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1、混沌现象的通俗解释非线性，俗称“蝴蝶效应” 。什么是蝴蝶效应？先从美国麻省理工学院气象学家洛伦兹（Lorenz）的发现谈起。为了预报天气，他用计算机求解仿真地球大气的 13 个方程式。为了更细致地考察结果，他把一个中间解取出，提高精度再送回。而当他喝了杯咖啡以后回来再看时竟大吃一惊：本来很小的差异，结果却偏离了十万八千里！计算机没有毛病，于是，洛伦兹（Lorenz）认定，他发现了新的现象：“对初始值的极端不稳定性”，即：“ 混沌 ”，又称“蝴蝶效应” ，亚洲蝴蝶拍拍翅膀，将使美洲几个月后出现比狂风还厉害的龙卷风！这个发现非同小可，以致科学家都不理解，几家科学杂志也都拒登他的文章，认为“违背常理
2、”：相近的初值代入确定的方程，结果也应相近才对，怎么能大大远离呢！线性，指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，可实际是 610 倍！这就是非线性：11 不等于 2。激光的生成就是非线性的！当外加电压较小时，激光器犹如普通电灯，光向四面八方散射；而当外加电压达到某一定值时，会突然出现一种全新现象：受激原子好象听到“向右看齐”的命令，发射出相位和方向都一致的单色光，就是激光。非线性的特点是：横断各个专业，渗透各个领域，几乎可以说是：“无处不在时时
3、有。 ”如：天体运动存在混沌；电、光与声波的振荡，会突陷混沌；地磁场在 400 万年间，方向突变 16 次，也是由于混沌。甚至人类自己，原来都是非线性的：与传统的想法相反，健康人的脑电图和心脏跳动并不是规则的，而是混沌的，混沌正是生命力的表现，混沌系统对外界的刺激反应，比非混沌系统快。由此可见，非线性就在我们身边，躲也躲不掉了。1979 年 12 月，洛伦兹（Lorenz）在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以后，所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走，名声远扬了。“蝴蝶效应”之所以令人
4、着迷、令人激动、发人深省，不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力。混沌理论认为在混沌系统中，初始条件的十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。我们可以用在西方流传的一首民谣对此作形象的说明。这首民谣说：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国。马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微小的变化，但其“长期”效应却是一个帝国存与亡的根本差别。这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。有点不可思议，但是确实能够造成这样的恶果。一个明智
5、的领导人一定要防微杜渐，看似一些极微小的事情却有可能造成集体内部的分崩离析，那时岂不是悔之晚矣？横过深谷的吊桥，常从一根细线拴个小石头开始。莫以恶小而为之，莫以善小而不为。千里之堤，毁于蚁穴。混沌现象在自然界所经历的途径及是普遍存在的，近些年来，人们不仅从实验室观察到了许多混沌现象，而且认识到混沌产生的条件，其特征，在理论上发现了一些有关混沌产生的普遍规律，混沌理论的研究已经不仅仅局限于物理学方面，而且成为跨学科的十分活跃的研究方向，比如在生命，意识，社会发展变化上的研究。有人甚至认为混沌理论是继量子论，相对论以后的第三大革命。所以对混沌与牛顿定律的内在随机性的研究，不仅是在物理学上，更是在各
6、个学科层次上的一次重要变革。 混沌理论不能将其片面的理解为混乱的没有规律的。那么到底什么是混沌现象呢？它与牛顿力学的内在随机性又体现在什么地方呢？ 我们可以从简单直观的现象说起。科学家们之所以如此痴狂地研究混沌，就是因为混沌这种现象普遍存在于日常生活中。换句话说，有很多自然现象经过数学抽象，使得我们知道这现象的数学实质就是混沌。例如池塘中鱼的数目，当鱼的数目比较少而又具有充足食物时，它们的数目就会增多，而多到一定数目，就会爆发生存危机，有一些鱼将会死掉。一千多天以后，当你把每天数得的鱼数在坐标上描出来，得到的图象会让你大为失望因为它看上去没有任何规律。这就是混沌。 不仅如此，如果你长时间记录某
7、种流行病的发作期如果你愿意研究心中的涨落节奏；或者，如果你愿意去研究天体与尘埃间的关系，以及湍流、气象、医学、心理、社会的发展。我们都会发现事物发展有时显得无迹可寻就是混沌。简单地说，混沌就是随机的无规律状态。它普遍存在于自然界中。 对于一直沿着“寻找规律” 这条道路去探索自然的人们来说，面对“无规律”时曾有些无能为力。一方面，几百年来人们研究偶然事件的方法就是概率法，但混沌的无规性使得人们完全无法用概率以及误差定律去研究混沌。另一方面，人们考虑：混沌为何会出现？尤其是，在充满确定性定律的世界里为何只有人们用数学工具得到的结果才有规律性呢？ 这些问题，其实有一个很简单的答案。既人们的数学工具、
8、数学处理方法总是充满了近似。甚至，我们根本无法测定一个量的绝对数值，即真实值。如果与真实值有任何差异，这个过程都可能变化为面目全非的另一过程。 自然现象中，绝大多数都是非线性的，但人们往往将其近似为线形。这样做有时是可以的。但在很多情况下不能，典型的情况是天气预报。第一次发现这种情况是在 19 世纪末，法国大数学家庞加莱在研究三体碰撞时，发现即使一个尘埃也能影响另外两个星球的轨迹，从而指出星球轨迹的混沌变化。 混沌是自然界中最基本的运动形式之一，与秩序一起，共同维系这个世界。混沌本身是确定性中的这个世界。混沌本身是确定性中随机无规状态。它并不是无迹可寻的。如果用物理语言去说，则混沌是普遍存在与
9、自然界的非线性物理想像。混沌并不是乱成一团，而是无周期的有序性。这就是我们所说的混沌现象。 我们常常在科学杂志上看见蝴蝶效应这个名词，那么蝴蝶效应是一种什么现象呢？先从美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹的发现谈起，为了预报天气，他用计算机求解仿真地球大气的十三个方程式，为了更细致的考察结果，他把一个中间解取出，提高精度在送回，而当他喝了杯咖啡以后回来在看，却大吃一惊：本来很小的差异，结果却相差十万八千里！计算机没有毛病，于是他认定，他发现了新的现象：“对初始值的极端不稳定性”。称为蝴蝶效应，即假使亚洲蝴蝶拍拍翅膀，可能将使美洲几个月后出现比狂风还厉害的龙卷风！蝴蝶效应说明了：初始条件的十分微小的
10、变化经过不断的放大，对其未来状态会造成极其巨大的改变，我们可以用西方流传的一首民谣来对此做形象的说明，丢失一个钉子，坏了一只铁，坏了一只蹄铁，折了一匹战马，折了一匹战马，伤了一位骑士，伤了一位骑士，输了一场战斗，输了一场战斗，亡了一个帝国。马蹄铁上的一个钉子是否丢失，本是初始条件的十分微小的变化但是长时间的结果却是一个帝国的存亡之分。 牛顿定律是我们接触最多的物理学理论，被称做经典物理学。它最早形成的对物体运动的描述，被称为确定性理论，即如果已知物体所受的力和它的初始状态，则它在状态前后的运动是完全确定的，这类运动可重现，比如可以对航天飞机与导弹的运行勾画出准确的历程。这就使确定性理论长时间的
11、统治了物理学说。但是物理学家庞家来研究的三体问题，却证明了轨道的复杂性。人们又相继提出了其他一些限制性的三体问题及其他非线性动力学方程。证明了这些非线性方程带来的混沌行为。表现出对初值的敏感性，系统呈现长时间的不确定性或随机性。揭示出牛顿力学也具有内在随机性 比如非线性振子的随机运动。图（1）为个薄弹性钢梁，一端固定在刚性框架上部，框架的下部装有 2 个永久磁铁。框架可随时间按余弦规律左右振动。 图（1） 设 x 为钢梁端点对于其平衡位置 O 的位移，根据牛顿定律，其动力学方程为 其中 和 r 是驱动力的频率和振幅， 是阻尼系数。等号左边头两项表示了梁的惯性和耗散效应，而第三项表示了磁铁和弹性
12、力的效应，等号右边的余弦项表示了装置的振动。求解该方程得到得薄钢梁的振动有两个稳定的平衡位置 O 和 O。自平衡位置 O(或 O)拉开一角 放手，运动并不总围绕 O(或 O)往复，而是时而绕 O(或 O)振，时而绕 O(或 O)振。依次记下绕 O 和 O振动的第一次实验为 2，1，2，1，4，3，1，。第二次实验仍自平衡位置拉开角度 放手，得依次绕 O 和 O的振动次数为 2，1 ，1，1，5，1，3。且两次实验中各次振幅也变化不定。显见，两次实验虽初值相同，但运动并不重现。所谓实验中的初值都是 ，实际上包含着微小的测量不出的偏差，经时间的演变，经时间演化，表现为两次运动并不相同，体现出对初值
13、的敏感依赖。从而造成混沌现象。 混沌的发现不是使人们惊奇世界是多么复杂，多么不能从已知的基本原理出发进行解释，多么需要重新认识世界，相反，蒙昧时代人类就为世界的复杂性而感到惊奇和束手无策，所以才求助于神明，后来也才有了科学，力求用简单的基本原理来解释复杂的世界。混沌的发现只是证明了这一哲学信念的正确性和任务的艰巨性竭力使各较高层次的基本原理纳入较低层次规律的推论之中，并用它们来解释复杂的世界。在混沌发现以前，人们对所达到的最低层次的自然科学定律了解得已很完备，而对较高层次规律则虽然了解得很不充分。但已在此基础上实现了对复杂世界中许多不太复杂现象的解释。这些成功同时也使人们产生了初条件对物理方程
14、解的“客观决定性”一定能保证“ 操作性决定性 ”的糊涂观念。牛顿力学内在随机性的发现向人们证实，一般规律确实蕴含着高层次规律。简单的基本原理能解释真正复杂的世界确实不是一句空话;同时还使人们清醒地认识到“客观决定性”不一定能保证“操作性决定性” ，因此简单求解或烦琐计算不一定能真正解决实际问题。这表明复杂现实的研究既要从已知的基本原理出发，又要采用和创造灵活多样的新方法、新概念去踏踏实实地进行，这里依然需要创造性。了解了混沌理论与牛顿定律的内在随机性，我们得出这样的结论牛顿方程内在随机性”不但不否定牛顿方程对其解的客观决定性，相反“牛顿方程内在随机性”的发现，还使人们认识到一大类随机现象原来是
15、决定论方程所为!所以非线性科学不仅不是对”还原论” 的否定， 相反，其创立和发展还为还原论已经提供并将不断提供有力地新证据。这有其普遍根源:各不同层次，各不同学的定律。实际上只不过是人们对于按基本自然定律运动着的物质世界，从不同角度来观察时所得到的一部份规律而已，它们都蕴含于基本自然定律之中。牛顿定律对力学各层次、生命、意识、社会发展变化等科学定律有客观决定性。另一方面，力学各层次、生命、意识、社会现象的细节多半不能从有限精度初条件足够精确地操作出来，所以在科学研究的方法上，不能仅限于严格的从头算技术和纯演绎方法，而必须采用和创造灵活多样的方法。所得结果 以符合实际为标准。但是不能忘记，如果要问为什么结果甲能符合实际，而结果乙不符合实际?其背后的根源仍在于甲与量子力学和量子场论基本方程所客观决定了的解比较接近，乙则不够接近。这就是混沌理论带给我们的思考.
