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1、一种无偏模型在变形监测中的应用 陈鹏宇 内江师范学院地理与资源科学学院 摘 要： 针对变形发展趋势多样性的特点, 将无偏 NGM (1, 1, k) 模型应用于变形监测数据的分析预测中, 说明无偏 NGM (1, 1, k) 模型可分别用于拟合近似线性-指数增长趋势变形序列、近似非齐次指数变形序列和近似齐次指数变形序列。根据监测数据的发展特点可选择适合的建模方法。实例分析结果显示, 无偏NGM (1, 1, k) 模型具有良好的拟合和预测精度, 可用于滑坡位移的分析预测中。关键词： 变形监测; 无偏 NGM (1, 1, k) 模型; 灰色系统; 滑坡位移; 作者简介：陈鹏宇 (1987) ,
2、 男, 四川富顺人, 讲师, 博士, 主要研究方向为地质灾害分析评估、预测预报和数值模拟。E-mail:收稿日期：2016-05-30基金：国家自然科学基金项目 (41302278) Application of an unbiased model in deformation monitoringCHEN Pengyu School of Geography and Resources Science, Neijiang Normal University; Abstract： According to the characteristics of diversity of the defo
3、rmation development trend, the unbiased NGM (1, 1, k) model is applied to analysis and prediction of deformation monitoring data. It is pointed out that unbiased NGM (1, 1, k) model can be used to fit the approximate linearexponential growth trend deformation sequence, the approximate nonhomogeneous
4、 deformation sequences and the approximate homogeneous exponential deformation sequence. The choice of modeling method should be made based on the development of the monitoring data. The example analysis results show that the unbiased NGM (1, 1, k) model has good fitting and prediction accuracy, and
5、 can be applied in analysis and prediction of landslide displacement.Keyword： deformation monitoring; unbiased NGM (1, 1, k) model; grey system; landslide displacement; Received： 2016-05-300 引言目前, 变形监测数据的处理方法众多, 但是在“小样本”“贫信息”的条件下, 灰色系统预测模型具有独特的优势, 在变形的分析和预测中得到了较为广泛的应用1-7。受建模方法的限制, 传统 GM (1, 1) 模型只能用
6、于近似齐次指数序列建模, 这是因为其模拟序列为齐次指数序列8, 当用于滑坡临滑预测9或变形体加速变形阶段10时, 可得到较高的预测精度。对于地基沉降数据的分析, 传统 GM (1, 1) 模型便不再适用, 这是因为根据土的固结理论, 地基沉降的发展会逐渐收敛于某一固定值, 而不会随时间出现无限增长的趋势11。此时, 可采用直接建模法, 即对原始数据进行一次累减以建立 GM (1, 1) 模型12, 所得到的拟合函数为非齐次指数函数, 满足沉降的收敛特性, 并且等价于 Asaoka 法13。但是, 当变形既有线性趋势又有指数增长趋势时, 则需要在灰色预测模型中考虑线性因素。灰色线性组合模型虽然考
7、虑了线性因素5, 但是它是在一次累加序列而并非原始序列中考虑线性因素, 数据还原后实际上也是非齐次指数序列, 其建模效果等同于直接建模法下的 GM (1, 1) 模型1。为了实现对各类变形监测数据的处理, 本文选用无偏 NGM (1, 1, k) 模型14作为分析方法, 通过对原始数据进行一次累减、一次累加和二次累加, 可实现对近似线性-指数增长趋势变形序列、近似非齐次指数变形序列和近似齐次指数变形序列的分析处理。实例分析结果验证了无偏 NGM (1, 1, k) 模型的实用性和有效性。1 无偏 NGM (1, 1, k) 模型及其性质1.1 建模原理NGM (1, 1, k) 模型最初由崔杰
8、等人15提出, 后经验证, 该模型在参数设置上存在问题, 不具备一般性14,16。本文对其进行了改进, 建立了无偏 NGM (1, 1, k) 模型, 不仅解决了参数设置上的问题, 而且模型满足白指数率预测无偏性14。其建模原理如下。记原始数据序列如式 (1) 所示。式 (1) 的一次累加值为式 (2) 。定义式 (3) 为无偏 NGM (1, 1, k) 模型的定义型, 也可称为无偏 NGM (1, 1, k) 模型的灰微分方程。式中:a 为发展系数;kb+c 为灰作用量;上述参数可通过最小二乘法式 (4) 确定。式中:无偏 NGM (1, 1, k) 模型的白化方程如式 (6) 所示。无偏
9、 NGM (1, 1, k) 模型的时间响应式如式 (7) 所示。还原值为式 (8) 。白化方程与灰微分方程参数之间满足式 () 的关系。可以证明, 上述无偏 NGM (1, 1, k) 模型满足白指数率预测无偏性, 可用于近似非齐次指数序列的分析和预测14。1.2 模型性质1.2.1 一次累加无偏 NGM (1, 1, k) 模型在建立时, 采用传统 GM (1, 1) 模型的建模方法, 即对原始数据进行一次累加, 可用于拟合近似非齐次指数序列。下面与灰色线性回归组合模型进行对比分析。灰色线性回归组合模型改善了 GM (1, 1) 模型中没有线性因素的不足, 以线性回归方程和指数方程的和来拟
10、合一次累加序列17,如式 (10) 所示。式中:C 1, C2, C3, v 为待求参数。对式 (10) 进行一次累减, 可得原始数据的拟合函数式 (11) 。对比式 (7) 和式 (10) , 式 (8) 和式 (11) , 两者在函数形式上具有一致性, 只是在参数求解上存在不同。灰色线性回归组合模型中, 参数 v 由式 (12) 确定。式中:Y m (t) =Z (k+m) -Z (k) , Z (k) =x (k+1) 显然当 X 变形序列中出现负值或存在波动时, 都会导致出现 v 不存在的现象18。而许多变形因为受到各种因素的影响, 都可能出现上述情况, 从而导致灰色线性回归组合模型在
11、参数求解上存在不便。相比于灰色线性回归组合模型, 无偏NGM (1, 1, k) 模型参数求解不受负值或数据波动的影响, 并且求解过程更为简单。进一步对比分析可知, 上述无偏 NGM (1, 1, k) 模型等同于直接 GM (1, 1) 模型和 Asaoka 法12-13。1.2.2 二次累加上述无偏 NGM (1, 1, k) 模型可用于拟合近似非齐次指数序列, 如果对原始数据进行二次累加建立模型, 显然, 此时无偏 NGM (1, 1, k) 模型可用于拟合近似齐次指数序列。原始数据序列的二次累加值为式 (13) 。建立式 (14) 、式 (15) 所示的灰微分方程。对应的白化方程为式
12、(16) 。时间响应式为式 (17) 。进行二次累减可得原始数据的拟合函数如式 (18) 所示。可以看出, 式 (18) 为齐次指数函数, 易证其同样满足白指数率预测无偏性, 可用于拟合近似齐次指数序列, 等同于传统 GM (1, 1) 模型, 但又改进了传统GM (1, 1) 模型。1.2.3 一次累减对原始数据进行一次累减建立无偏 NGM (1, 1, k) 模型可实现对近似线性-指数增长趋势序列的分析预测。原始数据序列的一次累减值如式 (19) 所示。建立式 (20) 、式 (21) 所示的灰微分方程。对应的白化方程为式 (22) 。时间响应式为式 (23) 。可以看出, 式 (23)
13、为线性-指数组合函数, 可用于拟合近似线性-指数增长趋势序列, 同样易证其具有预测无偏性。2 工程实例分析2.1 黄龙西村滑坡滑坡临滑前的位移一般处于加速变形阶段, 可用 GM (1, 1) 模型分析位移的变化规律。以黄龙西村滑坡发生前数日的位移监测资料19为例, 建立传统 GM (1, 1) 模型和无偏 NGM (1, 1, k) 模型 (二次累加) , 对比两者的拟合精度。按照上述建模步骤和传统 GM (1, 1) 模型的建模步骤得到原始数据的拟合函数如下。传统 GM (1, 1) 模型如式 (24) 所示。无偏 NGM (1, 1, k) 模型 (二次累加) 如式 (25) 所示。拟合结
14、果如表 1 和图 1 所示。从表 1 和图 1 的结果可以看出, 无偏 NGM (1, 1, k) 模型的拟合精度明显优于传统 GM (1, 1) 模型, 拟合平均相对误差分别为10.770%、14.142%。这说明无偏 NGM (1, 1, k) 模型相对传统 GM (1, 1) 模型更适合用于拟合近似齐次指数序列。表 1 两种模型拟合结果与监测结果的对比 Tab.1 Comparison of Two Model Fitting Results and Monitoring Results 下载原表 图 1 两种模型拟合曲线与监测曲线的对比 Fig.1 Comparison of Two
15、Model Fitting Curve and Monitoring Curve 下载原图2.2 向加坡滑坡实际中也存在大量滑坡变形发展趋势接近于非齐次指数序列的情况, 此时可建立传统无偏 NGM (1, 1, k) 模型 (一次累加) 。向加坡滑坡位于渝黔高速公路K13+500K13+960 段。滑体范围内的岩体结构松散, 含水率高, 不稳定, 易变形20。以该高速公路滑坡位移监测资料为例20, 利用前 17 周位移监测数据建模, 预测 89 周位移, 以验证模型精度。分别建立无偏 NGM (1, 1, k) 模型 (一次累加) 和无偏 NGM (1, 1, k) 模型 (二次累加) 。按照
16、上述建模步骤得到原始数据的拟合函数如下。无偏 NGM (1, 1, k) 模型 (一次累加) 如式 (26) 所示。无偏 NGM (1, 1, k) 模型 (二次累加) 如式 (27) 所示。拟合结果如表 2 和图 2 所示。从表 2 和图 2 的结果可以看出, 无偏 NGM (1, 1, k) 模型 (一次累加) 的拟合和预测精度明显优于无偏 NGM (1, 1, k) 模型 (二次累加) , 拟合平均相对误差分别为 0.97%、4.10%, 预测平均相对误差分别为 2.54%、13.88%。这说明向加坡滑坡变形趋势更接近于非齐次指数发展趋势。由于齐次指数函数是非齐次指数函数的一个特例, 无偏 NGM (1, 1, k) 模型 (一次累加) 也可用于近似齐次指数序列建模, 所以可用无偏 NGM (1, 1, k) 模型 (一次累加) 代替 GM (1, 1) 模型用于变形分析。表 2
