[研究生入学考试]高代选讲第七章

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1、第七章 线性变换一、线性变换及其运算1.线性变换的定义线性空间 的一个变换 称为线性变换，如果对于 中任意VSV元素 , 和数域 中任意数 ，都有PkSSk2.线性变换的运算设 ， 是数域 上线性空间 的两个线性变换， .STPVkP(1) 加法 ST(2) 数乘kSk(3) 乘法 TT(4) 逆变换的变换 称为可逆的，如果有 的变换 ，使VSVT（ 的恒等变换）TI3.线性变换的矩阵(1) 设 是数域 上维线性空间 的一组基， 是12,nLPVS中的一个线性变换。基向量的象可以被基线性表出：V11212 212nnnnSaaSaaLL用矩阵来表示就是 1212(,)(,)n nSSSLL(1

2、)A其中 1212212nnnaaAaaLM矩阵 称为 在基 下的矩阵。S,L(2) 设 是数域 上维线性空间 的一组基，在这组12,nPV基下，每个线性变换按公式(1)对应于一个 矩阵。这个对应n具有以下性质：1) 线性变换的和对应于矩阵的和;2) 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积;3) 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积;4) 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵。(3) 设线性变换 在基 下的矩阵是 ，向量 在基S12,nLA下的坐标是 ，则 在基12,nL()xxS下的坐标 可以按公式12,nyy1122nnyxAyxM计算。(4) 设 为数域 上两个 级矩阵，如果可以

3、找到数域 上,ABP P的 级可逆矩阵 ，使得 ，就说 相似于 。nX1BXAB(5) 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的;反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。二、特征值与特征向量1.特征值与特征向量的定义设 是数域 上线性空间 的一个线性变换，如果对于数域SPV中一数 ，存在一个非零向量 ，使得P00S那么 称为 的一个特征值， 称为 的属于特征值 的一个0S 0特征向量。2.特征多项式的定义(1) 设 是数域 上一个 级矩阵， 是一个文字，矩阵APn的行列式E11212 212nnnnaaAaa LMM称为 的特征多项式，这是数域 上的一个

4、次多项式。APn(2) 哈密尔顿-凯莱定理设 是 的特征多项式，则fEA11()()n nnaAEOLL3.特征值与特征向量的性质(1) 设 是级矩阵 的全体特征值，则12,n()ijnAa1,nLL1n(2) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。(3) 如果是线性变换 的不同的特征值，而 是属于特A1,iiraL征值 的线性无关的特征向量， 那么向量组i1,2,ik也线性无关。111,krkraaLL4.线性变换在某组基下为对角矩阵的条件(1) 设 是 维线性空间 的一个线性变换， 的矩阵可以在某SnVS一组基下为对角矩阵的充分必要条件是， 有 个线性无关的特n征向量。(2) 如果在 维线

5、性空间 中，线性变换 的特征多项式在数域nVS中有 个不同的根，即有 个不同的特征值，那么 在某组基下n的矩阵是对角矩阵。(3) 在复数域上的线性空间中，如果线性变换 的特征多项式没S有重根，那么 在某组基下的矩阵是对角矩阵。S三、矩阵的相似1.矩阵相似的定义设 为数域 上两个 级矩阵，如果可以找到数域 上,ABPnP的 级可逆矩阵 ,使得 ，就说 相似于 ，记为nX1BXAB2.相似矩阵的性质(1) 相似的矩阵有相同的特征多项式。(2) 相似矩阵有相同的最小多项式。四、线性变换的值域与核1.设 是线性空间 的一个线性变换， 的全体象组成的集合称SVS为 的值域，用 表示。 是 的子空间，维

6、称为 的SSV()SV秩。所有被 变成零向量组成的集合称为 的核，记为 。1(0是 的子空间，维 称为 的零度。1(0)SV1(0)S2.设 是 维线性空间的线性变换， 是 的一组基，n12,nLV在这组基下的矩阵是，则(1) 12(,)nSVLS(2) 的秩 = 的秩A3.设 是 维线性空间 的线性变换，则nV的秩+ 的零度=Sn五、不变子空间1.不变子空间的定义设是数域 上线性空间 的线性变换， 是 的子空间。PVWV如果中的向量在 下的象仍在中，就称 是 的不变子空间，SS简称 子空间。S2. 设线性变换 的特征多项式为 ，它可以分解成一次因式S()f的乘积 12() srrrfL则 可

7、分解成不变子空间的直和V12sVV其中 0,iriSI六、最小多项式1.最小多项式的定义设 为数域 上一个 级矩阵， 是数域 上的一个多APn()fxP项式，如果 ，就称 以为根。以 为根的多项式中，()0f()fA次数最低的首项为 1 的多项式称为 的最小多项式。2.最小多项式的性质(1) 矩阵的最小多项式是唯一的。(2) 设 是矩阵 的最小多项式，那么 以 为根的充分()gxA()fxA必要条件是 整除 。()fx(3) 设是一个准对角矩阵 并设 的最小多项式为12A1, 的最小多项式为 ,那么 的最小多项式为 ，1()gx2A2()gx 1()gx最小公倍式 。21(),(4) 数域上

8、级矩阵 与对角矩阵相似的充分必要条件为 的最nAA小多项式是 上互素的一次因式的乘积。P(5) 复数矩阵 与对角矩阵相似的充分必要条件是 的最小多项AA式没有重根。七、例题分析：例 1.下列各变换 ，哪些是 中的线性变换，哪些不是？T3P（1） 1231231, ,;xxx（2） 3,;（3） 12312,0,0Txx（4） 123, ;x（5） 212313, ,;xx（6） 21.Tx解：（1） 是线性变换：设 23123,yy则123,Txyxyxy23( ,31)xy1231(,x)yy123123,(,TxTyy同理， .()kx（2） 不是线性变换，因为T0,1,0T即零向量的象不

9、是零向量.（3） 是线性变换：设T123123,xxyy则 30, 0xyTy123123,0(,)xyy同理，有 .()Tkx（4） 是线性变换：设 123123,xxyy则 1 3,kxkkk2123(,)xx).kT同理，有 .(xyxy（5） 不是线性变换，因为对 有1,0,(2)4,0,2()()TT所以 ().（6） 是线性变换：设 123123,xxyy为两个任意向量，则 123123,(,)TxyxTy1231,)xyy123,xyT123(),kxkx1,kx 1231,kxx().T作业：下列各变换 是否是线性空间 的线性变换？对空间Px如何？nPx（1） ()();Tfx

10、f（2） （3）解：（1） 是线性变换，设 ，则T(),fxgPx()()()()fxgfgx()(;Tfx() )Tkfxkfx.()fx故 为 的线性变换。Px但 不是 的变换，因为 ，但Tn 1nnxP11nnx（2） 既不是 的线性变换，也不是 的线性变换.Pnx事实上，例如取 ，则()1,(),fxgx)1,Tf x()()0,xx即 .()fgTfg（3） 是 与 的线性变换。TPxn事实上，设 为 或 中的任意多项式，则(),fPxn()()()()()()Tfxgfxgfxgf()()()()()Tkfxkfxfkfxf .例 2.设 ， 为线性空间 的两个线性变换：SPx()

11、(),()TfxfSff证明：（1） ;T（2） .I证明：（1）因为 ()()()()TSfxTSfxTfxfxf(可见，当 时，0fx()SfxSTfx故 TS（2）有（1）知，对 中任意 ，都有Pxfx()()fxfSTf即 (TSx故 .I例 3.设 为线性空间 的两个线性变换，定义：,V证明：对于 的任意线性变换 ，以下等TSTo 123,T式均成立： 123231312()()()0Too证明：因为 1231213()()TTToo121()T1232133在上式用 依次代 ；再用 依次代 ，,T,T12,123,T可分别得231231212312() To33TTT上三式两边各相

12、加，即得 123231312()()()0Tooo例 4.设 是线性空间 的两个线性变换，且 ，,TSV2,TS证明：（1）当且仅当 时，0TS2()S（2）若 ，则 。2()证明：（1）由 ，有22,()()()TSST22（1）如果 ，则由（1）显然得0TS2()TS反之，如果 ，则由（1）有2()0（2）上式分别左乘 ，右乘 ，由于 ，故得S2S，0T0T两者相减，得S（3）（2）+（3）得 20T所以 0TS由（2）又得 ，因此 0ST（1） 根据 ， ，可得22,()()()TS S222TST故 2()TSTS例 5.设 是 维线性空间 的一个线性变换， 是 的一个子nV1V空间，

13、证明：维 秩 维 .11n证明：设秩 ，维 ，任取空间 的一组基Trs112,sL并把它补充成空间 的基V121,snL由秩 ，知向量组Tr121,snTTL（1）的秩为 ，且子空间 由r1TV12,sL（2）生成，因此 的维数等于向量组（2）的秩，但向量组 （2）比1TV向量组（1）少 向量，所以ns组（2）的秩 ()rnsrn即维 秩 维 .1TV1V例 6.设 为 维线性空间， 为 的一组基，又令n2,nL为由 所作成的线性空间（它的相等，V12(,)()niL相加，相乘及与数乘，同通常 元向量一样） ，而 是 的全体V线性变换所作成的线性空间，证明： 是12(,)nTTL与 的一个同构

14、映射。V证明： 显然是 到 的一个映射。又设 为 的V 12,nV任一组 个向量，则有唯一的线性变换 ，使nT,12,iiTnL即 ，亦即 是 到1212(,)(,)nV上且为一一的映射。V其次，设 ，则,TSV1()(),()nTSTSL1,)n TS同理，有 ，故为 与 的一个同构映射。()()kV例 7.设 是线性空间 的一组基， 是 的一个线性12,nLTV变换。证明： 可逆当且仅当 线性无关。T12,nTL证明：方法 1.必要性：设 可逆，则存在 ，且 也是 的线性变换。如11V果 线性相关，则12,nTTL，即 也线性相关，112()(),()nT12,nL这与假设 是基相矛盾。故 必线性无1,nT关。充分性：若 线性无关，由于 是 维线性空间，12,nTTLVn所以它也是 的一组基，从而对 中任意向量 有V1112()()()nkkkTTL即存在 ，使 ，因此 为 到12nkk1TV上的变换。V如果又有 使12nllL1T即 TT12nkk那么因 是基，所以,n