《2017-2018年高中数学 考点25 数列求和及综合应用（含2013年高考试题）新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 考点25 数列求和及综合应用（含2013年高考试题）新人教a版（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1考点 25 数列求和及综合应用一、选择题1. （2013新课标高考理科12）设 AnBnCn的三边长分别为 an， bn， cn， AnBnCn的面积为 Sn， n=1,2,3,若b1 c1， b1 c12 a1， an1 an， bn1 ， cn1 ，则（ ）cn an2 bn an2A、 Sn为递减数列B、 Sn为递增数列C、 S2n1 为递增数列， S2n为递减数列D、 S2n1 为递减数列， S2n为递增数列【解析】选B.因为 na1， 1nacb， 21nab，所以 1an， nb1nc2nn 1)()(2cnnn1nb11acban，注意到 112ab，所以 12acbn.于是
2、nCBA中，边长 为定值，另两边的长度之和为 为定值.因为 1nbc2nn)(2ncb，所以 )()1cbnn，当 时，有 0n，即 ncb，于是CBA的边 n的高 h随 增大而增大，于是其面积 nhaCBS12|21为递增数列.二、填空题2.（2013新课标高考理科14）若数列 na的前 项和 31naS，则 n的通项公式是 na_【解题指南】先利用 S1=a1求出 a1的值,再利用 Sn-Sn-1=an求出通项公式 an.【解析】由 132，解得 ，又 312a，所以11nnnSa，得 1na ，所以数列 n是首项为 1，公比为 2的2等比数列.故数列的通项公式 1)2(nna【答案】 1
3、)2(n3. （2013湖南高考理科15）设 nS为数列 na的前 n 项和， 1(),2nnSaN则（1） 3_；（2） 210_.【解题指南】 （1） 令 3n， 4代入 即可得到答案.（2）通过 1121 2)()( nnnn aasa 整理可发现当当 n为偶数时有 1n，于是代入第（2）问的展开式即可得到答案.【解析】 （1）因为 211s，所以 41， 813213as ，64324 aas，即 62a ， 把代入得 6.（2）因为当 n时， nn1nn1 n1s()()a2，整理得2)1()(1，所以，当 为偶数时， n1，当 为奇数时， nna2，所以 12na，所以 为 奇 数
4、为 偶 数， nna,21，所以当 为偶数时， 12nna，所以 LL321094321 asss )()()(191034209 aaL231359210()(3)1()2(2(41) 10010050 .【答案】 （1） 6 （2） )(3104. （2013重庆高考理科12）已知 na是等差数列， 1a，公差 0d， nS为其3前 n项和，若 1a、 2、 5成等比数列，则 8S 【解题指南】先根据 、 、 a成等比数列求出数列的公差 ,然后根据公式求出 8S.【解析】因为 1、 2、 5成等 1 比数列, 1所以 d41)(2,化简得 d2因为 0d,所以 ,故 .658278dS【答
5、案】 64三、解答题5.（2013大纲版全国卷高考理科22）已知函数 1=ln.xfx（I）若 0,xf时 求 的 最 小 值 ;；（II）设数列 211, ln2.234nn na a 的 通 项 证 明 ：【解析】 （I） )()(xxf ，令 0)(f，即 0)1(22，解得 x或 21若 21，则 x时， )(f，所以 0)(xf.若 ，则 0时， ()00,定义函数 f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.数列a1,a2,a3,满足 an+1=f(an),nN *.(1)若 a1=-c-2,求 a2及 a3.(2)求证:对任意 nN *,an+1-anc.(3)是否存在 a1,使得
6、a1,a2,an,成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1;若不存在,说明理由.【解析】(1)a 2=2,a3=c+10.(2)f(x)=当 an-c 时, an+1-an=c+8c.当-c-4a n-2(-c-4)-c-8=c;所以,对任意 nN *,an+1-anc.(3)由(2),结合 c0,得 an+1an,即a n为无穷递增数列,又a n为等差数列,所以存在正数 M,当 nM 时,a n-c,从而 an+1=f(an)=an+c+8,由于a n为等差数列,因此其公差 d=c+8.若 a1-c,所以 an+1=f(an)=an+c+8,而 a2=a1+c+8,故当 a1=-c-8 时,
7、a n为无穷等差数列,符合要求.若-c-4a 12 时,a 3=2-(a1-2)=4-a1,所以 a1(4-a1)=(2-a1)2,得 a1=2- (舍去)或 a1=2+ .综合得 a1=1 或 a1=2+ .(3)假设这样的等差数列存在,那么 a2=2-|a1|,a3=2-|2-|a1|.由 2a2=a1+a3得 2-a1+|2-|a1|=2|a1|(*).以下分情况讨论:当 a12 时,由(*)得 a1=0,与 a12 矛盾;当 00,因此存在 m2 使得 am=a1+2(m-1)2.此时 d=am+1-am=2-|am|-ama1a9,求 a1的取值范围.【解题指南】按等比中项列式,a
8、3用通项表示,求出首项,第(2)问,直接按基本量列式求解.【解析】(1)因为数列a n的公差 d=1,且 1,a1,a3成等比数列,所以 21a=1(a1+2),即 21a-a1-2=0,解得 a1=-1 或 a1=2.(2)因为数列a n的公差 d=1,且 S5a1a9,所以 5a1+10 2+8a1,即 2a+3a1-100,解得-5a 12. 15.（2013广东高考理科19）设数列 na的前 n 项和为 nS，已知102112,3nSan， N.（1）求 2的值；（2）求数列 na的通项公式；（3）证明：对一切正整数 ，有 1274naaL.【解题指南】本题以递推数列为背景，考查通项公
9、式与前 n 项和的关系及不等式的证明，要注意转化思想、构造法、数学归纳法的应用.证明不等式的过程中，放缩的尺度要拿捏准确.【解析】 （1）因为 1a，在 2123nSan中令 1，可得 24a；（2）由已知可得 1n，即 ()3nS，则当n时， 1()()S ， 可得nnaa，也就是 1()()na，同除以 (1)n可得 1，数列 是公差为 1 的等差数列，且 ，所以 a，2n，显然 1也满足 2n，即所求通项公式为 2n.（3）当 时， 2174a结论成立；当 2n时， 125结论成立；当 3时， 21()nan，则2212143nLL11434()nL5143n7，即对一切 N，1274n
10、aaL成立.16.（2013广东高考文科19）设各项均为正数的数列 na的前 项和为 nS，满足11214,nSanN且 2514,a构成等比数列(1) 证明： 214；(2) 求数列 n的通项公式；(3) 证明：对一切正整数 ，有 12312naaL【解题指南】本题以递推数列为背景，考查通项公式与前 n 项和的关系及不等式的证明，要注意转化思想、构造法、数学归纳法的应用.证明不等式的过程中，放缩的尺度要拿捏准确.【解析】 （1）当 n时， 21145,4aa，因为 0n，所以 2145a； （2）当 时， nS， 1n nS，2214nna，因为 0，所以 1na，当 时， na是公差 2d
11、的等差数列.因为 2514,构成等比数列， 2514， 264，解得 23a,由（1）可知， 21=,，又因为 213，则 n是首项 1,公差 d的等差数列.数列 na的通项公式为 na.（3） 123135721na nLL()()()().5722n17. （2013山东高考理科20）设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且S4=4S2， a2n=2an+1 （） 求数列 an的通项公式； （） 设数列 bn的前 n 项和 Tn，且 Tn+ 12a = （ 为常数） ，令cn=b2n， （n N）.求数列 cn的前 n 项和 Rn. 【解题指南】 （）先设出等差数列的首项和公差，然后根据
12、 12,4naS可列方程组求得数列的通项公式；（）先根据前 n 项和与通项的关系求出 b的通项公式，12由 cn=b2n求出 n的通项，再利用错位相减法求出 Rn.【解析】 （）设等差数列 na的首项为 1，公差为 d，由 12,4naS得,486111dd解得 2,a，因此 *Nnn（）由题意知 12nT，所以 2时， nb= 12n故 *112,4Ncnnn 所以 13210 444 nnR，则nn 11321，两式相减得 nnnR 414443 14321nnn 31141整理得 139nnR，所以 数列 nc的前 n 项和 1439nnR.18. （2013山东高考文科20）设等差数列
13、a n的前 n 项和为 Sn，且S4=4S2，a 2n=2an+1 （） 求数列a n的通项公式； 13（）设数列 nb满足 *21 ,21Nnaban ，求 nb的前 项和 nT.【解题指南】 （）先设出等差数列的首项和公差，然后根据 12,4naS可列方程组求得数列的通项公式；（）先根据 *21 ,1Nababnn 求出 bn的通项公式,再利用错位相减法求出 Tn.【解析】 （）设等差数列 a的首项为 1，公差为 d，由 12,4naS得,486111dd解得 2,a，因此 *Nnn（）由已知 *21 ,21Nnababn ,当 n时， ,1当 2时， nnnnab212，所以 *,1Nn
14、，由（）知 *,2an，所以 1b，又 nnT21523， 14331n，两式相减得 1432 21nn ，14123n，所以 nnT2.19. （2013陕西高考文科17）设 Sn表示数列 na的前 n 项和. () 若 na是等差数列, 推导 Sn的计算公式; () 若 1,0q, 且对所有正整数 n, 有 1nnq. 判断 na是否为等比数列，并证明你的结论. 【解题指南】倒序相加法推导等差数列的前 n 项和；利用 1nnSa2， ，推导 na的通项公式判断是否为等比数列.【解析】() 设公差为 d,则 dnan)1(， )()()(2 111211212 aaaSaS nnnnnnn LL)()()( 11 dannn .() na是等比数列.证明如下：因为 nnnnn
