!于是 k5 或 6.故系数的绝对值最大的项是第 6 项和第 7 项4.混 淆 展 开 式 中 的 奇 偶 次 项 与 奇 偶 数 项已知(2 x1) n的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小 38，求C C C C 的值1n 2n 3n n设(2 x1) n a0 a1x a2x2 anxn，且奇次项的系数和为 A，偶次项的系数和为B.则 A a1 a3 a5， B a0 a2 a4 a6，由已知得 B A3 8，令 x1 得 a0 a1 a2 a3 an(1) n(3) n，即( a0 a2 a4 a6
10、)( a1 a3 a5 a7)(3) n，即 B A(3) n，所以(3) n3 8(3) 8，所以 n8，所以 C C C C 2 nC 2 81255.1n 2n 3n n 0n1求解本题易犯下列问题：一是误把奇次项、偶次项看成是奇数项、偶数项二是错误地认为3 8(3) 8.三是把 C C C C 看成二项展开式各项二项式系数和，忽略了 C .1n 2n 3n n 0n2解答此类问题应掌握( a b)n的展开式的各个二项式系数的和为 2n，且奇数项二项式系数的和与偶数项二项式系数的和都等于 2n1 .已知(1 x)5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，则( a0 a2
11、a4)(a1 a3 a5)的值等于_解析：依题可得 a0 a2 a4( a1 a3 a5)16，则( a0 a2 a4)(a1 a3 a5)256.答案：2561(1 x)2n1 的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是()A n， n1 B n1， n6C n1， n2 D n2， n3解析：选 C该式展开共 2n2 项，中间有两项，第 n1 项与第 n2 项，所以第n1 项与第 n2 项为二项式系数最大的项2已知 C 2C 2 2C 2 nC 729，则 C C C 的值等于()0n 1n 2n n 1n 3n 5nA64 B32C63 D31解析：选 BC 2C 2 nC (12) n3
12、 n729， n6，C C C 32.0n 1n n 16 36 563已知( a x)5 a0 a1x a2x2 a5x5，若 a280，则 a0 a1 a2 a5()A32 B1 C243 D1 或243解析：选 B( a x)5展开式的通项为 Tk1 (1) kC a5 kxk，令 k2，得 a2(1)k52C a380，解得 a2，即(2 x)5 a0 a1x a2x2 a5x5，令 x1，得25a0 a1 a2 a51.4若( x3 y)n的展开式中各项系数的和等于(7 a b)10的展开式中二项式系数的和，则 n 的值为_解析：(7 a b)10的展开式中二项式系数的和为 C C
13、C 2 10，令( x3 y)n01 10 10中 x y1，则由题设知，4 n2 10，即 22n2 10，解得 n5.答案：55求(1 x)8的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数最小的项解：(1)因为(1 x)8的幂指数 8 是偶数，由二项式系数的性质，知(1 x)8的展开式中间一项(即第 5 项)的二项式系数最大该项为 T5C ( x)470 x4.48(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者，即第 4 项和第 6 项系数相等且最小，分别为T4C ( x)356 x3， T6C ( x)556 x5.38 58一、选择题1已知(2 x)10 a0 a1x a2x2
14、a10x10，则 a8等于()A180 B180C45 D45解析：选 A a8C 22180.8102在( a b)20的二项展开式中，二项式系数与第 6 项的二项式系数相同的项是()A第 15 项 B第 16 项7C第 17 项 D第 18 项解析：选 B第 6 项的二项式系数为 C ，又 C C ，所以第 16 项符合条件520 1520 5203 “杨辉三角”如图所示， “杨辉三角”中的第 5 行除两端数字 1 外，均能被 5 整除，则具有类似性质的行是()1第 1 行11第 2 行121第 3 行1331第 4 行14641第 5 行15101051 A第 6 行 B第 7 行C第 8 行 D第 9 行解析：选 B由题意，第 6 行为 1615201561，第 7 行为 172135352171，故第 7 行除去两端数字 1 外，均能被7
