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1、12015 年全国高考新课标 1 卷文科数学试题一、选择题，本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 A=x|x=3n+2, nN，B= 6,8,10,12,14，则集合 AB 中的元素个数为( )A5 B4 C3 D22已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量 ，则向量 ( ) (4,)AurCurA(-7,-4) B(7,4) C(-1,4) D(1,4)3已知复数 z 满足(z-1) i=1+i，则 z=( ) A-2-i B-2+i C2- i D2+i4如果 3 个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3
2、个数为一组勾股数，从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( )A B C D1015101205已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为 ， E 的右焦点与抛物线 C: y2=8x，的焦点重合，A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|=( )A3 B6 C9 D12 6 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书 中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？” 其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知
3、 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米有 ( )A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛7已知 an是公差为 1 的等差数列， Sn 为a n的前 n 项和，若 S8=4S4， 则 a10=( )A B C10 D122928函数 f(x)=cos(x+)的部分图像如图所示，则 f(x)的单调递减区间为( )A B13,4kkZ13(,2,4kkZC D() )29执行右面的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=( )A5 B6 C7 D8 10已知函数 ，且 f(a)=-3，12,log()1xf则 f(6-a)=( ) A B C D745
4、4341411圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为 16+20，则 r=( ) A1 B2 C 4 D8 12设函数 y=f(x)的图像与 y=2x+a 的图像关于直线 y=-x对称，且 f(-2)+f(-4)=1，则 a=( )A-1 B1 C2 D4二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在横线上13数列 an中，a 1=2，a n+1=2an，S n 为 an的前 n 项和，若 Sn=126，则 n= .14已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图像在点(1, f(1)
5、的处的切线过点 (2,7)，则 a= .15若 x,y 满足约束条件 ，则 z=3x+y 的最大值为 201xy16已知 F 是双曲线 C: 的右焦点，P 是 C 左支上一点， ，28x(0,6)A当 APF 周长最小时，该三角形的面积为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。只做 6 题，共 70 分。17 （本小题满分 12 分）已知 a,b,c 分别是 ABC 内角 A,B,C 的对边，sin 2B=2sinAsinC.()若 a=b，求 cosB； ()若 B=90，且 a= ， 求 ABC 的面积.318 （本小题满分 12 分）如图四边形 ABCD 为菱形，G 为 A
6、C 与 BD 交点，BE平面 ABCD，()证明：平面 AEC平面 BED；()若ABC=120，AEEC， 三棱锥 E- ACD的体积为 ，求该三棱锥的侧面积.6319 （本小题满分 12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的宣传费 xi，和年销售量 yi(i=1,2,3,8)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中81,iiix()根据散点图判断， y=a+bx与 ，哪一个宜作为年销ycd售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
7、()根据() 的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；()已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 z=0.2y-x，根据() 的结果回答下列问题：(1)当年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值时多少？(2)当年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？rur21)nix21()ni1()niixy1()niiy46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8420 （本小题满分 12 分）已知过点 A(0, 1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x-2) 2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点.()求 k 的取值范围； () ，其中 O
8、为坐标原点，求| MN|.1OMNur21 （本小题满分 12 分）设函数 f(x)=e2x-alnx.()讨论 f(x)的导函数 f (x)的零点的个数； ()证明：当 a0 时 f(x).2lna22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线 C1: x=-2，圆 C2: (x-1)2+(y-2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. ()求 C1，C 2 的极坐标方程. ()若直线 C3 的极坐标方程为，R4设 C2,C3 的交点为 M,N，求 C2MN 的面积.52015 年全国高考新课标 1 卷文科数学试题参考答案一、选
9、择题，本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分D A C C B B B D C A B C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分136 141 154 16 26三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。只做 6 题，共 70 分。17解：() 因为 sin2B=2sinAsinC. 由正弦定理可得 b2=2ac.又 a=b，可得 a=2c， b=2c，由余弦定理可得 .21cos4acbB+-()由() 知 b2=2ac. 因为 B=90，所以 a2+c2=b2=2ac.解得 a=c= . 所以 ABC 的面积为 1.考点：正弦定理 ；余弦定理；运
10、算求解能力18解：() BE 平面 ABCD，BEACABCD 为菱形， BD AC，AC平面 BED，又 AC平面 AEC，平面 AEC平面 BED. 6 分()设 AB=x，在菱形 ABCD 中，由ABC=120可得，AG=GC= ，GB=GD= . 在 RtAEC 中，可得 EG= .32x2x32x在 RtEBG 为直角三角形，可得 BE= . 9 分2x ， 解得 x =2.3163224EACDVGBEx由 BA=BD=BC 可得 AE= ED=EC= .AEC 的面积为 3，EAD 的面积与 ECD 的面积均为 .5所以三棱锥 E-ACD 的侧面积为 . 12 分3+519解：(
11、) 由散点图可知 适合作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的ycdx回归方程类型. 2 分 ()设 ，则线性回归方程为 y=c+d，由公式得x=68，=563-686.8=100.6，所以 y=100.6+68，108.=6所以 y 关于 x 的回归方程为 。 6 分10.6+8yx6() (1)当 x=49 时，年销售量的预报值 y=100.6+687=576.6，年利润的预报值 z=0.2576.6y-49=66.32， 9分(2)因为 20.2(16+8)()13.60.2zxx所以当 =6.8，即宣传费 x=46.24 千元时，年利润的预报值最大 . 12 分x20解：()依题可设直线
12、 l 的方程为 y=kx+1，则圆心 C(2,3)到的 l 距离. 解得 .2|3|1kd473k-+0 2 分a(1)若 a0 时，f (x)0 在(0,+)恒成立，所以 f (x)没有零点； 3 分(2)若 a0 时， f (x)单调递增。当 x 0, f (x) -；当 x + ,f (x) +，所以 f (x) 存在一个零点. 6 分() 设 f (x)的唯一零点为 k，由()知(0, k) 上，f (x)0，f(x)单调递增。所以 f(x)取最小值 f(k). 8 分所以 f(x)f(k)= e2k-alnk，又 f (k)= 2e2k =0，所以ae2k= ， ，aln所以 f(k
13、)= ，(2)ln2laaak所以 f(x) . 12 分l22解：()将 x=cos，y= sin代入可得 C1 的极坐标方程为 cos=-2，C2 的极坐标方程为 2-2 cos-4 sin+4 =0. 5 分()将 代入 C2 极坐标方程可得42340解得 = 或 = ，|MN|= ，因为圆 C2 的半径为 1，7所以 C2MN 的面积 . 10 分112sin4522015 年全国高考新课标 1 卷文科数学试题参考答案一、选择题，本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 A=x|x=3n+2, nN，B= 6,8,10,12,14，则集合 AB 中的元素个数为( )DA5 B4 C3 D22已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量 ，则向量 ( )A (4,)AurCurA(-7,-4) B(7,4) C(-1,4) D(1,4)3已知复数 z 满足(z-1) i=1+i，则 z=( )CA-2-i B-2+i C2- i D2+i4如果 3 个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( )CA
