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1、1对开普勒假设的一个证明张 天 树 tianshu_摘 要尽可能地堆积相等的球到一个立方体中，那么，在这个立方体中相等球的总体积与它们在这个立方体中的排列有关. 开普勒假设提到的 /18 是在一个立方体中堆积相等球的总体积达到上极限的情况下与这个立方体体积之比值.在本文中，我们将对在一个立方体中的相等球作最紧密的排列，并随着相等球单个体积越来越小，数量越来越大，总体积越来越大直到趋向于上极限，以此去证明开普勒假设. 关键词相等球、排列、立方体、长方体、立方形、矩形、球心、体积、微分立方体、似点球、上极限、比值、/18. 基本概念首先让我们回顾一下下面几个最基本的概念：开普勒假设是说：堆积相等的
2、球到一个立方体中，那么，在这个立方体中相等球的体积与这个立方体体积之比不大于 /18. 假设正方体的棱长是 , 那么这个正方体的体积是 3, 和它的内切球的体积等于 3/6.立方体内切球体积与这个立方体体积的比值等于 /6.假设长方体的棱长是 , 和 ，那么这个长方体的体积是 .假设矩形的长是 , 宽是 ，那么这个矩形的面积是 .假设正方形的边长是 , 那么这个正方形的面积是 2.以上提到的 , 和 都是实数. 这里我们需要强调一点：从数轴上，你能够取到任意实数长的线段去作直平行六面体的棱长或球的直径.证 明假设正方体 K 的棱长是 L, 那么，它的体积等于 L3, 它的每一个正2方形表面的任
3、一对角线等于2L，这里 L 是一个实数.在这个证明中，我们将选取与正方体 K 全等的立方体 K2 作为堆积相等球的立方体. 假设立方体 N 的棱长是 62L, 那么，它的体积等于 2L3, 及它的内切球的体积等于2L 3/6. 从以上可以得到：立方体 N 的内切球的体积与立方体 K 的体积之比等于2/6, 即 /18. 这个比值恰好是开普勒假设提到的那个上极限比值.假设立方体 M 的棱长是2L, 那么，它的体积等于 22L3.因为，有 L62L2L, 因此，我们让立方体 K 位于立方体 N 的中部，又让立方体 N 位于立方体 M 的中部，并且使它们每一个都有两个水平的表面，每一个的任意一对相对
4、表面与其它两个的两对相对表面平行.立方体 N 的体积减去立方体 K 的体积后的环形体的体积等于(2-1)L3. 即 2L3- L3=(2-1)L3. 在立方体 K 的上部水平正方形表面与立方体 M 的上部水平正方形中部的正方形之间有一个长方体. 同样地在立方体 K 的底部水平正方形表面与立方体 M 的底部水平正方形中部的正方形之间也有一个与上面那个长方体相等的长方体.它们每个的高是 1/2(2L-L)，每个都有长度为 1/2(2L-L)的四条棱，和长度为 L 的八条棱.经过简单的计算，这两个长方体的体积和等于(2-1)L 3, 当然，从理论上讲，也包括立方体 M 的上部和底部水平表面中部的两个
5、正方形面积.由此可见，这两个长方体的体积和正好等于立方体 N 减去立方体 K后的环形体的体积，因为它们每个的体积都是等于(2-1)L 3.这两个长方体加上立方体 K 组成一个长方体，我们给这个长方体命名为“长方体 R”. 长方体 R 的长、宽和高分别是 L, L 和2L，体积等于2L 3.立方体 N 的棱长是 62L, 体积也是等于2L 3。因此，长方体 R 的体积等于立方体 N 的体积. 显然，立方体 K 既是立方体 N 的中部，又是长方体 R 的腰部.3现在，需要划分立方体 M 成 y3 个较小的相等立方体，或 y3 个较小的相等立方体加上剩余部分，这里，y 是一个自然数. 随着 y 值变
6、得越来越大，立方体 M 被划分成越来越小的相等立方体，或者是越来越小的相等立方体加上剩余部分. 当然，在立方体 M 中的立方体 N 和长方体 R 也不会例外. 立方体 M 每次被划分后，在立方体 N 的体积与立方体 N 中全部较小的相等立方体的总体积之间都有一个差. 另外，在长方体 R 的体积与长方体 R 中全部较小的相等立方体的总体积之间也有一个差. 随着 y 变得越来越大，这样的两个差都会变得越来越小. 如果 y 趋向于无穷大，那么这两个差都将趋向于零. 就是说，在 y 趋向无穷大的情况下，立方体 N 中的全部微小相等立方体的总体积趋向于立方体 N 的体积. 以及, 长方体 R 中的全部微
7、小相等立方体的总体积也趋向于长方体 R 的体积. 在 y 趋向无穷大的情况下，在立方体 M 中只有微小的相等立方体或微小的相等立方体加上其剩余部分. 在下文中，这样的微小相等立方体被我们称作微分立方体，而微分立方体的内切球被称作似点球.另一方面，立方体 M 中微分立方体和似点球只能够在 y 趋向于无穷大、立方体 M 趋向于无限划分的情况下才能产生. 因为长方体 R 的体积等于立方体 N 的体积，所以长方体 R 中全部微分立方体的总体积趋向于立方体 N 中全部微分立方体的总体积.因为立方体 M 中的微分立方体彼此相等，那么长方体 R 中全部微分立方体的数目趋向于立方体 N 中全部微分立方体的数目
8、.因为每一个微分立方体只含有一个似点球，因此，长方体 R 中全部微分立方体的似点球的数目趋向于立方体 N 中全部微分立方体的似点球的数目. 那么，长方体 R 中全部微分立方体的似点球的总体积趋向于立方体 N 中全部微分立方体的似点球的总体积. 因为一个立方体的内切球体积与这立方体体积之比是 /6, 那么立方体 N 中全部似点球的总体积与立方体 N 中全部微分立方体的体积之比等于 /6.另外，立方体 N 的内切球体积与立方体 N 体积之比等于 /6, 和立方体 N 中全部微分立方体的总体积向上趋向于立方体 N 的体积，所以，立方体 N 中全部似点球总体积向上趋向于立方体 N 的内切球的4体积.
9、因为长方体 R 中全部似点球的总体积趋向于立方体 N 中全部似点球的总体积，所以长方体 R 中全部似点球的总体积向上趋向于立方体N 的内切球的体积.因为立方体 N 的内切球的体积与立方体 K 的体积之比等于 /18, 所以长方体 R 中全部似点球的总体积与立方体 K 的体积之比向上趋向于 /18.当立方体 M 被划分成 y3 个较小的相等立方体，或 y3 个较小的相等立方体和剩余部分后，包括立方体 K 在内的长方体 R 中的较小相等立方体的内切球的球心既位于若干全等的水平正方形上，又位于若干全等的垂直长方形上. 并且，每两个这样相邻的水平正方形相距是一个内切球的直径长；每两个这样相邻的垂直矩形
10、相距也是一个内切球的直径长.在包括立方体 K 在内的长方体 R 内部的每个这样的水平正方形上，每一个内切球的球心既排列在含有内切球球心的一横行上，又排列在含有内切球球心的一竖列上. 另外，在一线上的每两个内切球球心相距是向下趋向一个内切球的一条直径长. 这儿所讲的“线” ，既指横行，又为竖列, 下同.在每个这样的水平正方形上, 内切球球心的排列是完全相同的. 在长方体 R 内部的每个这样的垂直长方形上，每一个内切球的球心既排列在含有内切球球心的一横行上，又排列在含有内切球球心的一竖列上.另外，在一线上的每两个内切球球心相距是向下趋向一个内切球的一条直径长. 在每个这样的垂直长方形上内切球球心的
11、排列是完全相同的.在长方体 R 中相邻似点球之间向下趋向于外切，边缘似点球与长方体 R 表面 之间是向下趋向于内切. 现在，我们将尝试去放置长方体 R 中的全部似点球到立方体 K 中，当然这仅仅是从理论上的阐述.因为立方体 K 是长方体 R 的一部分，因此，为了把立方体 K 与长方体 R 区分开来，让我们采用立方体 K 的一个复制品去代替立方体5K，并且，放置这个复制品在长方体 R 的外部，还使它有两个水平的表面. 我们另称这个复制品为立方体 K2. 当然，立方体 K2 是全等于立方体 K 的.为了上述提到的目的，在能够崁入每一个似点球的前提下，我们首先需要去确定立方体 K2 中似点球球心的位
12、置. 其做法如下. 首先，我们把立方体 K2 中含有水平表面的任意一对相对直二面角的共同的矩形平分面命名为矩形 Bk. 显然，矩形 Bk 与水平的表面构成/4 的二面角，与垂直的表面也构成 /4 的二面角 . 于是，我们把矩形 Bk 看作是斜向的. 然后，我们给长方体 R 内含有似电子球球心的任意一个垂直的矩形命名为矩形 HR. 因为矩形 Bk 的宽等于矩形 HR 的宽，和矩形 Bk 的长等于矩形 HR 的长，于是，矩形 Bk 全等于矩形 HR. 因此，按照似点球球心在矩形 HR 的排列，我们首先确定在矩形 Bk上作为似点球球心的点. 那么，在矩形 Bk 上似点球球心的行数等于矩形 HR 上似
13、点球球心的行数，在矩形 Bk 上每行的球心数等于矩形HR 上每行的球心数.接着，让我们依靠矩形 Bk 上已确定的每一行似点球球心去确定立方体 K2 内一个水平正方形. 自然，立方体 K2 内每一个这样的水平正方形继续去含有矩形 Bk 上一行似点球球心. 并且，在每个这样的水平正方形上以这行作为去确定其它似点球球心行的基准行.然后，按照在长方体 R 内水平正方形上含有似点球球心的相邻两行间的间隔，即按照每相邻两个似点球球心相距向下趋向于一条似点球直径，在立方体 K2 内每个这样的水平正方形上，离开其基准行去向外依次确定其它似点球球心的行，直到不能继续去确定似点球球心时为止. 因为在矩形 Bk 上
14、似点球球心的行数等于矩形 HR 上似点球球心的行数，决定了在立方体 K2 内含有似点球球心的水平正方形数目等于在长方体 R 内含有似点球球心的水平正方形数目.加上，在立方体 K2 内每一个水平正方形全等于长方体 R 内每一个水平正方形，和在立方体 K2 内每一个这样的水平正方形上似点球球心的排列与长方体 R 内一个水平正方形上似点球球心的排列完全相同.所以，在立方体 K2 内已经确定的似点球球心的数目完全等于在长方体 R 内 似点球球心的数目.6并且，不难看出：在立方体 K2 中全部似点球球心既在相等的水平正方形上，又在斜向矩形 Bk 和与斜向矩形 Bk 平行、且距斜向矩形 Bk越远就越小的斜
15、向矩形上.现在，我们要验证一下，在立方体 K2 中已确定的全部似点球的球心点是否能一个不拉地崁入似点球？首先，从水平面上看，已确定的任意两个相邻似点球的球心点相距是向下趋向于一条似点球的直径长，因此，如果以这两个已确定的球心点为球心，那么崁入的两个似点球在水平面上是向上趋向于外切的.第二，从倾角为 /4 的斜向 上看，已确定的任意两个相邻似点球的球心点相距是向下趋向于一条似点球的直径长，如果以这两个已确定的球心点为球心，那么崁入两个似点球在倾角为 /4 的斜向上是向上趋向于外切的.再有，因为每两个含有似点球球心点的相邻水平正方形之间的距离向下趋向于2/2 条似点球直径，和每两个含有似点球球心点
16、的相邻斜向矩形之间的距离也是向下趋向于2/2 条似点球直径. 由此可见，在这两个方向上含有似点球球心点的相邻面之间的距离都大于似点球的半径. 所以，如果以已确定的似点球的球心点为球心崁入似点球，在垂直方向和倾角为 3/4 的斜向上都是可行的. 总起来说，在每个已确定的似点球球心点周围平分 2 空间的八个方向上，都是可行的. 所以，在立方体 K2 中已确定的全部似点球的球心点，全部都能极其勉强地崁入似点球. 当长方体 R 中全部的似点球被放置到立方体 K2 中后，在立方体 K2中全部似点球的总体积与立方体 K2 的体积之比就向上趋向于 /18.换句话说，立方体 K 中重新排列后的似点球的总体积与立方体 K 的体积之比向上趋向于 /18.上述的作法我们只能从理论上去理解，因为当 y 趋向于无穷大、立方体 M
