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1、第 1 页，总 17 页立体几何综合测试卷优能提醒：请认真审题，仔细作答，发挥出自己的真实水平！一、选择题 ：1记 为四面体四个面的面积 中最大者，若 ，则（ S1234,S1234SS）A B C D234.5【答案】B【解析】考点：计算题；空间位置关系与距离分析：由题意， ，当且仅当 时，取等号，棱锥的SS43214321S高趋近于 0 时， 的值趋近于 ，由此可得结论解答：四面体的四个面的面积分别为 ， 表示它们的最大值1234, ，当且仅当 时，取等号，棱锥的高趋近于 0 时，SS4321S的值趋近于 ，即2S4321 4321S故选 B2 设 ， 为两个不重合的平面，m ，n 为两条
2、不重合的直线，给出下列四个命题：若 mn，m，n 则 n；若 ，=m，n，nm 则 n；若 mn，m，n，则 ；若 n，m ， 与 相交且不垂直，则 n 与 m 不垂直其中，所有真命题的序号是_ （ ）A B C D 【答案】B第 2 页，总 17 页【解析】考点： 命题的真假判断与应用专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 由直线平行于平面的判定定理进行判断；由平面与平面垂直的性质定理进行判断；若 mn，m，n，则 与 相交或平行；若 n，m， 与 相交且不垂直，则 n 与 m 有可能垂直解答： 由 ， 为两个不重合的平面，m ，n 为两条不重合的直线，知：若 mn，m，n，则由直线平行于
3、平面的判定定理知 n，故正确；若 ，=m，n，nm ，则由平面与平面垂直的性质定理知 n，故正确；若 mn，m，n，则 与 相交或平行，故不正确；若 n，m ， 与 相交且不垂直，则 n 与 m 有可能垂直，故不正确故选 B3在正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，若 AB= BB1，则 CA1 与 C1B 所成的角的大小是（ 2）A 60 B 75 C 90 D 105【答案】C【解析】考点： 异面直线及其所成的角专题： 计算题分析： 选出向量的基底，将 用基底表示，求出两个向量的数量积，利用向量垂直1CA,Bur的充要条件求出两个向量的夹角解答： 设|BB 1|=m， 则1ab,crr，1C
4、Aac,Burur22()()cmcos03rr 1urCA 1 与 C1B 所成的角的大小是 90第 3 页，总 17 页故选 C4在底面为正方形的四棱锥 VABCD 中,侧棱 VA 垂直于底面 ABCD,且 VA=AB,点 M 为 VA 中点.则直线 VC 与面 MBC 所成角的正弦值是( ) A. B. C. D.63513215【答案】【解析】考点：线面角的求法分析：三垂线定理。 解答：如上图所示，取 AV，AB 的中点为点 E、点 F，过 E 作 于点 G，连接 GF，AM则 ，VCEF/ BCVAD面A又由 GB面又由 ， 为所求，, 面EMGI EFsin设 ，则 ， ，aVA2
5、aFAVB，则 ， 在 中，B25103cosBG1053aE105EBFRtaEF3inEF5 PA，PB，PC 是从点 P 引出的三条射线，每两条的夹角均为 60，则直线 PC 与平面PAB 所成角的余弦值为（ ）第 4 页，总 17 页A B C D 1263332【答案】C【解析】考点： 直线与平面所成的角专题： 计算题分析： 过 PC 上一点 D 作 PO平面 APB，则DPO 就是直线 PC 与平面 PAB 所成的角，说明点 O 在APB 的平分线上，通过直角三角形 PEDDOP，求出直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值解答： 过 PC 上一点 D 作 PO平面 APB，则D
6、PO 就是直线 PC 与平面 PAB 所成的角因为APC=BPC=60 ，所以点 O 在APB 的平分线上，即OPE=30过点 O 作 OEPA，OF PB，因为 DO平面 APB，则 DEPA ，DFPB设 PE=1，OPE=30OP= = 1cos302在直角PED 中，DPE=60，PE=1，则 PD=2在直角DOP 中，OP= ，PD=2则 cosDPO= = 2OPD3即直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是 3故选 C二、填空题 ：6关于图中的正方体 ABCDA 1B1C1D1，下列说法正确的有： 第 5 页，总 17 页P 点在线段 BD 上运动，棱锥 PAB 1D1 体积
7、不变；一个平面 截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形；一个平面 截此正方体，如果截面是四边形，则此四边形必有一边平行；平面 截正方体得到一个六边形（如图） ，则截面 在平面 AB1D1 与平面 BDC1 间平行移动时此六边形周长先增大，后减小【答案】【解析】考点： 命题的真假判断与应用专题： 空间位置关系与距离分析： 根据 BD底面 BDAB1D1，即 P 点在线段 BD 上运动时，棱锥的底面大小和高保持不变，可判断的真假；令截面为三角形，令用余弦定理判断截面各角的大小，可判断的真假；令截面为四边形，结合正方体的几何特征和面面平行的性质定理，可判断的真假；根据截面 在平面 AB1D1
8、 与平面 BDC1 间平行移动时此六边形周长不变，可判断的真假解答： BDB 1D1，则 BD底面 BDAB1D1，即 P 点在线段 BD 上运动时，棱锥的底面大小和高保持不变，故棱锥 PAB 1D1 体积不变，即正确；如一个平面 截此正方体，如果截面是三角形ABC，OA=a ，OB=b ，OC=c，AC 2=a2+c2，AB 2=a2+b2，BC 2=b2+c2，cosCAB= 0，CAB 为锐角，22a(c)(b)同理ACB 与ABC 也为锐角，所以ABC 为锐角三角形，故 正确；一个平面 截此正方体，如果截面是四边形，则它一定会与正方体一组对面相交，根据正方体对面平行及平面平行的性质定理
9、，可得这两条交线一定平行，故正确；平面 截正方体得到一个六边形（如图） ，则截面 在平面 AB1D1 与平面 BDC1 间平行移动第 6 页，总 17 页时此六边形周长保持不变，故错误故答案为：7长方体三条棱长分别是 AA=1，AB=2，AD=4，则从 A 点出发，沿长方体的表面到 C的最短矩离是 【答案】5【解析】考点： 多面体和旋转体表面上的最短距离问题 专题： 计算题分析： 从 A 点出发，沿长方体的表面到 C有 3 条不同的途径，分别从与顶点 A 相邻的三个面出发，根据勾股定理得到长度分别是 ， ，5，比较结果，得到结论解答： 解：从 A 点出发，沿长方体的表面到 C有 3 条不同的途
10、径，分别从与顶点 A 相邻的三个面出发，根据勾股定理得到长度分别是 ， ，5，比较三条路径的长度，得到最短的距离是 5故答案为：58如图，平行六面体 ANCDEFGH 中，棱 AB，AD，AE 的长分别为3，4，5，EAD=EAB= DAB=120 ，则 AG 的长为 【答案】第 7 页，总 17 页【解析】考点： 点线面间的距离计算 专题： 计算题；转化思想分析： 先把所求问题转化为求向量 AG 的长度，再根据向量的三角形法则以及其为平行六面体得到 = ；再对等式两边平方即可找到结论解答： 解：因为其为平行六面体所以 = = +2 2 +2=32+42+52+234cos120+235cos
11、120+245cos120=50121520=3 | |= 故答案为： 点评： 本题主要考查求两点间的距离问题解决本题的关键在于根据向量的三角形法则以及其为平行六面体得到 = 9如图，在长方形 ABCD 中，AB= ，BC=1 ，E 为线段 DC 上一动点，现将AED 沿AE 折起，使点 D 在面 ABC 上的射影 K 在直线 AE 上，当 E 从 D 运动到 C，则 K 所形成轨迹的长度为 【答案】【解析】考点： 与二面角有关的立体几何综合题 专题： 计算题分析： 根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接 DK，则 DKA=90，得到 K 点的轨迹是以 AD为直径的圆上一弧，根据
12、长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度第 8 页，总 17 页解答： 解：由题意，将AED 沿 AE 折起，使平面 AED平面 ABC，在平面 AED 内过点 D 作 DKAE，K 为垂足，由翻折的特征知，连接 DK，则 DKA=90，故 K 点的轨迹是以 AD为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是 ，如图当 E 与 C 重合时，AK= = ，取 O 为 AD的中点，得到OAK 是正三角形故K0A= ， K0D= ，其所对的弧长为 = ，故答案为：点评： 本题考查与二面角有关的立体几何综合题目，解题的关键是由题意得出点 K 的轨迹是圆上的一段弧，翻折问
13、题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变本题是一个中档题目10如图，ABCD A1B1C1D1 为正方体，下面结论中正确的是 （把你认为正确的结论都填上）BD平面 CB1D1；AC 1平面 CB1D1；AC 1 与底面 ABCD 所成角的正切值是 ；二面角 CB1D1C1 的正切值是 ；过点 A1 与异面直线 AD 与 CB1 成 70角的直线有 2 条【答案】第 9 页，总 17 页【解析】考点： 二面角的平面角及求法；异面直线的判定；直线与平面平行的判定。专题： 计算题。分析： 根据直线和平面平行、直线和平面垂直的判定定理可得，根据求二面角的大小的方法可得不正确、正确，再根据异面直线所成的
14、角可得不正确，由此得到答案解答： 解：如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，由于 BDB 1D1 ，由直线和平面平行的判定定理可得 BD平面 CB1D1 ，故正确由正方体的性质可得 B1D1A 1C1，CC 1B 1D1，故 B1D1平面 ACC1A1，故 B1D1AC 1同理可得 B1CAC 1再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC 1平面 CB1D1 ，故正确AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值为 = ，故不正确取 B1D1 的中点 M，则CMC 1 即为二面角 CB1D1C1 的平面角，RtCMC 1 中，tanCMC 1= = = ，故正确由于异面直线 AD 与 CB1 成 45的二面角，如图，过 A1 作 MNAD、PQ CB 1，设 MN与 PQ 确定平面 ，PA 1M=45，过 A1 在面 上方作射线 A1H，则满足与 MN、PQ 成 70的射线 A1H 有 4 条：满足MA 1H=PA 1H=70的有一条，满足PA 1H=NA 1H=70的有一条，满足 NA 1H=QA 1H=70的有一条，满足 QA1H=MA 1H=70的有一条故满足与 MN
