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1、三通道正交完全重建滤波器组在图象去噪中的应用一、概述小波变换理论的一个重要的应用，就是对叠加噪声的图象进行去噪处理。最近研究表明，图像去噪的结果和小波基的选择有极大关系。图像信号的非平稳特性要求用于图像处理的小波基应具有良好边缘检测性能和一定的平滑噪声的能力。我们知道，Haar小波具有最佳的边缘检测特性，但其相应的低通滤波器平滑噪声的能力极差，故不宜用于图像的去噪。目前用于图像去噪的小波基主要是D。8小波。尽管该小波具有较好的平滑噪声的能力，但因其支集过长，从而检测边缘的能力较差。因此，如何设计用于图像去噪的具有优良特性的小波是一个重要的研究课题。但由于正交完全再建条件的限制，很难设计出这种适
2、用于图像去噪的双通道小波基。为此，采用冗余小波基来对图像进行去噪处理，但是图像分解维数的增加使运算量增加太多，难以实际应用。近来，关于非正交多通道滤波器组在图像处理中应用的研究引起了人们的注意。它的缺点是那些适用于正交小波基的一些去噪算法(如软门限方法)不能在这种非正交小波基下得到最佳结果。试验结果表明，利用软门限方法，一种三通道正交完全重建小波基与D一8小波相比较，可以得到更好的结果。二、多通道正交完全重建滤波器组的定义多通道正交完全重建滤波器组(Orthogonal Perfect Recomtmction Filter Bank，OPRFB)是由Vandiyanathan首先提出，并在语
3、音信号压缩编码中得到了重要应用。图1给出了一个膨通道OPRFB的结构图。从图中可以看出，输入信号x(n)被解析滤波器组中的低通滤波器H 0(z)和高通滤波器H 1(z)，,H M-1(z)分解为尺度部分并x o(n)和细节部分x 1(n), xm-1(n)，再经过M抽取后得到输出信号；而接收到的输入信号进行M插值后，通过重建滤波器组中的低通滤波器G o(z)和高通滤波器G 1(z)，G M-1(z)处理后，得到重建信号y(n)。OPRFB要求其解析和重建滤波器组中的滤波器分别满足正交条件，且有y(n)=x(n)。为了达到利用多通道OPRFB进行多尺度分析的目的，我们只要把解析滤波器组中低通滤波
4、通道的输出继续进行分解即可，直到合乎要求为止。图1 M通道OPRFB的结构图下面讨论OPRFB的设计。根据图1，输出y(n)的Z变换可以由下式给出：（1）110 0()()()()()MMnnk kMnYzGzHXzGzWX这里 。由此可以看出，为了满足完全重建要求，下述正交条件2expWj必须得到满足(2)10()1MkGzH(3)10(),.,nkMW由式(1)(3)得到10()()()kYzGzHXz（4）写成矩阵形式后有1()()()TzgzhM（5）其中(6)011()z().(z)TgG(7)MhH把H k(z)，k=0，M一1，写成I-型多相位表达形式，有(8)1,0()()mk
5、kzEz这里， (9),()(),.nkmknEzh带入（7）式可得： ()MzEez（10）其中，延迟矢量 由下式给出：()Me(11)1(1)()=z.MT而多相位分析矩阵： (12)0,0,10,11,01, 1,()().()().()()()MMEzzEzzzzz 同样，可以把G k(z)，k=0，M一1，写成II-型多相位表达形式(13)(1),0()(MmMkkGzRz其中(14),()(1),.,1nkmknRzgz这样，重建滤波器组就可以被写成矩阵形式(1)()MzRze（15）其中 ，而 表示对矢量 的共轭转置，其中()1/)MezzHe(16)0,0,10,11,01,
6、1,().()().()()()MMRzzzzzRz 最后，把h(z)和g T（z）的表达式代入式(1)后，得到(17)1()()()()TMYezREzeXz由式(17)看出，如果选择R T(z)=E-1(z)就可以使滤波器组满足完全重建条件.由上述的结果可以看出，为了得到适用于图像去噪的正交完全重建滤波器组，关键问题就是寻求与之相对应的矩阵E(z)。三、基于Haar小波的三通道OPRFB的设计从以上讨论可以看出，多通道OPRFB的设计一般比较复杂。在这里，我们只讨论具有短支集的三通道OPRFB的设计问题。考虑到为了在图像去噪时有效地检测图像的边缘，因此可以基于Haar小波直接让解析滤波器组
7、中的一路高通滤波器为： 11()/3Hz（18）为了更好的平滑噪声，可以令其低通滤波器为均值滤波器120()/3Hzz（19）最后，由正交条件，可以令122()/（20）可以验证该滤波器为一高通滤波器。由式(18)-(20)可以得到解析滤波器组的多相位表示矩阵1()/32Ez（21）这样由式(17)就可以得到重建滤波器组的多相位表示矩阵1.501()()TRzE（22）由上述设计方法得到的三通道OPRFB有下述特点：其解析滤波器组中的高通滤波器是基于Haar小波的，所以具有良好的边缘检测性能；而其低通滤波器为一均值滤波器，故具有较强的平滑噪声的功能。因此，该滤波器组非常适用于图像的去噪。四、基
8、于滑动窗口的去噪算法上述的三通道OPRFB在对信号分解的过程中，给出了两组小波系数。下面分析这两组小波系数的最佳软门限收缩算法。为此，设某一混有噪声的输入序列可以表示为x(n)=s(n)+w(n) (26)这里s(n)是原始信号，w(n)为均值为零的高斯白噪声。设在某一尺度下x(n)经过三通道OPRFB分解后，其小波系数分别为x 1(n)和x2(n)。则有 x 1(n)=s1(n)+w1(n) （27）x2(n)=s2(n)+w2(n) （28）其中s 1(n)和s 2(n)、w 1(n)和w 2(n)分别表示s(n)和W(n)经OPRFB分解后对应的小波系数。令x=x 1(n) x2(n)T
9、、s=s l(n) s2(n)T、W=W l(n) W2(n)T。则式(27)和(28)可以写成下述的矩阵形式x=s+W (29)显然，w 1(n)和w 2(n)是具有相同分布的零均值高斯白噪声。设其方差为 ，那2w么概率密度函数可以写为2212()()expwwwnp（30）实验表明，小波系数s 1(n)和s 2(n)具有下述的二维Laplace分布 122()1()expss snp（31）其中 为信号小波系数的方差。利用最大后验估计，有2sargmxlo()log()sxsspp（32）由此可得2212112 ()()()()wsnsnxsnxs（33）并注意到 和 之间的不相关特性，对
10、它们分别求导置零后，可以得到对1()s2应的小波系数的软门限收缩算法。sgn(),()() 1,20,kkkkxxn（34）这里2ws（35）下面利用所设计的三通道OPRFB，给出一种基于3 n3n滑动窗口，即分解尺度为n的针对图像的软门限去噪算法，具体步骤如下：(1)令该窗口沿图像逐行滑动，设在某一时刻该窗口内的3 n3n的图像为xo(i，j)。(2)对该x o(i，j)图像，沿水平方向用滤波器 、 和日 进0()HZ1()2()HZ行分解，得到三幅子图像 、 和 。它们分别代表分解后0(,)xmn01(,)x2,xmn的一个低频和二个高频分量。(3)对所得到的三幅图像 、 和 ，再分别沿垂
11、直方0(,)01(,)02(,)向用滤波器 、 和日 进行分解，得到九幅子图像0()HZ1()2HZ。0(,)8jxmnj(4)对所得到的九幅子图像 ，按行和列进行三抽取，得到0(,)8jxmnj了九幅3 n-13n-1的图像 。这样就完成了第一个尺度的变换。0(,)8jxmnj(5)对所得到的低频分量图像 ，返回到第二步，得到下一个尺度的0(,)分解。一直到第n尺度的分解完成。(6)对每个分解尺度的高频图像分量，用软门限方法进行去噪处理。(7)利用与上述(2)-(5)相反的步骤进行子图像重建，重建子图像中心像素的值作为去噪后的图像在该滑动窗口位置的输出值。(8)返回到第一步，使该3 nx 3
12、n窗口滑到下一个相邻像素，直到图像所有的像素都被处理完为止。对图像采用上述的基于滑动窗口的小波域去噪方法的一个最大优点就是它可以避免滤波后的图像产生方块效应。另外，由于图像中距离较远的像素之间不再具有相关性，因此采用较小的滤波窗口就可以得到很好的结果。在实际应用中，一般可以取n=2，即9 9的滑动窗口对图像进行去噪处理。实际应用中，可以由混有噪声图像的小波变换系数Y(m，n)来估计出式(35)中 和 的值，对一幅MM的图像，标准差 和 的估计值为2ws ws(36)(,)1,0.6745wmedianymnM(37)2x(,0)sw其中 221(,)Mxmny（38）y(m，n)一般取第一分解
13、尺度的最高频带的小波系数，即上面步骤(4)中得到的 。实验结果表明，采用上述的门限值，可以得到较好的去噪结果。08(,)xmn五、实验结果下面举例说明本文提出的三通道OPRFB和常用的D-8小波在图像去噪中的差异。小波系数收缩利用了上述的软门限方法。采用Lena图像和Barbara图像进行试验。首先，在每幅原始图像上分别叠加方差为100，400，900的高斯白噪声。然后分别利用D。8小波和三通道OPRFB进行软门限去噪。前者去噪时对图像采用的分解层数为3；后者去噪时采用99的滑动窗口，即去噪时分解层数为2。当噪声强度为400时，图2(a)、(b)、(c)、(d)分别给出了两幅测试图像的的部分原
14、始图像、加噪图像、利用D-8小波去噪后的图像、利用三通道OPRFB去噪后的图像。表1给出了在不同噪声水平时，各去噪图像的峰值信噪比PSNR。(（a） （b） (c) (d)图2 (a)部分原始图像;(b)叠加方差为400的高斯白噪声后的图像;(c)利用D-8小波去噪后的图像;(d)由利用三通道OPRFB去噪后的图像表l 不同噪声水平时,各去噪图像的峰值信噪比PSNR(dB)去噪前 D-8小波去噪 三通道OPRFB去噪噪声方差 Lena Barbara Lena Barbara Lena Barbara100 28.18 28.16 30.91 29.17 31.29 30.48400 22.14 22.14 28.11 24.80 29.59 25.84900 18.62 18.62 26.80 22.92 27.59 23.43由上面的结果可以看出，尽管在去噪过程中后者采用的图像分解层数少，但仍然给出了较好的结果。主要表现在图像中的干扰成分少，保护图像的细节功能较强，说明后者在很好地平滑噪声的同时，边缘检测性能也较强。例如，图2(d)比(c)中Lena的眼
