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1、12015 年全国高考新课标 1 卷文科数学试题一、选择题,本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知集合 A=x|x=3n+2, nN,B= 6,8,10,12,14,则集合 AB 中的元素个数为( )A5 B4 C3 D22已知点 A(0,1),B(3,2),向量 ,则向量 ( ) (4,)AurCurA(-7,-4) B(7,4) C(-1,4) D(1,4)3已知复数 z 满足(z-1) i=1+i,则 z=( ) A-2-i B-2+i C2- i D2+i4如果 3 个正数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3
2、个数为一组勾股数,从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( )A B C D1015101205已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为 , E 的右焦点与抛物线 C: y2=8x,的焦点重合,A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则|AB|=( )A3 B6 C9 D12 6 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书 中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?” 其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知
3、 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米有 ( )A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛7已知 an是公差为 1 的等差数列, Sn 为a n的前 n 项和,若 S8=4S4, 则 a10=( )A B C10 D122928函数 f(x)=cos(x+)的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为( )A B13,4kkZ13(,2,4kkZC D() )29执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n=( )A5 B6 C7 D8 10已知函数 ,且 f(a)=-3,12,log()1xf则 f(6-a)=( ) A B C D745
4、4341411圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为 16+20,则 r=( ) A1 B2 C 4 D8 12设函数 y=f(x)的图像与 y=2x+a 的图像关于直线 y=-x对称,且 f(-2)+f(-4)=1,则 a=( )A-1 B1 C2 D4二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在横线上13数列 an中,a 1=2,a n+1=2an,S n 为 an的前 n 项和,若 Sn=126,则 n= .14已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图像在点(1, f(1)
5、的处的切线过点 (2,7),则 a= .15若 x,y 满足约束条件 ,则 z=3x+y 的最大值为 201xy16已知 F 是双曲线 C: 的右焦点,P 是 C 左支上一点, ,28x(0,6)A当 APF 周长最小时,该三角形的面积为 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。只做 6 题,共 70 分。17 (本小题满分 12 分)已知 a,b,c 分别是 ABC 内角 A,B,C 的对边,sin 2B=2sinAsinC.()若 a=b,求 cosB; ()若 B=90,且 a= , 求 ABC 的面积.318 (本小题满分 12 分)如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 A
6、C 与 BD 交点,BE平面 ABCD,()证明:平面 AEC平面 BED;()若ABC=120,AEEC, 三棱锥 E- ACD的体积为 ,求该三棱锥的侧面积.6319 (本小题满分 12 分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销售量(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的宣传费 xi,和年销售量 yi(i=1,2,3,8)的数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.表中81,iiix()根据散点图判断, y=a+bx与 ,哪一个宜作为年销ycd售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);
7、()根据() 的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程;()已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z=0.2y-x,根据() 的结果回答下列问题:(1)当年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值时多少?(2)当年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大?rur21)nix21()ni1()niixy1()niiy46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8420 (本小题满分 12 分)已知过点 A(0, 1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x-2) 2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点.()求 k 的取值范围; () ,其中 O
8、为坐标原点,求| MN|.1OMNur21 (本小题满分 12 分)设函数 f(x)=e2x-alnx.()讨论 f(x)的导函数 f (x)的零点的个数; ()证明:当 a0 时 f(x).2lna22 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,直线 C1: x=-2,圆 C2: (x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. ()求 C1,C 2 的极坐标方程. ()若直线 C3 的极坐标方程为,R4设 C2,C3 的交点为 M,N,求 C2MN 的面积.52015 年全国高考新课标 1 卷文科数学试题参考答案一、选
9、择题,本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分D A C C B B B D C A B C二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分136 141 154 16 26三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。只做 6 题,共 70 分。17解:() 因为 sin2B=2sinAsinC. 由正弦定理可得 b2=2ac.又 a=b,可得 a=2c, b=2c,由余弦定理可得 .21cos4acbB+-()由() 知 b2=2ac. 因为 B=90,所以 a2+c2=b2=2ac.解得 a=c= . 所以 ABC 的面积为 1.考点:正弦定理 ;余弦定理;运
10、算求解能力18解:() BE 平面 ABCD,BEACABCD 为菱形, BD AC,AC平面 BED,又 AC平面 AEC,平面 AEC平面 BED. 6 分()设 AB=x,在菱形 ABCD 中,由ABC=120可得,AG=GC= ,GB=GD= . 在 RtAEC 中,可得 EG= .32x2x32x在 RtEBG 为直角三角形,可得 BE= . 9 分2x , 解得 x =2.3163224EACDVGBEx由 BA=BD=BC 可得 AE= ED=EC= .AEC 的面积为 3,EAD 的面积与 ECD 的面积均为 .5所以三棱锥 E-ACD 的侧面积为 . 12 分3+519解:(
11、) 由散点图可知 适合作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的ycdx回归方程类型. 2 分 ()设 ,则线性回归方程为 y=c+d,由公式得x=68,=563-686.8=100.6,所以 y=100.6+68,108.=6所以 y 关于 x 的回归方程为 。 6 分10.6+8yx6() (1)当 x=49 时,年销售量的预报值 y=100.6+687=576.6,年利润的预报值 z=0.2576.6y-49=66.32, 9分(2)因为 20.2(16+8)()13.60.2zxx所以当 =6.8,即宣传费 x=46.24 千元时,年利润的预报值最大 . 12 分x20解:()依题可设直线
12、 l 的方程为 y=kx+1,则圆心 C(2,3)到的 l 距离. 解得 .2|3|1kd473k-+0 2 分a(1)若 a0 时,f (x)0 在(0,+)恒成立,所以 f (x)没有零点; 3 分(2)若 a0 时, f (x)单调递增。当 x 0, f (x) -;当 x + ,f (x) +,所以 f (x) 存在一个零点. 6 分() 设 f (x)的唯一零点为 k,由()知(0, k) 上,f (x)0,f(x)单调递增。所以 f(x)取最小值 f(k). 8 分所以 f(x)f(k)= e2k-alnk,又 f (k)= 2e2k =0,所以ae2k= , ,aln所以 f(k
13、)= ,(2)ln2laaak所以 f(x) . 12 分l22解:()将 x=cos,y= sin代入可得 C1 的极坐标方程为 cos=-2,C2 的极坐标方程为 2-2 cos-4 sin+4 =0. 5 分()将 代入 C2 极坐标方程可得42340解得 = 或 = ,|MN|= ,因为圆 C2 的半径为 1,7所以 C2MN 的面积 . 10 分112sin4522015 年全国高考新课标 1 卷文科数学试题参考答案一、选择题,本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知集合 A=x|x=3n+2, nN,B= 6,8,10,12,14,则集合 AB 中的元素个数为( )DA5 B4 C3 D22已知点 A(0,1),B(3,2),向量 ,则向量 ( )A (4,)AurCurA(-7,-4) B(7,4) C(-1,4) D(1,4)3已知复数 z 满足(z-1) i=1+i,则 z=( )CA-2-i B-2+i C2- i D2+i4如果 3 个正数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数,从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( )CA