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1、二次函数与一元二次方程知识要点梳理： 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c0)与直线 y=0(即 x 轴)的公共点的个数。抛物线 y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点） ，一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0) 一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不等实根 =b 2-4ac0。(2)抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点 一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个相等实根，(3)
2、抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴没有公共点 一元二次方程 ax2+bx+c=0 没有实数根=b 2-4ac0.(4)事实上，抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=h 的公共点情况 方程 ax2+bx+c=h 的根的情况。抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=mx+n 的公共点情况 方程 ax2+bx+c=mx+n 的根的情况。典例精讲例 1（2008 枣庄）在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数2()4yxk的图象与 y 轴交于点 A，与 x 轴的负半轴交于点 B，且6OABS（1）求点 A 与点 B 的坐标；（2）求此二次函数的解析式；（3）如果点 P 在 x 轴上，且A
3、BP 是等腰三角形，求点 P 的坐标例 2 已知二次函数 y=x2-m 28x2 m 26,求证;不论 m 取任何实数，此函数图象都与 x 轴有两个交点，且两个交点都在 x 轴的正半轴上。设抛物线顶点为 A,与 X 轴交于 B,C 两点，问是否存在实数 M,使三角形 ABC 为等腰直角角形？如果存在，求出 M 的值；如果不存在，请说明理由。 例 3（2009 遂宁）如图，二次函数的图象经过点 D(0， )，且顶点 C 的横坐标为 4，397该图象在 x 轴上截得的线段 AB 的长为 6.求二次函数的解析式；在该抛物线的对称轴上找一点 P，使 PA+PD 最小，求出点 P的坐标；在抛物线上是否存
4、在点 Q，使QAB 与ABC 相似？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由基础练习1.不论 x 为何值，二次函数 y=ax2+bx+c 的值恒为负的条件（ ） 。A.a0，b 2-4ac0 B .a0，b 2-4ac0 C. a0，b 2-4ac0 D. a0，b 2-4ac02.已知关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的一个根为 x1=1，且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=2，则抛物线的顶点坐标为（ ） 。3.已知二次函数 y=-x2+（3-k）x+2k-1 的图像与 y 轴的交点位于（0,1）的上方，则 k 的取值范围（ ） 。4.对于每个非零自然数n
5、，抛物线21()()nyxx与x轴交于An、Bn两点，以 nAB表示这两点间的距离，则 12209ABABL的值是（） 。A 2098B 2089C 2019 D 2091 5.设函数 y=x2（k+1 ）x4（k+5 ）的图象如图所示，它与 x 轴交于 A、B 两点，且线段OA 与 OB 的长的比为 1：4，则 k=_6（2010包头）已知二次函数 2yaxbc的图象与 x轴交于点 (20)， 、1x，且 12，与 y轴的正半轴的交点在(02)，的下方下列结论：420abc； ； 20ac； 1b其中正确结论的个数是个7. （ 2010 自 贡 ） y=x2 （ 1 a） x 1 是 关 于
6、 x 的 二 次 函 数 ， 当 x 的 取 值 范 围 是1 x 3 时 ， y 在 x1 时取得最大值，则实数 a 的取值范围是（ ） 。Aa=5 Ba 5 Ca 3 Da3 8. （ 2008 武 汉 ） 下列命题：若 0bc，则 240bc；若 bac，则一元二次方程 2x有两个不相等的实数根；若 3，则一元二次方程 ac有两个不相等的实数根；若 240c，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3.其中正确的是（） .只有只有只有只有能力提升1、 （2011 荆州）如图，等腰梯形 ABCD 的底边 AD 在 x 轴上，顶点 C 在 y 轴正半轴上，B（4，2） ，一次函数
7、y=kx1 的图象平分它的面积，关于 x 的函数 y=mx2（3m+k）x+2m+k 的图象与坐标轴只有两个交点，求 m 的值2、 （2011 南京）已知函数 y=mx26x+1（m 是常数） （1）求证：不论 m 为何值，该函数的图象都经过 y 轴上的一个定点；（2）若该函数的图象与 x 轴只有一个交点，求 m 的值3、 （2011 新疆）已知抛物线 y=x 2+4x3 与 x 轴交于 A、B 两点（A 点在 B 点左侧） ，顶点为 P（1）求 A、B、P 三点的坐标；（2）在直角坐标系中，用列表描点法作出抛物线的图象，并根据图象写出 x 取何值时，函数值大于零；（3）将此抛物线的图象向下平
8、移一个单位，请写出平称后图象的函数表达式xy4、 （2010 镇江）已知二次函数 y=x2+2x+m 的图象 C1 与 x 轴有且只有一个公共点（1）求 C1 的顶点坐标；（2）将 C1 向下平移若干个单位后，得抛物线 C2，如果 C2 与 x 轴的一个交点为A（3，0） ，求 C2 的函数关系式，并求 C2 与 x 轴的另一个交点坐标；（3）若 P（n，y 1） ，Q（2，y 2）是 C1 上的两点，且 y1y 2，求实数 n 的取值范围5、 （2010 咸宁）已知二次函数 y=x2+bxc 的图象与 x 轴两交点的坐标分别为（m，0） ，（3m，0） （m0） （1）证明 4c=3b2；（
9、2）若该函数图象的对称轴为直线 x=1，试求二次函数的最小值6、 （2010 十堰）已知关于 x 的方程 mx2（3m 1）x+2m2=0（1）求证：无论 m 取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若关于 x 的二次函数 y=mx2（3m 1）x+2m2 的图象与 x 轴两交点间的距离为 2时，求抛物线的解析式；（3）在直角坐标系 xoy 中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线 y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求 b 的取值范围7、 （2010 汕头）已知二次函数 y=x 2+bx+c 的图象如图所示，它与 x 轴的一个交点坐标为（1，0） ，与 y 轴的交点坐标为（
10、0，3） （1）求出 b，c 的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值 y 为正数时，自变量 x 的取值范围8、 （2010 娄底）已知：二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 A 的坐标是（2，0） ，点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，线段 OB、OC 的长（OC OB ）是方程 x210x+24=0 的两个根（1）求 B、C 两点的坐标；（2）求这个二次函数的解析式9、 （2009 肇庆）已知一元二次方程 x2+px+q+1=0 的一根为 2（1）求 q 关于 p 的关系式；（2）求证：抛
11、物线 y=x2+px+q 与 x 轴有两个交点；（3）设抛物线 y=x2+px+q 的顶点为 M，且与 x 轴相交于 A（x 1，0） 、B （x 2，0）两点，求使AMB 面积最小时的抛物线的解析式10、 （2009 黔东南州）已知二次函数 y=x2+ax+a2（1）求证：不论 a 为何实数，此函数图象与 x 轴总有两个交点；（2）设 a0，当此函数图象与 x 轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式；（3）若此二次函数图象与 x 轴交于 A、B 两点，在函数图象上是否存在点 P，使得PAB的面积为，若存在求出 P 点坐标，若不存在请说明理由11、 （2009 宁夏）如图，抛物线 y=
12、x 2+x+2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点（1）求 A、B、C 三点的坐标；（2）证明ABC 为直角三角形；（3）在抛物线上除 C 点外，是否还存在另外一个点 P，使 ABP 是直角三角形，若存在，请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由12、 （2008 长春）已知两个关于 x 的二次函数 y1 与 y2，y 1=a（xk） 2+2（k0） ，y1+y2=x2+6x+12；当 x=k 时， y2=17；且二次函数 y2 的图象的对称轴是直线 x=1（1）求 k 的值；（2）求函数 y1，y 2 的表达式；（3）在同一直角坐标系内，问函数 y1 的图象与 y2 的图
13、象是否有交点？请说明理由13、 （2009 黄石）已知关于 x 的函数 y=ax2+x+1（a 为常数）（1）若函数的图象与 x 轴恰有一个交点，求 a 的值；（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在 x 轴上方，求 a 的取值范围14、 （2009 娄底）已知关于 x 的二次函数 y=x2（2m 1）x+m 2+3m+4（1）探究 m 满足什么条件时，二次函数 y 的图象与 x 轴的交点的个数；（2）设二次函数 y 的图象与 x 轴的交点为 A（x 1，0） ，B（x 2，0） ，且 x12+x22=5，与 y 轴的交点为 C，它的顶点为 M，求直线 CM 的解析式15、 （2008 北京）
14、已知：关于 x 的一元二次方程 mx2（ 3m+2）x+2m+2=0（m0） （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为 x1，x 2（其中 x1x 2） 若 y 是关于 m 的函数，且y=x22x 1，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量 m 的取值范围满足什么条件时，y2m16、 （2009 孝感）已知抛物线 2234yxk（k 为常数，且 k0）（1）证明：此抛物线与 x 轴总有两个交点； （2）设抛物线与 x 轴交于 M、N 两点，若这两点到原点的距离分别为 OM、ON，且3ONM，求 k 的值 17、. 已知：二次函数 的
15、图像与 x 轴交于 A（ ，0） 、mxxy1)(2 1xB（ ， 0） ， 0 ，与 y 轴交于点 C，且满足2x12 COBA2 求这个二次函数的解析式； 是否存在着直线 ykxb 与抛物线交于点 P、Q，使 y 轴平分CPQ 的面积？若存在，求出 k、b 应满足的条件；若不存在，请说明理由 18、 （2008 北京） 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 2yxbc与 x轴交于 AB， 两点（点 A在点 B的左侧） ，与 轴交于点 C，点 B的坐标为 (30)， ，将直线 yk沿 轴向上平移 3 个单位长度后恰好经过 ， 两点（1）求直线 C及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为 D，点 P在抛物线的对称轴上，且 APDCB，求点 P的坐标；（3）连结 ，求 OA与 C两角和的度数19、 （ 2010 厦门）在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，点 。连结O(,1)Pm(0)，将线段 绕点 按逆时针方向旋转 90得到线段 ，且点 是抛物线OPOM的顶点2yaxbc（ 1）若 ，抛物线 经过点（2，2） ，当 时，求 的
